榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包
含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充
分条件、必要条件及充要条件的意义．
01. 集合与简易逻辑知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
任何一个集合是它本身的子集，记为 A A；
空集是任何集合的子集，记为 A ；
空集是任何非空集合的真子集；
如果 A B ，同时 B A，那么 A = B.
如果 A B，B C，那么A C .
[注]：Z= {整数}（） Z ={全体整数} （）
已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（）（例：S=N； A= N ，
则 CsA= {0}）
空集的补集是全集.
第 1 页 共 163 页
微信搜《高三标答公众号》
若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3. {（x，y）|xy =0，xR，yR}坐标轴上的点集.
{（x，y）|xy0，xR，yR 二、四象限的点集.
{（x，y）|xy0，xR，yR} 一、三象限的点集.
[注]：对方程组解的集合应是点集.
x y 3
例： 解的集合{(2，1)}.
2x 3y 1
点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 AB = ）
4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子
集有 2n2 个.
5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.
一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
例：若 a b 5，则a 2或b 3 应是真命题.
解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真.
x 1且y 2， x y 3.
解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2.
x 1且y 2 x y 3,故 x y 3是 x 1且y 2 的既不是充分，又不是必要条件.
小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3. 例：若 x 5， x 5或x 2 .
4. 集合运算：交、并、补.
交：A B{ x | x A , 且 x B }
并：A B{ x | x A 或 x B }
补：CU A{,} x U 且 x A
5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
AAAAUAU,,,, C
U
ABBCACABAABBABAABB,;,;,.
（2） 等价关系： ABABAABBABU C U
（3） 集合的运算律：
交换律： A B B A; A B B A.
结合律: (A B) C A (B C);(A B) C A (B C)
分配律:. A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C)
0-1 律： AAAUAAUAU ,,,
第 2 页 共 163 页
微信搜《高三标答公众号》
等幂律： A A A, A A A.
求补律：ACUA= ACUA=U CUU= CU=U
反演律：CU(AB)= (CUA)(CUB) CU(AB)= (CUA)(CUB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card() =0.
基本公式：
(1)(cardA B ) cardA () cardB () cardA ( B )
(2)(cardA B C ) cardA () cardB () cardC ()
cardA()()() B cardB C cardC A
card() A B C
(3) card(UA)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式 x 的系数化“+”；(为
了统一方便)
求根，并在数轴上表示出来；
由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等
式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.
+ +
x x x
x x m-3 m-2 m-1 x
1 2 x - - m x
3
（自右向左正负相间）
n n1 n2
则不等式 a0 x a1x a2 x an 0( 0)(a0 0) 的解可以根据各区间的符号
确定.
特例 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；
一元二次不等式 ax2+box>0(a>0)解的讨论.
0 0 0
二次函数
2
y ax bx c
（ a 0 ）的图象
一元二次方程
有两相异实根 有两相等实根
ax 2 bx c 0 b
x , x (x x ) x x 无实根
a 0 的根 1 2 1 2 1 2 2a
第 3 页 共 163 页
微信搜《高三标答公众号》
ax 2 bx c 0 b
x x x1或x x2 x x
(a 0)的解集 2a R
ax 2 bx c 0
x x1 x x 2
(a 0)的解集
2.分式不等式的解法
f (x) f (x) f (x) f (x)
（1）标准化：移项通分化为 >0(或<0)； 0(或 0)的形式，
g(x) g(x) g(x) g(x)
f (x) f (x) f (x)g(x) 0
（2）转化为整式不等式（组） 0 f (x)g(x) 0; 0
g(x) g(x) g(x) 0
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法： ax b c ,与 ax b c(c 0) 型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单
命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )；p 且 q(记作“pq” )；非 p(记
作“q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
原命题 互 逆 逆命题
（1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相
若p则q 互 若q则p
反； 为 否
互 逆 互
（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时 否 逆 否
为
为真，其他情况时为假； 否
互 逆否命题
（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时 否命题
若p则q 互 逆 若q则p
为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；
否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
第 4 页 共 163 页
微信搜《高三标答公众号》
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题)
、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
、原命题为真，它的否命题不一定为真。
、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从
而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和
