第一节直线的方程知识框架知识点归纳1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到直线重合时，所转过的最小正角也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角称为这条直线的倾斜角.(2)范围：直线的倾斜角的取值范围是{|0<}.2.直线的斜率(1)我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(,2))).(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率keq\f(y2y1,x2x1).3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点eq\f(yy1,y2y1)eq\f(xx1,x2x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)eq\f(y,b)1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线[常用结论]1.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：00<<eq\f(,2)eq\f(,2)eq\f(,2)<0不存在k<02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可是零，而“距离”是一个非负数.3.直线的方向向量设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(AB,\s\up6())(x2x1，y2y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则keq\f(y,x).4.直线AxByC0(A2B20)的一个法向量(A，B)，一个方向向量a(B，A).题型归类题型一直线的倾斜角与斜率例1直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________________.答案(，eq\r(3)][1，)解析设PA与PB的倾斜角分别为，，直线PA的斜率是kAP1，直线PB的斜率是kBPeq\r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范围为[1，).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是(，eq\r(3)].故斜率的取值范围是(，eq\r(3)][1，).感悟提升(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法：图形观察(数形结合)；充分利用函数ktan的单调性.题型二求直线的方程例2已知ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________.答案2xy80解析由题知M(2，4)，N(3，2)，故中位线MN所在直线的方程为eq\f(y4,24)eq\f(x2,32)，整理得2xy80.感悟提升(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).题型三直线方程的综合应用例3已知直线l：kxy12k0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为k(x2)(1y)0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x20，,1y0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，,y1.))无论k取何值，直线总经过定点(2，1).(2)解由方程知，当k0时，直线在x轴上的截距为eq\f(12k,k)，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(12k,k)2，,12k1，))解得k>0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是[0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,k)，0))，B(0，12k).依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(12k,k)<0，,12k>0，))解得k>0.Seq\f(1,2)|OA||OB|eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(12k,k)))|12k|eq\f(1,2)eq\f(（12k）2,k)eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k\f(1,k)4))eq\f(1,2)(224)4，等号成立的条件是k>0，且4keq\f(1,k)，即keq\f(1,2)，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.感悟提升(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.课后检测一、单选题1．经过两点的直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,所以倾斜角为.故选：A.2．直线l经过两条直线3x+4y50和3x4y130的交点，且与直线x+2y+10垂直，则l的方程是（）A．2x+y70B．2xy70C．2x+y+70D．2xy+70【答案】B【分析】联立方程可得l过的定点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可．【详解】联立方程，解得x3，y1，故所求直线l过点（3，1），由直线x+2y+10的斜率为，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+12（x3），即2xy70，故选：B3．已知，则“直线与平行”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【答案】A【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.【详解】若直线与平行，则，即，当，时，两直线方程为，，此时两直线重合，故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查充分必要条件，考查直线的位置关系，是基础题.4．已知直线与圆交于两点，是坐标原点，且，则实数的值为（）A．B．或C．或D．或【答案】C【分析】根据向量关系可得，由此可得圆心到直线距离为，建立方程求得结果.【详解】由可得：又为圆的圆心，则则到直线的距离为：即本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量垂直的关系，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心重心垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.【详解】设，因为，，由重心坐标公式得重心为，代入欧拉线方程得：的中点为，，所以的中垂线方程为，联立，解得所以的外心为，则，化简得：联立得：或，当时，、重合，舍去，所以顶点的坐标是故选：A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.6．已知圆，过的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】根据得圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式求直线的斜率.【详解】因为，所以圆心到直线的距离为，因为圆心到距离等于，所以直线的斜率必存在，设为，则直线，因此或故选：C【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.二、多选题7．已知直线，，当满足一定的条件时，它们的图形可以是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．【详解】解：直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．直线可化为，斜率为，在轴上的截距为．当时，直线与平行，故正确．选项中，由直线在轴上的截距可得，．而由直线的斜率为，可得，故不正确．在选项中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故正确．选项中，两直线斜率，．再由直线在轴上的截距，故不正确．故选：．8．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（）A．存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都有公共点C．对任意的，与都不重合D．对任意的，与都不垂直【答案】ABD【分析】当时可判断A；直线与均过点可判断B；当时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确；对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误；对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.三、填空题9．经过点，且与直线平行的直线方程是__________.【答案】【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得：，故答案为：.10．关于直线：，：，若，则__________.【答案】【分析】根据两直线垂直系数关系列式解决即可求解.【详解】若，则，解得.故答案为：.11．当m变化时，平行线和间的距离的最小值等于______.【答案】【分析】直接利用平行直线的距离公式得到答案.【详解】平行线和间的距离.当时有最小值故答案为【点睛】本题考查了平行直线间的距离，意在考查学生的计算能力.12．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.【答案】【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.【详解】因为，所以线段的中点，且.所以与垂直的直线的斜率为，所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.故答案为：四、解答题13．已知直线与垂直．(1)求;(2)求直线与直线之间的距离．【答案】(1)1或3(2)时,距离为;时,距离为．【分析】(1)若两直线垂直,则,代入即可求得;(2)根据(1)中结果,分或两种情况分别带入平行直线的距离公式求出即可.【详解】（1）解:由题知与垂直,故有,解得或;（2）由(1)知或,当时,,则两直线的距离为:,当时,,则两直线的距离为:,综上:时,距离为;时,距离为．14．已知集合，，若．求的值．【答案】或或.【分析】对集合分类讨论，当时显然成立，当时，根据集合表示直线上的点，利用直线的位置关系求解即可.【详解】当，即时，，显然满足；当集合与表示的直线互相平行且不重合时，即，即时，；由于集合表示的不是完整的一条直线，需排除点，因此当两直线的交点坐标为时，仍有，此时．解得或．综上所述：当或或时，．【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，考查了集合的描述法表示，分类讨论，注意空集这一特殊情况，属于常考题型．15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点和，所在直线的方程为，.（1）求对角线所在直线的方程；（2）求所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得线段的中点的坐标，由可得直线的斜率，再由直线过点可求得对角线所在直线的方程；（2）联立直线、的方程，可求得点的坐标，进而可求得直线的斜率，由可得，再由点的坐标可求得直线的方程.【详解】（1）因为、，所以中点坐标为，因为，直线斜率为，所以直线斜率为，由四边形是平行四边形，所以过点，所以直线方程为，即；（2）联立直线、的方程，解得，得，所以斜率为，又因为，所以斜率为，所以方程为，即.【点睛】本题考查直线方程的求解，解题时要结合平行四边形的基本性质求得直线的斜率，结合点斜式得直线方程，考查计算能力，属于中等题.16．已知直线经过两条直线和的交点，直线.（1）若，求的直线方程；（2）若，求的直线方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先解方程组得交点坐标，再根据平行设所求方程，代入交点坐标得结果，（2）先解方程组得交点坐标，再根据垂直设所求方程，代入交点坐标得结果.【详解】（1）由，得，与交点为.设与直线平行的直线为，将交点代入，.所求直线方程为；（2）设与直线垂直的直线为，则，解得，所求直线方程为.【点睛】本题考查直线交点以及根据直线平行于垂直求直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.