第一章 集合和命题
1. 集合及其表示法
能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；
集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；
集合常用大写字母 ABC、 、 …表示，集合中的元素用小写字母 a、 b、 c… 表示；如果
a 是集合 A 的元素，就记作 a A ，读作“ a 属于 A ”；如果 a 不是集合 A 的元素，就记作
a A ，读作“ a 不属于 A ”；
数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作 ，不包括零的自然
数组成的集合，记作 *；全体整数组成的集合即整数集，记作 Z ；全体有理数组成的集合
即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作 R ；另外正整数集、负整数集、
正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为 ZZQQRR、 、 、 、 、 ；
点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；
规定空集不含元素，记作 ；
集合的表示方法常用列举法和描述法；
将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；
在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合
中元素所共同具有的特性，即A ={x | x 满足性质p}，这种表示集合的方法叫做描述法
2. 集合之间的关系
对于两个集合 A 和 B ，如果集合 A 中任何一个元素都属于集合 B ，那么集合 A 叫做集
合 B 的子集，记作 AB 或 BA ，读作“ A 包含于 B ”或“ B 包含 A ”；
空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以
若 AB ，不要遗漏 A 的情况；
对于一个含有 n 个元素的集合 P ，它的子集个数为 2n ，真子集个数为 2n 1，非空子
集个数为 2n 1，非空真子集的个数为 2n 2 ；
用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；
对于两个集合 A 和 B ，如果 AB 且 BA ，那么叫做集合 A 与集合 B 相等，记作
AB ，读作“集合 A 等于集合 B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两
个集合相等；
对于两个集合 A 和 B ，如果 AB ，并且 B 中至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A
叫做集合 B 的真子集，记作 A B 或 B A ，读作“ A 真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”；
对于数集 NZQR、 、 、 来说，有 N Z Q R ；
3. 集合的运算
一般地，由集合 A 和集合 B 的所有公共元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作
AB ，读作“ A 交 B ”，即 A B x x A 且 x B ；
由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A 、 B 的并集，记作
AB ，读作“ A 并 B ”，即 A B x x A 或 x B ；
在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的
集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；
设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做集合 A 在
全集U 中的补集，记作CAU ，读作“ A 补”，即CU A x x U, x A；
德摩根定律：CABCACBU () UU ； CABCACBU () UU ；
容斥原理：用|A | 表示集合 A 的元素个数，则|ABABAB | | | | | | | ；
|ABCABCABBCCAABC |||||||| || || || | ；
4. 命题
可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错
误的命题叫做假命题；
如果命题 成立可以推出命题 也成立，那么就说由 可以推出 ，记作 ，
读作“ 推出 ”，换言之， 表示以 为条件、 为结论的命题是真命题；
如果 ，并且 ，那么记作 ，叫做 与 等价；
推出关系满足传递性： ， ，那么 ；
一个数学命题用条件 ，结论 表示就是“如果 ，那么 ”，如果把结论和条件互
相交换，就得到一个新命题“如果 ，那么 ”，这个命题叫做原命题的逆命题；
一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个
命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果
把 、 的否定分别记作 、 ，那么命题“如果 ，那么 ”的否命题就是“如果 ，
那么 ”；
如果把原命题“如果 ，那么 ”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就
可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果 ，那么 ”；
如果 A 、 B 是两个命题， AB ， BA ，那么 A 、 B 叫做等价命题；
原命题与逆否命题是等价命题；
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合
命题；复合命题有三类： p 或 q ， p 且 q ，非 p ；
p q 非 p p 或 q p 且 q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
一些常用结论的否定形式：
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 n 个 至多有 n 1个
小于 不小于 至多有 n 个 至少有 n 1个
