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试题类型：A
秘密启用前
数学
姓名__________准考证号__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，
将答案用 0.5mm 的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
r r
1.已知向量 ar = m +1,1 , b = m - 1,1 ，且 ar ^ b ，则 m = （ ）
A.1 B.-1 C. 2 D.0
2.已知集合 A= x x 1 , B = - 1,0,1,2,4，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.1 B.-1,1 C.0,1 D.-1,0,1
3.设命题 p:,$ x R ax >kx ，则 p 为（ ）
A. x R, ax >kx B. $x R, ax kx
C. xR, ax kx D. $x R, ax = kx
4.某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第 85 百分位数定为“优秀”分数线.某
次考试后，张老师将自己所带 100 名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成
如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为
（ ）
A.120 B.123 C.126 D.129
x2 y 2
5.已知 FF1, 2 是椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 的左右焦点，经过 F1 的直线l 与椭圆 C 相
a2 b 2
交于 AB, 两点，若 AF2=3, AB = 4, BF 2 = 5 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
2 3 1 5
A. B. C. D.
2 3 2 5
6.已知数列an 满足 an a n+1=2 a n + 1 - a n - 1，且 a1 = 3，则 a2024= （ ）
1 5 2
A. B.-4 C. D.
5 4 3
f x f y
7.已知函数 f x 是定义在x x 0 上不恒为零的函数，若 f xy = + ，则
y2 x 2
（ ）
A. f 1 = 1 B. f -1 = 1
C. f x 为偶函数 D. f x 为奇函数
8.如图，在体积为 1 的三棱锥 A- BCD 的侧棱 AB,, AC AD 上分别取点 EFG,, ，使
AE: EB= AF : FC = 1:1, AG : GD = 2 :1，记 O 为平面 BCG 平面 CDE 平面 DBF 的
交点，则三棱锥 O- BCD 的体积等于体积等于（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 5 6 7
二多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分.
9.已知复数 z= -1 + 3i, z 是 z 的共轭复数，则（ ）
A. z +3 - 2i = 5
B. z 的虚部是 3i
C. z 在复平面内对应的点位于第二象限
D.复数 z 是方程 x2 +2 x + 8 = 0 的一个根
10.已知函数 f x =sinw x - ( w >0) ，则（ ）
3
1
A.当w = 时，函数 f x 的周期为 4
2
k
B.函数 f x 的对称轴是 x= +, k Z
6w w
1 5
C.当w = 时， x = 是函数 f x 的一个最大值点
2 3
5
D.函数 f x 在区间 0,1 内不单调，则w >
6
11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在 19 世纪 30 年代开创，群论虽起源
于对代数多项式方程的研究，但在量子力学晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应
用.设 G 是一个非空集合，“ o ”是一个适用于 G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，
则称 G 对“ o ”构成一个群：（1）封闭性，即若 a, b G ，则存在唯一确定的 c G ，使得
c= ao b ；（2）结合律成立，即对 G 中任意元素 a,, b c 都有 ao b o c= a o b o c ；
（3）单位元存在，即存在 e G ，对任意 a G ，满足 ao e= e o a = a ，则 e 称为单位
元；（4）逆元存在，即任意 a G ，存在 b G ，使得 ao b= b o a = e ，则称 a 与 b 互为
-1 2 2 3
逆元， b 记作 a .一般地， ao b 可简记作 ab, ao a 可简记作 a, ao a 可简记作 a ，以此
类推.正八边形 ABCDEFGH 的中心为 O .以 e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变
换；以 r 表示以点 O 为中心，将正八边形逆时针旋转 的旋转变换；以 m 表示以 OA 所在
4
直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“ o ”表示复合变换，即 fo g 表示将正八边
形先进行 g 变换再进行 f 变换的变换.以形如 rp m q p, q N ，并规定 r0= m 0 = e 的变换
为元素，可组成集合 G ，则 G 对运算“ o ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记
作 D8 .则以下关于 D8 及其元素的说法中，正确的有（ ）
2 2 2
A. mr D8 ，且 mr= r m
B. r3 m 与 r5 m 互为逆元
C. D8 中有无穷多个元素
D. D8 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，若圆柱两个底面的圆周都在同一个球的球面上，则
该球的表面积是__________.
13.甲乙丙丁戊已六位同学中考语文数学外语的成绩如下表：
甲 乙 丙 丁 戊 己
语文 108 110 115 110 118 107
数学 110 120 112 111 100 118
外语 110 100 112 114 110 113
将每人中考成绩最高的科目认定为他的“最擅长科目”，例如甲的最擅长科目为数学和外语.
现从这六位同学中选出三人分别担任语文数学外语三个科目的科代表（每科一人，不可
兼任），若每个科代表对应的科目都是他的最擅长科目，则符合要求的安排方法共有
__________种.
2
14.已知 A x1,,, y 1 B x 2 y 2 为抛物线 y= 8 x 上两个不同的动点，且满足 y1 y 2 = -16 ，则
x1+ y 1 +2 + x 2 + y 2 + 2 的最小值为__________.
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步
骤.
15.（13 分）VABC 中角 ABC,, 所对的边分别为 a,, b c ，其面积为 S ，且
4S= b2 + c 2 - a 2 .
（1）求 A ；
（2）已知 a = 2 2 ，求 S 的取值范围.
16.（15 分）如图，在三棱台 ABC- A1 B 1 C 1 中，平面 ABB1 A 1 ^ 平面
AB C, BB^ AB , AB = 4, AA = AB = 2, BAC = .
1 1 1 1 1 2
（1）证明： AC ^ 平面 ABB1 A 1 ；
（2）若直线 BC 与 BC1 1 距离为 3，求平面 ABB1 A 1 与平面 BCC1 B 1 夹角的余弦值.
17.（15 分）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：每局比赛后，胜
者获得 3 分，负者获得 1 分，比赛没有平局；连续 2 局获胜或积分率先达到 11 分者可获
1
得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为 .
2
（1）求甲乙决出冠军时比赛局数 X 的分布列与数学期望 EX ；
（2）求在甲获得冠军的条件下其积分达到 11 分的概率 P .
x2 y 2
18.（17 分）已知双曲线 C:- = 1( a >0, b >0) 经过点 A3,2 ，其右焦点为 F ，且
a2 b 2
直线 y= 2 x 是 C 的一条渐近线.
（1）求 C 的标准方程；
mx ny
（2）设 M m, n 是 C 上任意一点，直线 l :- = 1.证明：l 与双曲线 C 相切于点
a2 b 2
M ；
uuur uuur
（3）设直线 PT 与 C 相切于点T ，且 FP FT = 0 ，证明：点 P 在定直线上.
19.（17 分）已知 a >0 ，且 a 1，函数 f x = ax +ln 1 + x - 1.
8
（1）记 a= f n -ln n + 1 + n , S 为数列a 的前 n 项和.证明：当 a = 时，
n n n 9
S64< 2024 ；