专题 04 立体几何
考点一 空间几何体的侧面积和表面积
1．（2021新高考）已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( )
A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
【解析】由题意，设母线长为 l ，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 2 2 l ，解得 l 2 2 ，
所以该圆锥的母线长为 2 2 ．
故选： B ．
2．（2022上海）已知圆柱的高为 4，底面积为 9 ，则圆柱的侧面积为 ．
【解析】因为圆柱的底面积为 9 ，即 R2 9 ，
所以 R 3 ，
所以 S侧 2 Rh 24 ．
故答案为： 24 ．
3．（2021上海）已知圆柱的底面圆半径为 1，高为 2， AB 为上底面圆的一条直径， C 是下底面圆周上的
一个动点，则 ABC 的面积的取值范围为 ．
【解析】如图 1，上底面圆心记为 O ，下底面圆心记为 O ，
连接 OC ，过点 C 作 CM AB ，垂足为点 M ，
1
则 S AB CM ，
ABC 2
根据题意， AB 为定值 2，所以 SABC 的大小随着 CM 的长短变化而变化，
如图 2 所示，当点 M 与点 O 重合时， CM OC 12 22 5 ，
1
此时 S 取得最大值为 2 5 5 ；
ABC 2
如图 3 所示，当点 M 与点 B 重合， CM 取最小值 2，
1
此时 S 取得最小值为 2 2 2 ．
ABC 2
综上所述， SABC 的取值范围为[2, 5] ．
故答案为：[2, 5] ．
4．（2021上海）已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为．
【解析】圆柱的底面半径为 r 1，高为 h 2 ，
所以圆柱的侧面积为 S侧 2 rh 2 1 2 4 ．
故答案为： 4 ．
5．（2019上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到
的两个圆锥的体积之比为 ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】如图，
1 4 1 2
则V 22 1 ，V 12 2 ，
1 3 3 2 3 3
4
两个圆锥的体积之比为 3 2 ．
2
3
故选： B ．
6．（2020浙江）已知圆锥的侧面积（单位： cm2 ) 为 2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底
面半径（单位： cm) 是．
【解析】圆锥侧面展开图是半圆，面积为 2cm2 ，
1
设圆锥的母线长为 acm ，则 a2 2 ，a 2cm ，
2
侧面展开扇形的弧长为 2cm ，
设圆锥的底面半径 OC rcm ，则 2 r 2 ，解得 r 1cm ．
故答案为：1cm ．
7．（2022新高考）已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 3 3 和 4 3 ，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为 ( )
A．100 B．128 C．144 D．192
3 3
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 3
2sin 60
4 3
，下底面所在平面截球所得圆的半径为 4 ，如图，
2sin 60
设球的半径为 R ，则轴截面中由几何知识可得 R2 32 R2 42 1，解得 R 5 ，
该球的表面积为 4 R2 4 25 100 ．
当球心在台体内时，如图，
此时 R2 32 R2 42 1，无解．
综上，该球的表面积为100 ．
故选： A ．
8．（2021新高考）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球
静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为 O ，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，该卫星信号覆盖地
球表面的表面积 S 2 r 2 (1 cos) （单位： km2 ) ，则 S 占地球表面积的百分比约为 ( )
A． 26% B． 34% C． 42% D． 50%
【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
6400 8
则 OP 36000 6400 42400 ，那么 cos ；
42400 53
卫星信号覆盖的地球表面面积 S 2 r 2 (1 cos) ，
2 r 2 (1 cos) 45
那么， S 占地球表面积的百分比为 42% ．
4 r 2 106
故选： C ．
考点二 空间几何体的体积
9．（2022新高考）已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 36 ，且
3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
81 27 81 27 64
A．[18 ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18 ， 27]
4 4 4 4 3
【解析】如图所示，正四棱锥 P ABCD 各顶点都在同一球面上，连接 AC 与 BD 交于点 E ，连接 PE ，则
球心 O 在直线 PE 上，连接 OA ，
设正四棱锥的底面边长为 a ，高为 h ，
2a 1
在 RtPAE 中， PA2 AE 2 PE 2 ，即 l 2 ( )2 h2 a2 h2 ，
2 2
球 O 的体积为 36 ，球 O 的半径 R 3 ，
2a
在 RtOAE 中， OA2 OE 2 AE 2 ，即 R2 (h 3)2 ( )2 ，
2
1 1
a2 h2 6h 0 ， a2 h2 6h ，
2 2
3 9
l 2 6h ，又3 l 3 3 ， h ，
2 2
1 1 2
该正四棱锥体积V (h) a2h (12h 2h2 )h h3 4h2 ，
3 3 3
V (h) 2h2 8h 2h(4 h) ，
3 9
