总分150分考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
3i
1．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数在复平面中对应的点位于
2i
（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合A{1,0,1}，B{a,a2}，则使BA成立的a的值是（）
A．1B．0C．1D．1或1
3．2020年新冠肺炎全面爆发，武汉以平均一天一座方舱医院的速度，集中
改建了16座方舱医院，抽调8000多名医护人员参与救治，从2月5日到3
月10日，16家方舱医院共收治1.2万多名患者，实现了从“人等床”到“床等
人”的转变，彻底扭转了“一床难求”的被动局面.全部病人出院后，某方舱医
院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名中年人和150
名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，则从中年人中抽取的人数为
（）
A．30B．40C．60D．80
fxlog14x22x3fm5fm
4．已知函2，且，则（）
A．1B．5C．11D．13
x2y2a2
5．椭圆1(ab0)的焦距为2c，过点P,0作圆x2y2a2的两条
a2b2c
12
切线，切点分别为M,N.若椭圆离心率的取值范围为,，则MPN的取值
22
范围为（）
A．,B．,C．,D．,
64634332
6．若函数fxexa1x1在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是
（）
A．e1,B．e1,
C．e1,D．e1,
3
7．若tan=26，<<，则cos等于（）
22
15151010
A．B．C．D．
5555
S
*4
8．设数列{an}满足：2anan1(nN)，且前n项和为Sn，则的值为()
a2
1515
A．B．C．4D．2
24
二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分。）
9．如图，已知圆锥OP的底面半径r3，侧面积为23，内切球的球心为
O1，外接球的球心为O2，则下列说法正确的是（）
A．外接球O2的表面积为16
B．设内切球O1的半径为r1，外接球O2的半径为r2，则r23r1
C．过点P作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设圆锥OP有一内接长方体，该长方体的下底面在圆锥底面上，上底面
8
的四个顶点在圆锥的侧面上，则该长方体体积的最大值为
9
10．已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直
于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，
若NRF60，则（）
A．FQP60B．|QM|1
C．|FP|4D．|FR|4
bc
11．若函数fxalnxa0既有极大值也有极小值，则（）
xx2
A．bc0B．ab0C．b28ac0D．ac0
12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的
概率为(01)，收到0的概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，
收到1的概率为1.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输
是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的
信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，
则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概
率为(1)(1)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为(1)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为(1)2(1)3
D．当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于
采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
r
13．已知a10,b=4,a与b的夹角为60，则(a2b)a3b.
14．已知正三棱台A1B1C1ABC中，A1B1AA12AB4，圆柱的一个底面经过
AABBCC
1，1，1的中点，另一个底面的圆心为ABC的中心，则该圆柱的侧面
积为．
15．已知A、B为圆C:(x1)2(y1)25上的两个动点，且AB4，点D为线
段AB的中点，对于直线l:yk(x1)上任-点P，都有PD1，则实数k的取值
范围是.
16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，A30，
sinBcosB2，则b．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题
区域的答案无效。）
17．已知ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件
bsinA3acosB．
(1)求B的大小；
S
(2)如果b2，ac3，求ABC．
18．已知递增的等差数列an的首项是1，Sn是其前n项和，且
1113
.
S1S2S32
（1）求an的通项公式；
an
（2）设bnan2，求数列bn的前n项和Tn.
19．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随
机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：
日加工零件
80.120120,160160,200200,240240,280280,320
数（个）
人数aabccc
将频率作为概率，解答下列问题：
(1)当a15,b25时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件
数达到240及以上的概率；
(2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的
平均数为222个，求a,b,c的值(每组数据以中点值代替)；
(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件
数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为
A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三
个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、
初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本
中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布
列和期望．
20．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD135，侧面PAB
底面ABCD，PAAB,ABACPA2,E,F分别为BC,AD的中点，点M在线
段PD上.
（）求证：直线EF平面PAC；
（）若M为PD的中点，求平面MEF与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
PM
（）设=，当为何值时，直线ME与平面PBC所成角的正弦值为
PD
15
，求的值.
