第九节 圆锥曲线中的定点问题（原卷版）

第九节圆锥曲线中的定点问题题型一直线过定点问题例1(2023烟台一模改编)已知椭圆C：eq\f(x2,4)y21，若A(2，0)，直线l：ykxm与C交于P，Q两点，且APAQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．解设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)y21，,ykxm，))消去y，得(14k2)x28kmx4m240，64k2m24(14k2)(4m24)0，即4k2m210，则x1x2eq\f(8km,14k2)，x1x2eq\f(4m24,14k2).因为APAQ，所以eq\o(AP,\s\up6())eq\o(AQ,\s\up6())0，而eq\o(AP,\s\up6())(x12，y1)，eq\o(AQ,\s\up6())(x22，y2)，故x1x22(x1x2)4y1y20.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2eq\f(4m24,14k2)kmeq\f(8km,14k2)m2eq\f(m24k2,14k2)，所以x1x22(x1x2)4y1y2eq\f(4m24,14k2)eq\f(16km,14k2)4eq\f(m24k2,14k2)eq\f(5m216km12k2,14k2)0，即5m216km12k20，解得m2k或meq\f(6,5)k.当m2k时，直线l的方程为yk(x2)，恒过点A，不满足题意；当meq\f(6,5)k时，4k2m214k2eq\f(36,25)k21eq\f(64,25)k210，直线l的方程为ykeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(6,5)))，过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，0))，符合题意．综上，直线l恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，0)).感悟提升圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．训练1(2023佛山质检)已知双曲线C的渐近线方程为yeq\f(\r(3),3)x，且过点P(3，eq\r(2))．(1)求C的方程；(2)设Q(1，0)，直线xt不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过x轴上的一定点．(1)解因为渐近线方程为yeq\f(\r(3),3)x，且点P靠近x轴，所以可设双曲线C的方程为eq\f(x2,9)eq\f(y2,3)(0)，将点P(3，eq\r(2))代入得eq\f(9,9)eq\f(2,3)，解得eq\f(1,3)，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,3)y21.(2)证明显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ的方程为xmy1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，y1)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)y21，,xmy1，))消x整理得(m23)y22my20.依题意得m230且4m28(m23)0，即m22且m23，y1y2eq\f(2m,m23)，y1y2eq\f(2,m23)，直线AD的方程为yy1eq\f(y2y1,x2x1)(xx1)，令y0，得xeq\f(（x2x1）y1,y2y1)x1eq\f(x1y2x2y1,y2y1)eq\f(（my11）y2（my21）y1,y2y1)eq\f(2my1y2（y1y2）,y2y1)eq\f(2m\f(2,m23)\f(2m,m23),\f(2m,m23))eq\f(\f(6m,m23),\f(2m,m23))3.所以直线AD过x轴上的定点(3，0)．题型二其它曲线过定点问题例2(2023湖南三湘名校联考)已知椭圆C：eq\f(y2,a2)eq\f(x2,b2)1(ab1)的离心率为eq\f(\r(2),2)，其上焦点到直线bx2ayeq\r(2)0的距离为eq\f(\r(2),3).(1)求椭圆C的方程；(2)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))的直线l交椭圆C于A，B两点．试探究以线段AB为直径的圆是否过定点．若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．解(1)由题意得，eeq\f(c,a)eq\f(\r(2),2)，又a2b2c2，所以aeq\r(2)b，cb.又eq\f(|2ac\r(2)|,\r(4a2b2))eq\f(\r(2),3)，ab1，所以b21，a22，故椭圆C的方程为eq\f(y2,2)x21.(2)当ABx轴时，以线段AB为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,3)))eq\s\up12(2)y2eq\f(16,9).当ABy轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.可得两圆交点为Q(1，0)．由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(1，0)．下证Q(1，0)符合题意．设直线l的斜率存在，且不为0，其方程为ykeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,3)))，代入eq\f(y2,2)x21，并整理得(k22)x2eq\f(2,3)k2xeq\f(1,9)k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2eq\f(2k2,3（k22）)，x1x2eq\f(k218,9（k22）)，所以eq\o(QA,\s\up6())eq\o(QB,\s\up6())(x11)(x21)y1y2x1x2x1x21k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2\f(1,3)))(1k2)x1x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,3)k2))(x1x2)1eq\f(1,9)k2(1k2)eq\f(k218,9（k22）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,3)k2))eq\f(2k2,3（k22）)1eq\f(1,9)k20，故eq\o(QA,\s\up6())eq\o(QB,\s\up6())，即Q(1，0)在以线段AB为直径的圆上．综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(1，0)．感悟提升(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k0或k不存在．(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)0上，即f(x1，y1)0消参．训练2(2023深圳调研)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)经过点A(2，0)，且点A到C的渐近线的距离为eq\f(2\r(21),7).(1)求双曲线C的方程；(2)过点(4，0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x4分别交直线AM，AN于点E，F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．解(1)由题意得a2，因为双曲线C的渐近线方程为yeq\f(b,2)x，所以有eq\f(2b,\r(b24))eq\f(2\r(21),7)，解得beq\r(3)，因此双曲线C的方程为eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)\f(y2,3)1，,yk（x4），))得(34k2)x232k2x64k2120，0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2eq\f(32k2,34k2)，x1x2eq\f(64k212,34k2)，由直线AM的方程为yeq\f(y1,x12)(x2)，令x4，得点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2y1,x12)))，由直线AN的方程为yeq\f(y2,x22)(x2)，令x4，得点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2y2,x22)))，则以EF为直径的圆的方程为(x4)(x4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y\f(2y1,x12)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y\f(2y2,x22)))0.