当 h 4 时，V (h) 0 ，V (h) 单调递增；当 4 h 时，V (h) 0 ，V (h) 单调递减，
2 2
64
V (h) V （4） ，
max 3
3 27 9 81 27 81
又V ( ) ，V ( ) ，且 ，
2 4 2 4 4 4
27 64
V (h) ，
4 3
27 64
即该正四棱锥体积的取值范围是[ ， ] ，
4 3
故选： C ．
10．（2022新高考）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已
知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km2 ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为
180.0km2 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，
增加的水量约为 ( 7 2.65)( )
A．1.0109 m3 B．1.2109 m3 C．1.4109 m3 D．1.6109 m3
【解析】140km2 140106 m2 ，180km2 180106 m2 ，
140106 180106 140106 180106
根据题意，增加的水量约为 (157.5 148.5)
3
(140 180 60 7) 106
9
3
(320 60 2.65) 106 3 1437 106 1.4109 m3 ．故选： C ．
11．（2021新高考）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
56 28 2
A． 20 12 3 B． 28 2 C． D．
3 3
【解析】解法一：如图 ABCD A1B1C1D1 为正四棱台， AB 2 ， A1B1 4 ， AA1 2 ．
4 2
在等腰梯形 A B BA 中，过 A 作 AE A B ，可得 A E 1 ，
1 1 1 1 1 2
2 2
AE AA1 A1E 4 1 3 ．
连接 AC ， A1C1 ，
AC 4 4 2 2 ， A1C1 16 16 4 2 ，
4 2 2 2
过 A 作 AG A C ， A G 2 ，
1 1 1 2
2 2
AG AA1 A1G 4 2 2 ，
正四棱台的体积为：
S上S S上 S下
V 下 h
3
22 42 22 42
2
3
28 2
．
3
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，
该棱台的记 h 22 (2 2 2)2 2 ，
下底面面积 S1 16 ，上底面面积 S2 4 ，
则该棱台的体积为：
1 1 28 2
V h(S S S S ) 2 (16 4 64) ．
3 1 2 1 2 3 3
故选： D ．
12．【多选】（2023新高考）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位： m) 的正方体容器（容器壁
厚度忽略不计）内的有 ( )
A．直径为 0.99m 的球体
B．所有棱长均为1.4m 的四面体
C．底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体
D．底面直径为1.2m ，高为 0.01m 的圆柱体
【解析】对于 A ，棱长为 1 的正方体内切球的直径为1 0.99 ，选项 A 正确；
对于 B ，如图，
2 2
正方体内部最大的正四面体 D A1BC1 的棱长为 1 1 2 1.4 ，选项 B 正确；
对于 C ，棱长为 1 的正方体的体对角线为 3 1.8 ，选项 C 错误；
对于 D ，如图，六边形 EFGHIJ 为正六边形， E ， F ， G ， H ， I ， J 为棱的中点，
高为 0.01 米可忽略不计，看作直径为 1.2 米的平面圆，
2
六边形 EFGHIJ 棱长为 米， GFH GHF 30 ，
2
6 6
所以 FH 3FG 3GH 米，故六边形 EFGHIJ 内切圆半径为 米，
2 2
6 3
而 ( )2 (1.2)2 1.44 ，选项 D 正确．
2 2
故选： ABD ．
13．【 多 选 】（ 2022新高考） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， ED 平 面 ABCD ， FB / /ED ，
AB ED 2FB ．记三棱锥 E ACD ， F ABC ， F ACE 的体积分别为V1 ，V2 ，V3 ，则 ( )
A．V3 2V2 B．V3 V1 C．V3 V1 V2 D． 2V3 3V1
【解析】设 AB ED 2FB 2 ，
1 4
V S | ED | ，
1 3 ACD 3
1 2
V S | FB | ，
2 3 ABC 3
如图所示，
连接 BD 交 AC 于点 M ，连接 EM 、 FM ，
则 FM 3 ， EM 6 ， EF 3 ，
1 3 2
故 S 3 6 ，
EMF 2 2
1 1 3 2
V S AC 2 2 2 ，
3 3 EMF 3 2
故 C 、 D 正确， A 、 B 错误．
故选： CD ．
14．【多选】（2021新高考）在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 1，点 P 满足 BP BC BB1 ，
其中 [0 ，1] ， [0 ，1] ，则 ( )
A．当 1时， AB1P 的周长为定值
B．当 1 时，三棱锥 P A1BC 的体积为定值
1
C．当 时，有且仅有一个点 P ，使得 A P BP
2 1
1
D．当 时，有且仅有一个点 P ，使得 A B 平面 AB P
2 1 1
【解析】对于 A ，当 1时， BP BC BB1 ，即 CP BB1 ，所以 CP / /BB1 ，
故点 P 在线段 CC1 上，此时 AB1P 的周长为 AB1 B1P AP ，
当点 P 为 CC1 的中点时， AB1P 的周长为 5 2 ，
当点 P 在点 C1 处时， AB1P 的周长为 2 2 1 ，
故周长不为定值，故选项 A 错误；
对于 B ，当 1 时， BP BC BB1 ，即 B1P BC ，所以 B1P / /BC ，
故点 P 在线段 B1C1 上，
因为 B1C1 / / 平面 A1BC ，
所以直线 B1C1 上的点到平面 A1BC 的距离相等，
又 A1BC 的面积为定值，
所以三棱锥 P A1BC 的体积为定值，故选项 B 正确；