p 或 q 非 p 且非 q 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立
p 且 q 非 p 或非 q 对任何 x 不成立 存在某个 x 成立
5. 充要条件
一般地，用 、 分别表示两个命题，如果命题 成立，可以推出 也成立，即 ，
那么 叫做 的充分条件， 叫做 的必要条件；
一般地，用 、 分别表示两个命题，如果既有 ，又有 ，即 ，
那么 既是 的充分条件，又是 的必要条件，这时我们就说， 是 的充分必要条件，
简称充要条件；
设具有性质 p 的对象组成集合 A ，具有性质 q 的对象组成集合 B ，则
若 AB ，则 p 是 q 的充分条件；
若 A B ，则 p 是 q 的充分非必要条件；
若 AB ，则 p 是 q 的必要条件；
若 A B ，则 p 是 q 的必要非充分条件；
若 AB ，则 p, q 互为充要条件；
等价关系：“ p q ” “ AB ” “ ABA ” “ ABB ”
“ CBCAUU ” “ ACB U ” “ CABUU ”（注意考虑 A 的情况）；
第二章 不等式
1. 不等式的基本性质
性质 1 如果 a b, b c ，那么 a c ；
性质 2 如果 a b ，那么 a c b c ；
性质 3 如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ；如果 a b ， c 0 ，那么 ac bc ；
性质 4 如果 a b, c d ，那么 a c b d ；
性质 5 如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd ；
1 1
性质 6 如果 a b 0 ，那么 0 ；
a b
性质 7 如果 a b 0 ，那么 an b n (nN *) ；
性质 8 如果 a b 0 ，那么 na n b (nN *, n 1) ；
2. 不等式的解法
（1）一元二次不等式
对于一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不
等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 ax2 +bx +c >0或 ax2 +bx +c<0（ a 0 ）；
一般地，设一元二次不等式为 ax2 +bx +c >0或 ax2 +bx +c<0（ a >0 ），当对应的一 元
2 2
二 次 方 程 ax +bx +c =0 的 根 的 判 别 式 = b 4ac >0 时 ， 先 求 出 方程
2 2
ax bx c 0 的两个实数根 x1, x 2 （不妨设 x1 x 2 ），于是不等式 ax bx c 0 的解集
2
为{x | x x1 或 x x2} ，不等式 ax bx c 0 的解集为{x | x1 x x2 } ；
不等式的解集经常用区间来表示，设 a, b 都为实数，并且 a b ，我们规定：
集合{x | a x b }叫做闭区间，表示为[,]a b ；
集合{x | a x b }叫做开区间，表示为 (,)a b ；
集合{x | a x b }或{x | a x b }叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b 或 (,]a b ；
实数集 R 表示为 (,) ，集合{x | x a }、{x | x a } 、{x | x b }和{x | x b }
分别用区间[)a 、()a 、(,] b 和 (,) b 表示；a 与 b 也叫做区间的端点，“ ”
读作“正无穷大”，“ ”读作“负无穷大”；
前面讨论的是判别式 0 的情形，当 0 时，抛物线 y ax2 bx c (a 0) 与 x 轴
没有交点，整个图像都在 x 轴的上方，于是不等式 ax2 bx c 0 的解集为实数集 R ，不
等式 ax2 bx c 0 的解集为空集 ；
b
当 0 时，抛物线 y ax2 bx c (a 0) 与 x 轴两个交点重合，即 x x ，
1 2 2a
除了这一个点外，抛物线的其余部分都在 x 轴的上方，于是不等式 ax2 bx c 0 的解集
b b
为 (,)(,) ，不等式 ax2 bx c 0 的解集为空集 ；
2a 2 a
（2）高次不等式
高次不等式常用“数轴标根法”来解，其步骤是：
等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积；（未知数系数一定是正数）
把各因式的根标在数轴上；
从右上角起，用曲线穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看图像写出解集；
如图：(x x1 )( x x 2 )( x x 3 ) 0（假设 x1 x 2 x 3 ）的解为 x[,][,) x1 x 2 x 3 ；
（3）分式不等式
f() x f() x
型如 0（或 0 ）或 0（或 0 ）（其中 f() x 、()x 为整式且(x ) 0 ）
()x ()x
的不等式称为分式不等式；解分式不等式的关键是转化为整式不等式；
f() x f() x
0 f ( x ) ( x ) 0 ， 0 f ( x ) ( x ) 0 ；
()x ()x
f() x
0 （或 0 ） f( x ) ( x ) 0 （或 0 ）且(x ) 0 ；
()x
（4）含绝对值不等式
|x | 表示实数 x 在数轴上所对应的点到原点的距离；
所以，不等式|x | a (a 0) 的解集为 (,)a a ，类似地，不等式|x | a (a 0) 的解
集为 (,)(,) a a ；
解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值，一般有如下方法：
定义法； 零点分段法； 平方法； 数形结合法；
绝对值不等式的性质：|a | | b | | a b | | a | | b |
（5）无理不等式
只含有一个未知数，并且未知数在根号中的不等式叫做无理不等式；解无理不等式，
关键是转化为有理不等式；
fx() gx () fx ()0,()0,() gx fxgx () ；
fxgx() () fx () 0,() gx 0,()[()] fx gx 2 或 f( x ) 0, g ( x ) 0 ；
（6）指数对数不等式
解指数对数不等式的关键是化成相同的底数，然后同时去掉底数；
当 a 1时， af()() x a g x f()() x g x ，
loga f ( x ) loga g ( x ) f ( x ) g ( x ) 0 ；
当 0a 1时， af()() x a g x f()() x g x ，