由对称性可知，若以EF为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上．令y0，有(x4)2eq\f(4y1y2,（x12）（x22）)，将y1k(x14)，y2k(x24)代入上式，得(x4)2eq\f(4k2[x1x24（x1x2）16],x1x22（x1x2）4)，则(x4)2eq\f(4k2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64k212,34k2)4\f(32k2,34k2)16)),\f(64k212,34k2)2\f(32k2,34k2)4)9，解得x1或x7.即以EF为直径的圆经过定点(1，0)和(7，0)．当直线l的斜率不存在时，点E，F的坐标分别为(4，3)，(4，3)，以EF为直径的圆的方程为(x4)(x4)(y3)(y3)0，该圆经过点(7，0)和(1，0)．综上可得，以EF为直径的圆经过定点(1，0)和(7，0)．题型三齐次化的处理策略“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思．在代数里也有“齐次”的叫法，例如fax2bxycy2称为二次齐次式，f中每一项都是关于x，y的二次项．下面研究齐次化在圆锥曲线中的应用．例已知抛物线y22px(p0)，过原点且互相垂直的两直线OA，OB交抛物线于A，B.求证：直线AB过定点．证明设AB：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，kOAeq\f(y1,x1)，kOBeq\f(y2,x2)，将直线AB方程变形为eq\f(xmy,n)1，代入到y22px中得y22pxeq\f(xmy,n)注意到kOAeq\f(y1,x1)，kOBeq\f(y2,x2)，上式两边同除以x2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\up12(2)eq\f(2pm,n)eq\f(y,x)eq\f(2p,n)0，(*)kOA，kOB是方程(*)的两根，则kOAkOBeq\f(2p,n)1n2p，所以直线AB方程为xmy2p，所以直线AB恒过定点(2p，0)．训练已知椭圆的中心为原点O，长轴、短轴长分别为2a，2b(a>b>0)，P，Q分别在椭圆上，且OPOQ.求证：eq\f(1,|OP|2)eq\f(1,|OQ|2)为定值．证明设P，Q坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ：mxny1，椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)\f(y2,b2)1，,mxny1.))齐次化有eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)(mxny)2，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)n2))y22mnxyeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)m2))x20.左右两边同除以x2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)n2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\up12(2)2mneq\f(y,x)eq\f(1,a2)m20.由根与系数的关系得eq\f(y1,x1)eq\f(y2,x2)eq\f(\f(1,a2)m2,\f(1,b2)n2).由OPOQ，得kOPkOQeq\f(y1,x1)eq\f(y2,x2)eq\f(\f(1,a2)m2,\f(1,b2)n2)1，整理得m2n2eq\f(1,a2)eq\f(1,b2).由于原点O到直线PQ的距离deq\f(1,\r(m2n2))，又SOPQeq\f(1,2)|OP||OQ|eq\f(1,2)|PQ|d，所以eq\f(1,d2)eq\f(|PQ|2,|OP|2|OQ|2)eq\f(|OP|2|OQ|2,|OP|2|OQ|2)eq\f(1,|OP|2)eq\f(1,|OQ|2)m2n2eq\f(1,a2)eq\f(1,b2)为定值．课时作业一、单选题1．已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（）A．B．C．D．2．已知椭圆的右顶点为A，离心率为，若直线与椭圆交于两点(不是左、右顶点)且满足，则直线在轴上的截距为()A．B．C．或D．3．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（）A．B．C．D．4．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：.已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（）A．B．C．D．5．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则A．B．C．D．二、解答题6．已知圆A：，直线过点且与轴不重合，交圆于C，D两点，过作AC的平行线交AD于点E.(1)求点E的轨迹的方程；(2)设轨迹的上、下顶点分别为G、H，过点的直线交轨迹于M、N两点（不与G、H重合），直线GM与直线交于点，求证：P、H、N三点共线.7．已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.8．已知圆锥曲线E上有两个定点、，P为曲线E上不同于M，N的动点，且当直线PM和直线PN的斜率，都存在时，有．(1)求圆锥曲线E的标准方程；(2)若直线l：与圆锥曲线E交于A、B两点，交x轴于点F，点A，F，B在直线：上的射影依次为点D，K，G若直线l交y轴于点T，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；连接AG，BD，试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．9．如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.(1)求点的轨迹的方程；(2)若椭圆上点处的切线方程是，过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.10．已知在平面直角坐标系中，椭圆焦距等于，且经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，试问直线PQ是否过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由.11．已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为，(1)求椭圆C的方程．(2)若椭圆C下顶点是B，M是C上一点（不与A，B重合），直线AM与直线交于点P，直线BP交椭圆C于点N．求证：直线MN过定点．12．椭圆的短轴长为2，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在点Q，使得直线MQ，NQ与直线分别交于点A，B，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．证明：直线CD过椭圆右焦点；椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．14．如图，点A是椭圆的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为，且满足轴，．(1)求椭圆C的方程；(2)若点M是直线上的动点，过点M分别做椭圆C的两条切线，切点分别为S，T，求证：直线ST过定点．15．已知椭圆的一个顶点为，焦距为．椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．16．已知椭圆E：经过点，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；(2)记AFM、BFM的面积分别为和，当取最大值时，求直线AB的方程．参考结论：点为椭圆上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为．