式 水 电 费
1.适用条件：[直线过焦点]，必有 ecosA=(x-1)/(x+1)，其中 A 为直线与焦点所在轴
夹角，是锐角。
x 为分离比，必须大于 1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点
在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，
其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：（1）若 f(x)=-f(x+k)，则 T=2k;（2）若 f(x)=m/(x+k)(m
不为 0)，则 T=2k;（3）若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则 T=6k。注意点：a.周期函数，
周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加
周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin 派 x 相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：（1）若在 R 上(下同)满足：
f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为 x=(a+b)/2（2）函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图像关
于 x=(b-a)/2 对称
（3）若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则 f(x)图像关于(a，b)中心对称
4.函数奇偶性：（1）对于属于 R 上的奇函数有 f(0)=0（2）对于含参函数，奇函数没
有偶次方项，偶函数没有奇次方项
（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空
5.数列定律：1.等差数列中：S 奇=na 中，例如 S13=13a72.等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、
S(3n)-S(2n)成等差 3.等比数列中，上述 2 中各项在公比不为负一时成等比，在 q=-1
时，未必成立
4.等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+qmS(n)可以迅速求 q
6.数列的终极利器，特征根方程。
首先介绍公式：对于 an+1=pan+q，a1 已知，那么特征根 x=q/(1-p)，则数列通项公式为
an=(a1-x)p(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以
不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)
7.函数详解补充：（1）复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外（2）复合函数单调性：
同增异减
（3）重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。
它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为 0，根 x 即为中心横坐标，纵坐标可以用 x
带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。
8.常用数列 bn=n(2n)求和 Sn=(n-1)(2(n+1))+2 记忆方法
前面减去一个 1，后面加一个，再整体加一个 2
9.适用于标准方程(焦点在 x 轴)公式 k 椭=-{(b)xo/{(a)yok 双={(b)xo/{(a
)yok 抛=p/yo
注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。
10.强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技已知直线 L1：a1x+b1y+c1=0 直线 L2：
a2x+b2y+c2=0 若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条
件)a1b2=a2b1 且 a1c2a2c1[这个条件为了防止两直线重合)
注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!
11.经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于 Sn=1/(13)+1/(2
4)+1/(35)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来
会很清爽以及整洁!
12.面积公式 S=1/2mq-np其中向量 AB=(m，n)，向量 BC=(p，q)
注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题!
13.空间立体几何中：以下命题均错：1.空间中不同三点确定一个平面 2.垂直同一直线
的两直线平行 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4.如果一条直线与平面内无
数条直线垂直，则直线垂直平面 5.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几
何体是棱柱
6.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥注：对初中生不适用。
14.一个小知识点
所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。
15.求 f(x)=x-1+x-2+x-3+…+x-n(n 为正整数)的最小值。
答案为：当 n 为奇数，最小值为(n-1)/4，在 x=(n+1)/2 时取到;当 n 为偶数时，最小
值为 n/4，在 x=n/2 或 n/2+1 时取到。
16.〔(a+b)〕/2(a+b)/2ab2ab/(a+b)(a、b 为正数，是统一定义域)
17.椭圆中焦点三角形面积公式
S=btan(A/2)在双曲线中：S=b/tan(A/2)说明：适用于焦点在 x 轴，且标准的圆锥曲
线。A 为两焦半径夹角。
18.定理：空间向量三公式解决所有题目 cosA=|{向量 a.向量 b/[向量 a 的模向量
b 的模]|一：A 为线线夹角二：A 为线面夹角(但是公式中 cos 换成 sin)
三：A 为面面夹角注：以上角范围均为[0，派/2]
19.公式 1+2+3+…+n=1/6(n)(n+1)(2n+1)；13+23+33+…+n3=1/4(n)(n+1)
20.切线方程记忆方法写成对称形式，换一个 x，换一个 y。
举例说明：对于 y=2px 可以写成 yy=px+px 再把(xo，yo)带入其中一个得：y
yo=pxo+px
2
21.定理：(a+b+c)n 的展开式[合并之后]的项数为：Cn+2
22.[转化思想]切线长 l=(d-r)d 表示圆外一点到圆心得距离，r 为圆半径，而 d
最小为圆心到直线的距离。
23.对于 y=2px，过焦点的互相垂直的两弦 AB、CD，它们的和最小为 8p。
定理的证明：对于 y=2px，设过焦点的弦倾斜角为 A.那么弦长可表示为 2p/〔(sinA)
〕，所以与之垂直的弦长为 2p/[(cosA)]，所以求和再据三角知识可知。(题目的意
思就是弦 AB 过焦点，CD 过焦点，且 AB 垂直于 CD)
24.关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强
|a|-|b|aba+b
25.关于解决证明含 ln 的不等式的一种思路：举例说明：证明 1+1/2+1/3+…
+1/n>ln(n+1)把左边看成是 1/n 求和，右边看成是 Sn。
解：令 an=1/n，令 Sn=ln(n+1)，则 bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证 an>bn 即可，根据定
积分知识画出 y=1/x 的图。an=11/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明
1>ln2。注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边
看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含 ln。
26.简洁公式：向量 a 在向量 b 上的射影是：〔向量 a向量 b 的数量积〕/[向量 b 的
模]。
记忆方法：在哪投影除以哪个的模
27.说明一个易错点：
若 f(x+a)[a 任意]为奇函数，那么得到的结论是 f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是
-f(-x-a)〕，同理如果 f(x+a)为偶函数，可得 f(x+a)=f(-x+a)牢记!
28.离心率公式：e=sinA/(sinM+sinN)
注：P 为椭圆上一点，其中 A 为角 F1PF2，两腰角为 M，N
29.椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比如 x/4+y=1
求 z=x+y 的最值。
解：令 x=2cosay=sina 再利用三角有界即可。比你去=0 不知道快多少倍!
30.公式：和差化积 sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin
=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos
-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]积化和差 sinsin=[cos(-
)-cos(+)]/2coscos=[cos(+)+cos(-)]/2sincos=[sin(+
)+sin(-)]/2
cossin=[sin(+)-sin(-)]/2
31.定理：直观图的面积是原图的2/4 倍。
32.三角形垂心定理：1.向量 OH=向量 OA+向量 OB+向量 OC(O 为三角形外心，H 为垂心)
2.若三角形的三个顶点都在函数 y=1/x 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
33.维维安尼定理
正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于该三角形的高。
34.思路
如果出现两根之积 x1x2=m，两根之和 x1+x2=n，我们应当形成一种思路，那就是返回
去构造一个二次函数，再利用大于等于 0，可以得到 m、n 范围。
35.常用结论：
过(2p，0)的直线交抛物线 y=2px 于 A、B 两点。O 为原点，连接 AO.BO。必有角 AOB=90
度
36.公式：ln(x+1)x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。举例说明：ln(1/(2
)+1)+ln(1/(3)+1)+…+ln(1/(n)+1)<1(n2)
证明如下：令 x=1/(n)，根据 ln(x+1)x 有左右累和右边再放缩得：左和<1-1/n<1
证毕!
37.函数 y=(sinx)/x 是偶函数。
在(0，)上它单调递减，(-，0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。
38.函数 y=(lnx)/x 在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减。另外 y=x(1/x)
与该函数的单调性一致。
39.几个数学易错点：1.f`(x)<0 是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件 2.在研
究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称！3.
不等式的运用过程中，千万要考虑=号是否取到！
4.研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注
意：数列问题一定要考虑是否需要分项！
40.A、B 为椭圆 x/a+y/b=1 上任意两点：若 OA 垂直 OB，则有 1/OA+1/OB
=1/a+1/b