15
1
21．已知函数f(x)(ax2x)lnxax2x.(aR).
2
（I）当a0时，求曲线yf(x)在(e,f(e))处的切线方程（e2.718）；
（II）求函数f(x)的单调区间.
22．已知函数fxx2axbex，aR，b0，且fx的最小值为0.
（1）若fx的极大值为4e，求fx的单调减区间；
fx1fx22a
（2）若x1，x2的是fx的两个极值点，且a4，证明：.
x1x2a8
月考答案：
1．A
【分析】化简复数z1i，求出共轭复数，即可得到答案；
3i(3i)(2i)65i1
【详解】z1i，
2i(2i)(2i)5
z1i，
z1i对应的点位于第一象限，
故选：A
2．A
a1
【解析】根据集合A，B，以及BA即可得出2，从而求出a1．
a1
【详解】解：A{1，0，1}，B{a，a2}，且BA；
a1
2
a1
a1．
故选：A．
3．D
【分析】利用分层抽样的定义，结合题干数据即得解
【详解】某方舱医院要对部分病人进行电话回访，决定从300名老年人，400名
中年人和150名青少年中按照分层抽样的方法抽取170人，
则从中年人中抽取的人数为：
400
17080.
300400150
故选：D
4．C
gxlog14x22xfxgx3
【分析】令2，则，则先判断函数
gxgx0，进而可得fxfx6，即fmfm6，结合已知条件即
可求fm的值.
gxlog14x22xfxgx3
【详解】令2，则，
gxgxlog14x22xlog14x22x
因为22
22
log214x4x0，
所以fxfxgx3gx36，
则fmfm6，又因为fm5，则fm11，
故选：C.
5．D
【分析】由题意得MPN2MPO，利用直角三角形中正弦函数的定义可得
c
sinMPO，利用离心率的取值范围，求得MPO,，即可得答案.
a64
【详解】在直角三角形OMP中，
OMac12
sinMPO,
OPa2a22，MPO,，
64
c
MPN2MPO，MPN,.
32
故选：D.
6．C
【分析】对函数求导，由“函数在(0，1)上单调递减”转化为导数小于或等于0，在(0，1)
上恒成立求解.
【详解】因为f(x)ex(a1)x1在(0，1)上单调递减，
所以f(x)ex(a1)0在(0，1)上恒成立，
即aex1在(0，1)上恒成立，
又函数yex1在(0，1)上为增函数，
所以ye1，故ae1.
故选：C
7．C
【分析】由正切先求出余弦值，根据角的范围分析cos的正负，利用cos=
22
1cos
计算即可.
2
sin13
【详解】因为tan==26，sin2+cos2=1，所以cos2=.又因为<<，
cos252
所以
1
131cos110
cos,<<，所以cos==5=.
5224225
2
故选：C
8．A
4
a1(12)
S15
【详解】由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故412，
a22a12
故选A.
9．ACD
【分析】结合底面半径和侧面积求出母线，由外接和内接的性质，结合几何关系
和勾股定理即可求解r1、r2，进而求出外接球半径；由hr可判断过点P作平面
截圆锥OP的截面面积最大时对应三角形为等腰直角三角形，结合面积公式可求
解；由圆的内接四边形面积最大时为正方形，确定上下底面为正方形，列出关于
V的关系式，结合导数即可求解.
【详解】因为Srl3l23，解得l2，即圆锥母线长为2，则高h1，
设圆锥外接球半径为r2，如图，
222222
则对AOO2由勾股定理得AO2AOOO2，即r(3)1rr2，
222
2
外接球面积为S4r116，故A正确；
设内切球O1的半径为r1,O1D垂直于交PA于点D，如图，
222222
则对PDO1,PO1DO1PD，即1r1r1(23)，
解得r1233，故B错误；
过点P作平面截圆锥OP的截面面积的最大时，如图，
因为hr，故恰好PAC为等腰直角三角形时取到，