性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
定义 F:AB
反函数
映射 一般研究 图像
性质
函数
二次函数
具体函数 指数 指数函数
对数函数
对数
第 5 页 共 163 页
微信搜《高三标答公众号》
二、知识回顾：
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因
为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数
才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
示出，得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= (y)，x 在 A 中都有唯一
的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x= (y)
1
(y C)叫做函数 y f (x)(x A) 的反函数，记作 x f (y) ,习惯上改写成
1
y f (x)
（二）函数的性质
函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,
若当 x1 若当 x1 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫 做偶函 数. 奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函数. 第 6 页 共 163 页 微信搜《高三标答公众号》 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题： （1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 f ( x) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件；（2） f ( x) f ( x) 或 f ( x) f ( x) 是定义域上的恒等式。 2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增 减性相反. 4．如果 f ( x) 是偶函数，则 f ( x) f (| x |) ，反之亦成立。 若奇函数在 x 0 时有意义，则 f (0) 0 。 7. 奇函数，偶函数： 偶函数： f (x) f (x) 设（ a, b ）为偶函数上一点，则（ a,b ）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于 y 轴对称，例如： y x 2 1在[1,1) 上不是偶函数. f (x) 满足 f (x) f (x) ，或 f (x) f (x) 0 ，若 f (x) 0 时， 1. f (x) 奇函数： f (x) f (x) 设（ a, b ）为奇函数上一点，则（ a,b ）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称，例如： y x 3 在[1,1) 上不是奇函数. f (x) 满足 f (x) f (x) ，或 f (x) f (x) 0 ，若 f (x) 0 时， 1 . f (x) 8. 对称变换：y = f（x） y轴对称 y f（ x） y =f（x） x轴对称 y f（x） y =f（x） 原点对称 y f（ x） 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 2 2 2 2 （x1 x2）(x1 x2 ) f (x1) f (x 2 ) x 1b x2 b 2 2 2 2 xx b x1 b 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. x 例如：已知函数 f（x）= 1+ 的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则集合 A 与 1 x 集合 B 之间的关系是B A . 解：f (x) 的值域是 f ( f (x)) 的定义域 B ，f (x) 的值域 R ，故 B R ，而 A x | x 1，故 B A . 11. 常用变换： f (x) f (x y) f (x) f (y) f (x y) . f (y) 第 7 页 共 163 页 微信搜《高三标答公众号》 f (y) 证： f (x y) f (x) f [(x y) y] f (x y) f (y) f (x) x f ( ) f (x) f (y) f (x y) f (x) f (y) y x x 证： f (x) f ( y) f ( ) f (y) y y 12. 熟悉常用函数图象： |x2| |x| |x2| 1 1 1 例： y 2|x| | x | 关于 y 轴对称. y y y 2 2 2 y y y (-2,1) (0,1) x x x y y | 2x 2 2x 1|| y | 关于 x 轴对称. x 熟悉分式图象： 2x 1 7 例：y 2 定义域{x | x 3, x R} ， x 3 x 3 值域{y | y 2, y R}值域 x 前的系数之比. y （三）指数函数与对数函数 2 x 3 x 指数函数 y a (a 0且a 1) 的图象和性质 a>1 0 4.5 4.5 4 图 4 3.5 3.5 3 3 2.5 2.5 象 2 2 1.5 1.5 y=1 y=1 1 1 0.5 0.5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -0.5 -0.5 -1 -1 (1)定义域：R 性 （2）值域：（0，+） 质 （3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1 (4)x>0 时，y>1;x<0 时，0 （5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数 第 8 页 共 163 页 微信搜《高三标答公众号》 a>1 0 对数函数 y=logax 的图象和性质: 对数运算： (1) loga (M N) loga M loga N M log log M log N a N a a n 12) loga M n loga M 1 log n M log M a n a alog a N N logb N 换底公式：loga N logb a 推论：loga b logb c logc a 1 log a log a ... log a log a a1 2 a2 3 an 1 n a1 n （以上 M 0, N 0,a 0,a 1, b 0, b 1,c 0,c 1,a1,a 2...a n 0且 1 ） 第 9 页 共 163 页 微信搜《高三标答公众号》 y y=logax a>1 图 象 O x x=1 a<1 （1）定义域：（0，+） （2）值域：R （3）过点（1，0），即当 x=1 时，y=0 性 质 （4） x (0,1) 时 y 0 x (0,1) 时 y 0 x (1,) 时 y>0 x (1,) 时 y 0 （5）在（0，+）上是增函数 在（0，+）上是减函数 注：当 a, b 0 时， log(a b) log(a) log(b) . ：当 M 0 时，取“+”，当 n 是偶数时且 M 0 时， M n 0 ，而 M 0 ，故取“—”. 2 2 例如： log a x 2log a x(2log a x 中 x0 而 log a x 中 xR）. x y a （ a 0, a 1 ）与 y log a x 互为反函数. 当 a 1 时， y log a x 的 a 值越大，越靠近 x 轴；当 0 a 1时，则相反. （四）方法总结 .相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. 对数运算： 第 10 页 共 163 页 微信搜《高三标答公众号》