第五节 椭圆方程与性质（教师版）

第五节椭圆的方程与性质知识框架知识点归纳1.椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P{M||MF1||MF2|2a}，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：若ac，则集合P为椭圆；若ac，则集合P为线段；若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)eq\f(y2,a2)eq\f(x2,b2)1(a>b>0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率eeq\f(c,a)(0，1)a，b，c的关系c2a2b2[常用结论]1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b|OP|a；(2)ac|PF|ac.2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形，r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S.(1)当r1r2，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)Sb2taneq\f(,2)c|y0|，当|y0|b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmineq\f(2b2,a).4.若AB为椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kABeq\f(b2x0,a2y0).题型归类题型一椭圆的定义及应用例1(1)若F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)eq\f(y2,7)1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A.7B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7\r(5),2)答案C解析由题意得a3，beq\r(7)，ceq\r(2)，|F1F2|2eq\r(2)，|AF1||AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1||F1F2|cos45|AF1|284|AF1|，(6|AF1|)2|AF1|284|AF1|，解得|AF1|eq\f(7,2).AF1F2的面积Seq\f(1,2)2eq\r(2)eq\f(7,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(7,2).(2)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.答案eq\f(x2,64)eq\f(y2,48)1解析设圆M的半径为r，则|MC1||MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，所以a8，c4，beq\r(a2c2)4eq\r(3)，故所求动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,64)eq\f(y2,48)1.感悟提升椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)；(3)经过点P(2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，2)两点；(4)与椭圆eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1有相同离心率，且经过点(2，eq\r(3)).解(1)若焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)，椭圆过点A(3，0)，eq\f(9,a2)1得a3，2a32b，b1，方程为eq\f(x2,9)y21；若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)eq\f(x2,b2)1(ab0)，椭圆过点A(3，0)，eq\f(9,b2)1得b3，又2a32b，a9，方程为eq\f(y2,81)eq\f(x2,9)1.综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)y21或eq\f(y2,81)eq\f(x2,9)1.(2)由已知，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2c，,ac\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2\r(3)，,c\r(3)，))b29，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,12)eq\f(y2,9)1或eq\f(x2,9)eq\f(y2,12)1.(3)设方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12mn1，,3m4n1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\f(1,15)，,n\f(1,5)，))则所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)eq\f(y2,5)1.(4)椭圆eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1的离心率是eeq\f(1,2)，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)\f(1,2)，,a2b2c2，,\f(4,a2)\f(3,b2)1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a28，,b26，))所求椭圆方程为eq\f(x2,8)eq\f(y2,6)1.当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq\f(y2,a2)eq\f(x2,b2)1(ab0)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)\f(1,2)，,a2b2c2，,\f(3,a2)\f(4,b2)1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2\f(25,3)，,b2\f(25,4)，))椭圆的标准方程为eq\f(y2,\f(25,3))eq\f(x2,\f(25,4))1，所求椭圆标准方程为eq\f(x2,8)eq\f(y2,6)1或eq\f(y2,\f(25,3))eq\f(x2,\f(25,4))1.感悟提升求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m>0，n>0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.题型三椭圆的简单几何性质角度1离心率例3(1)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为eq\f(\r(15),7)的直线l与C在x轴上方的交点为A.若|AF1||F1F2|，则C的离心率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(5),3)答案A解析设AF1F2，由ktaneq\f(\r(15),7)，得coseq\f(7,8)，易知|AF1||F1F2|2c，在AF1F2中，由余弦定理得|AF2|24c24c222c2ceq\f(7,8)c2，即|AF2|c.又|AF2|2a|AF1|2a2c，故c2a2c，即eeq\f(c,a)eq\f(2,3).(2)如图所示，设椭圆E：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为________.答案eq\r(2)1解析PF1F2为直角三角形，PF1F1F2，又|PF1||F1F2|2c，|PF2|2eq\r(2)c，|PF1||PF2|2c2eq\r(2)c2a，椭圆E的离心率eeq\f(c,a)eq\r(2)1.角度2与椭圆几何性质有关的最值、范围问题例4(1)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6())eq\o(FP,\s\up6())的最大值为()A.2B.3C.6D.8答案C解析由椭圆eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1可得F(1，0)，设P(x，y)(2x2).则eq\o(OP,\s\up6())eq\o(FP,\s\up6())x2xy2x2x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(x2,4)))eq\f(1,4)x2x3eq\f(1,4)(x2)22，2x2，当且仅当x2时，eq\o(OP,\s\up6())eq\o(FP,\s\up6())取得最大值6.(2)已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率e的取值范围为________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得cb，即c2b2，所以2c2a2，即e2eq\f(1,2)，又e1，所以eeq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).