loga f ( x ) loga g ( x ) 0 f ( x ) g ( x )
3. 基本不等式
基本不等式 1 对任意实数 a 和 b ，有 a2 b 2 2 ab ，当且仅当 a b 时等号成立；
a b
基本不等式 2 对任意正数 a 和 b ，有 ab ，当且仅当 a b 时等号成立；
2
推论 1 若 a,, b c R ，则 a3 b 3 c 3 3 abc ，当且仅当 a b c 时等号成立；
a b c
推论 2 若 a,, b c R ，则 3 abc ，当且仅当 a b c 时等号成立；
3
a a … a
推论 3 1 2 n n a a… a ， nNR*, a ,1 i n ；
n 1 2 n i
a2 b 2 a b 2
均值不等式 ab ， a, bR ；
1 1
2 2
a b
柯西不等式 (a2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd )2 ；
注意：一正二定三相等；和定积最大，积定和最小；
4. 不等式的证明
（1）比较法
要证明 a b ，只要证明 a b 0 ，同样，要证明 a b ，只要证明 a b 0 ，这种证明
不等式的方法叫做比较法；
用比较法证明不等式的一般步骤是：先作出要求证的不等式两边的差，通过对这个差
的变形，确定其值是正的还是负的，从而证明不等式成立；
（2）分析法
从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论
转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原
结论成立，这种证明方法叫做分析法；
（3）综合法
从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这
种方法叫做综合法；
（4）放缩法
在证明过程中，根据不等式传递性，常采用舍去（或添加）一些项而使不等式的各项之
和变小（或变大），或把某些项换成较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式
的分子（或分母），从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫做放缩法；
（5）换元法
根据证明需要进行一些等量代换，选择适当的辅助参数简化问题的一种方法；
（6）判别式法
根据证明需要，通过构造一元二次方程，利用关于某一变量的二次三项式有实根时的判
别式的取值范围来证明不等式；
（7）分解法
按照一定的法则，把一个数（或式）分解为几个数（或式），使复杂的问题转化为简单
易解的基本问题，然后各个击破，从而证明不等式的一种方法；
（8）反证法
（9）数学归纳法
第三章 函数的基本性质
1. 函数概念与运算
（1）函数概念
在某个变化过程中有两个变量 x, y ，如果对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个确定的
值，按照某个对应法则 f ， y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 y 就是 x 的函数，记
作 y f() x ，x D ，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围 D 叫做函数的定义域，
和 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；
求函数定义域时，主要考虑以下因素：
分母不为零； 偶次方根号内大于等于零； 真数大于零； 实际意义；
求定义域时，遵循“括号内范围一致”原则；
当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的
形式表示出来，通常这个过程叫做建模；
（2）函数的和与积
一般地，已知两个函数 y f( x )( x D1 ) ， y g( x )( x D2 ) ，设 DDD 1 2 ，并且
D ，那么当 x D 时， y f() x 与 y g() x 都有意义，于是把函数 y f()() x g x
()x D 叫做函数 y f() x 与 y g() x 的和；类似于求两个函数的和，我们也可以求两个
函数的积，同样考虑两函数的公共定义域后，可以定义两个函数的积；
2. 函数的基本性质
（1）奇偶性
一般地，如果对于函数 y f() x 的定义域 D 内的任意实数 x ，都有 f()() x f x ，
那么就把函数 y f() x 叫做偶函数；如果函数 y f() x ()x D 是偶函数，那么 y f() x
的图像关于 y 轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于 y 轴成轴对称图形，那
么这个函数必是偶函数；
如果对于函数 y f() x 的定义域 D 内的任意实数 x ，都有 f()() x f x ，那么就把
函数 y f() x 叫做奇函数；如果函数 y f() x ()x D 是奇函数，那么 y f() x 的图像关
于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个
函数必是奇函数；
由上可知，函数定义域 D 关于原点对称是这个函数有奇偶性的必要非充分条件；
奇偶性分类： 奇函数； 偶函数； 既是奇函数又是偶函数； 非奇非偶函数；
奇偶性常用性质结论：
奇函数 y f() x 在 x 0 处有意义f (0) 0
奇函数关于原点对称；偶函数关于 y 轴对称；
对于多项式函数 f() x axn bx n1 … cx2 dx e ；
若 f() x 是奇函数 f() x 偶次项的系数全为零；
若 f() x 是偶函数 f() x 奇次项的系数全为零；
y f() x a 为奇函数 f()() x a f x a ；
y f() x a 为偶函数 f()() x a f x a ；
y f() x 为奇函数 f()() x a f x a ；
y f() x 为偶函数 f()() x a f x a ；
任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和；
f()()()() x f x f x f x
即： f() x ；
2 2
复合函数奇偶性：
对于 f( g ( x )) ，同奇则奇，有偶则偶；
奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；奇奇偶；偶偶偶；偶偶偶；
奇偶奇；奇偶奇；