高三数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1 2i
1．已知复数 z ，则 z
2 i
A． i B． i C． 5i D． 5i
2．已知集合 A x x 4k 1,k Z ， B x x 4k 1,k Z ，则 R (A B)
A．x x 4k,k Z B．x x 4k 2,k Z C．x x 2k,k Z D．x x 2k 1,k Z
3．已知由小到大排列的 4 个数据 1，3，5，a，若这 4 个数据的极差是它们中位数的 2 倍，则这 4 个数据的
第 75 百分位数是
A．9 B．7 C．5 D．3
1
4．函数 f x aln x 的图象不可能是
x
A． B．
C． D．
1 1 1 1 1
5．在等比数列an 中， a1 a2 a3 a4 a5 11， a3 4 ，则
a1 a2 a3 a4 a5
31 31 11 11
A． B． C． D．
32 32 16 16
6．已知 tan 2 ，则 cos 的值为
2 4
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 5 5
7．以抛物线 C 的顶点 O 为圆心的单位圆与 C 的一个交点记为点 A，与 C 的准线的一个交点记为点 B，当点
A，B 在抛物线 C 的对称轴的同侧时，OAOB，则抛物线 C 的焦点到准线的距离为
2 3 2 5 8 15 8 17
A． B． C． D．
3 5 15 17
8．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱
锥．已知每个直三棱柱的体积为 3，每个四棱锥的体积为 1，则该正四棱台的体积为
A．36 B．32 C．28 D．24
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．请把正确选项
在答题卡中的相应位置涂黑．
9．已知函数 f x cosx ， 0 ， g x 是 f x 的导函数，则下列结论正确的是
A． f x 与 g x 对称轴相同 B． f x 与 g x 周期相同
C． f x g x 的最大值是 D． f x g x 不可能是奇函数
2
2 2 2 2
10．已知圆 C1 ： x 2 y 1，圆 C2 ： x 3 y 4 ，P，Q 分别是 C1 ， C2 上的动点，则下列结
论正确的是
A．当 C1PC2Q 时，四边形 C1C2QP 的面积可能为 7
B．当 C1PC2Q 时，四边形 C1C2QP 的面积可能为 8
C．当直线 PQ 与 C1 和 C2 都相切时， PQ 的长可能为 2 6
D．当直线 PQ 与 C1 和 C2 都相切时， PQ 的长可能为 4
11．已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R，且 f x g 2 x 5 ， g x f x 4 7 ．若 x 2 是
g x 的对称轴，且 g 2 4 ，则下列结论正确的是
A． f x 是奇函数 B． 3,6 是 g x 的对称中心
22
C．2 是 f x 的周期 D． g k 130
k 1
12．如图几何体是由正方形 ABCD 沿直线 AB 旋转 90得到的，已知点 G 是圆弧 CAE 的中点，点 H 是圆弧
DAF 上的动点（含端点），则下列结论正确的是
A．存在点 H，使得 CH平面 BDG
B．不存在点 H，使得平面 AHE平面 BDG
7
C．存在点 H，使得直线 EH 与平面 BDG 的所成角的余弦值为
3
1
D．不存在点 H，使得平面 BDG 与平面 CEH 的夹角的余弦值为
3
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
x2 y2
13．双曲线 C： 1（ a 0 ， b 0 ）的渐近线方程为 y 2x ，则其离心率 e ．
a2 b2
14． 已 知 向 量 a 1,2 ， b 2,1 ， 则 使 a b a b 0 成立的一个充分不必要条件
是 ．
15．用试剂 a 检验并诊断疾病 b，A 表示被检验者患疾病 b，B 表示判断被检验者患疾病 b．用试剂 a 检验并
诊断疾病 b 的结论有误差，已知 PB A 0.9 ， PB A 0.8 ，且人群中患疾病 b 的概率 P A 0.01
．若有一人被此法诊断为患疾病 b，则此人确实患疾病 b 的概率 P A B ．
16． 若 函 数 f x x2 2x x2 ax b 的 图 象 关 于 x 2 对 称 ， 则 a b ， f x 的 最 小 值
为 ．
四、解答题：本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分，共 70 分．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，
超出指定区域的答案无效．
17．（本小题满分 10 分）
1
数列a 的前 n 项积为T ，且满足T n 1n 2 ．
n n n 2
（1）求数列an 的通项公式；
n
（2）记 bn 1 ln an ，求数列bn 的前 2n 项和 S2n ．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PB PD ．
（1）证明：平面 PAC平面 PBD．
（2）若 PA 2 ， PB BD ，点 E，F 分别为 PB，PD 的中点，求点 E 到平面 ACF 的距离．
19．（本小题满分 12 分）
在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a c 2bcosC ．
（1）求 B；
（2）若 b 3 ，且 D 为ABC 外接圆劣弧 AC 上一点，求 AD 2DC 的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）
x2 y2 2
已知椭圆 C： 1（ a b 0 ），连接 C 的四个顶点所得四边形的面积为 2 2 ，且离心率为 ．
a2 b2 2
（1））求椭圆 C 的方程；
（2）经过椭圆 C 的右焦点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试问轴上是否存在定点 T，使
得TAB 的内心也在 x 轴上？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
某区域中的物种 C 有 A 种和 B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比 B 种数目
少），某生物研究小组设计了如下实验方案：在该区域中有放回的捕捉 50 个物种 C，统计其中 A 种数目，
以此作为一次试验的结果；重复进行这个试验 n 次（其中 n N * ），记第 i 次试验中的 A 种数目为随机变
1 n
量 （ ， ，…， ）；记随机变量 ，利用 的期望 和方差 进行估算．设
X i i 1 2 n X X i X E X D X
n i1
该区域中 A 种数目为 M，B 种数目为 N，每一次试验都相互独立．
（ ）已知 ， ，证明： ，
1 E X i X j E X i E X j D X i X j D X i D X j E X E X i
1
D X D X ；
n 1
（2）该小组完成所有试验后，得到 X i 的实际取值分别为 xi （ i 1，2…n），并计算了数据 xi （ i 1，2…，
10.5
n）的平均值 x 和方差 s2 ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据 s2 ．
n
M
（）请用 x 和 s2 分别代替 E X 和 D X ，估算 和 x ；
N
（）在（）的条件下，求 X1 的分布列中概率值最大的随机事件X1 k 对应的随机变量的取值．
22．（本小题满分 12 分）
a x 1
已知函数 f x （ a 0 ）．
ex1
（1）讨论 f x 的单调性；
1
（2）若方程 f x x 1 0 有 x ， x 两个根，且 x x 0 ，求实数 a 的值．
e 1 2 1 2