感悟提升1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式eeq\f(c,a)求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式eeq\r(1\f(b2,a2))求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.课时检测一、单选题1．已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据焦点三角形的特征可得，再由离心率可得，经计算即可得解.【详解】由的周长为16，可得，所以，又由，所以，，所以椭圆的方程为.故选：D2．以椭圆右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M，N，椭圆的左焦点为且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意得|MF2||OF2|c，|MF1||MF2|2a，|F1F2|2c，在直角三角形MF1F2中，根据勾股定理可知|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，进而得到关于a和c的方程，把方程转化成关于e的方程，求得e．【详解】由题意得：|MF2||OF2|c，|MF1||MF2|2a，|F1F2|2c直角三角形MF1F2中，|MF1||MF2||F1F2|即(2ac)c4c，整理得c2ac2a0两边同除以a，得，即e2e20解得e或（舍），故e．故选：D．3．椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义及的周长求出，再根据离心率的计算公式即可得解.【详解】解：由题可知，即，所以椭圆的离心率.故选：A.4．在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（）A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）【答案】B【解析】根据新定义“和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）是直线上的一点，，可知，，时递减，时递增，故的最小值在时取得，，正确；（3）同（2），，可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为，易知其最大值为，正确.故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.5．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，若，则等于（）A．1B．C．D．2【答案】A【分析】由椭圆方程求得，中，应用余弦定理，结合向量的数量积可求得，即得，从而可得．【详解】由题意可设，所以，在中，，即，又，即，所以，代入中，得，所以，所以，又，所以，故选：A．6．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设，则，，所以，，所以，，由椭圆定义可得，，，所以，，所以，为等腰直角三角形，可得，，所以，该椭圆的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的（）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆【答案】ABC【分析】根据椭圆的定义以及几何性质，结合题意依次判断每个选项，可得答案.【详解】A选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；B选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；C选项因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故C正确；D选项：设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆越扁，故D不正确，故选：．8．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（）A．B．C．准线方程为D．周长为16【答案】ABC【解析】A．根据椭圆定义进行判断；B．根据点到到点的距离公式计算，然后根据椭圆的有界性求解出的范围并进行判断；C．根据得出结果；D．根据椭圆的定义求解出焦点三角形的周长.【详解】A．因为，故正确；B．因为，所以，所以，又因为，所以，故正确；C．因为准线方程为，所以准线方程为，故正确；D．的周长为：，故错误；故选：ABC.【点睛】结论点睛：椭圆的焦半径以及焦点三角形周长有关结论：已知为椭圆上一点，椭圆的左右焦点为：（1）焦半径：（为椭圆的离心率）；（2）焦点三角形的周长为：.三、填空题9．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________．【答案】e=【详解】依题意，所以10．设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.【答案】4【分析】根据椭圆的方程求得c，得到，设出，，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得的值，即可求出三角形面积．【详解】，；，因为，所以，设，，则，，由2得，．故答案为：4．11．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.【答案】-1【分析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．【答案】【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得，，代入上式，即可求解.【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得0.(*)因为ABF1的重心为G，所以故代入(*)式得，所以，即a23b2，所以椭圆C的离心率e.故答案为：四、解答题13．已知动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离和点M到定直线l：x的距离之比是常数，求动点M的轨迹．【答案】点M的轨迹是以(3，0)为焦点，长轴长、短轴长分别为10，8的椭圆．【分析】设出，根据题干条件直接得到关系式，化简得到结果.【详解】因为动点到定点和到定直线l的距离之比是常数，所以，两边平方并化简得:16x225y2400，即所以点M的轨迹是以(3，0)为焦点，长轴长、短轴长分别为10，8的椭圆．14．求经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同的离心率的椭圆方程．【答案】或.【分析】法一：根据已知椭圆方程求得椭圆参数间的数量关系为，进而设椭圆方程，根据点在椭圆上求参数，即可得椭圆方程；法二：设椭圆方程为(>0)或(>0)，根据点在椭圆上求参数，即可得椭圆方程.【详解】法一：椭圆1的离心率为，则，即，设所求的椭圆方程为或.将点M(1,2)代入椭圆方程得：或3，故所求的椭圆方程为或.法二：设所求的椭圆方程为(>0)或(>0)．将点M的坐标代入得，，故所求椭圆的方程为或.15．已知点是离心率为的椭圆：上的一点．(1)求椭圆的方程；(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．【答案】(1)；(2)是，(3)最大值为，【分析】（1）根据和过点可求结果；（2）设，所以，，从而得到．（3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程．【详解】（1），，将代入椭圆方程得，所以椭圆方程为；（2）依题意得在椭圆上，直线和的斜率都存在且不为，设，所以，，，所以直线和的斜率之积为定值；（3）设直线的方程为，，由消去，整理得，，则，则，，点到直线的距离为，，当，即时面积最大，且最大值为，此时直线的方程为．16．已知、为椭圆的左、右焦点，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）当不存在时圆面积最大，，此时直线方程为.【详解】试题分析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义列出，解出和的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，假设直线的斜率存在，设出直线方程与椭圆方程联立，消参得出关于的方程，得到两根之和、两根之积，求出的面积，面积之和内切圆的半径有关，所以当的面积最大时，内切圆面积最大，换一种形式求的面积，利用换元法和配方法求出面积的最大值，而直线的斜率不存在时，易求出和圆面积，经过比较，当不存在时圆面积最大.试题解析：（）由已知，可设椭圆的方程为，因为，所以，，所以，椭圆的方程为4分（也可用待定系数法，或用）（2）当直线斜率存在时，设直线：，由得，设，，6分所以，设内切圆半径为，因为的周长为（定值），，所以当的面积最大时，内切圆面积最大，又，8分令，则，所以10分又当不存在时，，此时，故当不存在时圆面积最大，，此时直线方程为.12分（也可以设直线，避免对的讨论，参照以上解法，按相应步骤给分）考点：1.椭圆的标准方程；2.直线的方程；3.韦达定理；4.三角形面积公式；5.配方法求函数的最值.