第一章 集合与函数概念
1.集合
1.1 集合的概念及其表示
.集合中元素的三个特征：
．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合
中就确定了．
．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素
是不重复出现的.
．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）
和不属于（用符号“”表示）．
.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
*
表示符号 N N 或 N Z Q R
1.2 集合间的基本关系
性质 符号表示
空集 空集是任何集合的子集 A
空集是任何非空集合的真子集 A（A ）
相等 集合 A 与集合 B 所有元素相同 A=B
子集 集合 A 中的任何一个元素均是集合 A B
B 中的元素
真 子 集合 A 中的任何一个元素均是集合
集 B 中的元素,且 B 中至少有一个元素
在 A 中没有
1.3 集合之间的基本运算
符号表示 集合表示
并集 A B x | x A或x B
交集 A B x | x A且xB
补集 CU A x | xU且x A
【重要提醒】
1．若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个
数为 2n1.
痧
2．A B ABA ABB A U B A U B U .
3．奇数集：x x 2n 1,n Z x x 2n 1,n Z x x 4n 1.n Z .
4. 德 摩 根 定 律 ： 并 集 的 补 集 等 于 补 集 的 交 集 ， 即
痧
U (A B)=( U A) ( U B) ；来源：高三答案公众号
痧
交集的补集等于补集的并集，即 U (A B)=( U A) ( U B) ．
2.函数及其表示
2.1 函数的相关概念
函数
两个集 设 A、B 是两个非空数集
合 A、B
对应关 按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个
系 数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应
名称 称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
记法 yf(x)，xA
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否
满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的
函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函
数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|xA}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
2.2 函数的三要素
（1）．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见
基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于
或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)yx0 的定义域是
{x|x0}.
（2）．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 yf(x)的形
式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利
用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错
误.
（3）．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等
函数的值域：
(1)一次函数 ykxb(k 为常数且 k0)的值域为 R.
k
(2)反比例函数 y (k 为常数且 k0)的值域为(，0)(0，
x
)．
(3)二次函数 yax2bxc(a，b，c 为常数且 a0)，
4ac b2
当 a>0 时，二次函数的值域为[ ,) ；当 a<0 时，二次函
4a
4ac b2
数的值域为 (, ].
4a
求 二 次 函 数 的 值 域 时 ， 应 掌 握 配 方 法 ：
b 4ac b2
y ax2 bx c a(x )2 .
2a 4a
2.3 分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分
组成，但它表示的是一个函数．
3.函数基本性质
3.1 函数的单调性
单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义
域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2
定
当 x1 义 f(x1) f(x)在区间 D 上是增函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图 象 描 自左向右看图象是上 自左向右看图象是下 述 升的 降的 单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调 区间． 函数的最值 前提 设函数 y f x 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 （1）对于任意的 x I ，都 （3）对于任意的 x I ，都 条件 f x M ； f x M ； （2）存在 x0 I ，使得 f x0 M （4）存在 x0 I ，使得 f x0 M 结论 M 为最大值 M 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域 是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点 值就是函数的最值. 函数单调性的常用结论 （1）若 f x, g x 均为区间 A 上的增(减)函数，则 f x g x 也是区 间 A 上的增(减)函数； （2）若 k 0 ，则 kf x 与 f x 的单调性相同；若 k 0 ，则 kf x 与 f x 单调性相反；微信搜：高三答案公众号 1 （3）函数 y f x f x 0 在公共定义域内与 y f x ，y 的单 f (x) 调性相反； （4）函数 y f x f x 0 在公共定义域内与 y f (x) 的单调性相同； （5）一些重要函数的单调性： 1 y x 的单调性：在,1和1, 上单调递增，在1,0 和0,1 上 x 单调递减； b b b （ ， ）的单调性：在 和 上单调 y ax a 0 b 0 , , x a a 递增，在 b 和 b 上单调递减． ,0 0, a a 3.2 函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数 f x 的定义域内任意一 图象关于 y 轴对 偶函数 个 x ，都有 f x f x ，那么函数 f x 称 是偶函数 如果对于函数 f x 的定义域内任意一 图象关于原点对 奇函数 个 x ，都有 f x f x ，那么函数 称 f x 是奇函数 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个 x，x 也在定义域内（即定义域关于原点对 称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性相反． （2） f (x) ， g(x) 在它们的公共定义域上有下面的结论： f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x)g(x) f (g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括0 ，则 f 0 0 ． （4）若函数 f x 是偶函数，则 f x f x f x ． （5）定义在, 上的任意函数 f x 都可以唯一表示成一个奇函数 与一个偶函数之和． （6）若函数 y f x 的定义域关于原点对称，则 f x f x 为偶函数， f x f x 为奇函数， f x f x 为偶函数． 重难点 复合函数的单调性奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数 =偶函数； 奇函数 奇函数=偶函数，奇函数 偶函数=奇函数，偶函数 偶函数 =偶函数； 第二章 基本初等函数 2.1 指数与指数函数 （1）根式 n 概念：式子 a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. n n 性质：( a)na(a 使 a有意义)； n n a，a0， 当 n 为奇数时， ana，当 n 为偶数时， an|a| a，a<0. （2）分数指数幂 m n m * 规定：正数的正分数指数幂的意义是 an a (a>0，m，nN ，且 m 1 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 a (a>0，m，nN*，且 n>1)； n n am 0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数 指数幂没有意义. 有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a>0， b>0，r，sQ. （3）指数函数及其性质 概念：函数 yax(a>0 且 a1)叫做指数函数，x 是自变量，函数的 定义域是 R，a 是底数. 指数函数的图象与性质 a>1 0