第十四讲 圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究（原卷版）

圆锥曲线在高考压轴题目中的考法探究题型分类类型1圆锥曲线中的轨迹方程问题在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交轨迹于点两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标．若不过定点，请说明理由．方法总结1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：曲线上的点的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.类型2圆锥曲线中的中点弦问题已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，其短轴的一个端点到焦点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为的中点，为椭圆上一点，过且平行于的直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．方法总结1、相交弦中点（点差法）直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，2、点差法设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：类型3圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．(1)求抛物线C的方程；(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．方法总结1、弦长公式（最常用公式，使用频率最高）2、三角形面积问题直线方程：3、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数4、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.5、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.类型4圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴和轴，且双曲线过点，.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，点满足.证明：直线过定点.方法总结定点问题1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.定值问题1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.2.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算定直线问题定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．类型5圆锥曲线中的向量问题设点，分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆上的点到点的距离的最小值为.点M、N是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求的面积；（3）当时，求直线的方程.方法总结1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m0）,则l斜率为；2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:=1\*GB3=;=2\*GB3=+且+=1;=3\*GB3=(+)/(1+)；=4\*GB3.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:=1\*GB3=;=2\*GB3=(+).4.在四边形ABCD中,若=0,则ABAC;若+=-,则ABAD;若=,则ACBD.5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.课时训练1．人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线，定义千米为.(1)以为单位，求曲线的方程；(2)已知三颗卫星在轨道上运行，当轨道中心恰好为的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当三颗卫星成“三星对中”状态时，的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.2．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在上，轴，且直线的斜率为．(1)求的方程；(2)（异于点）是线段上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为，直线与直线相交于点，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由．3．已知双曲线过点，且焦距为.(1)求的方程；(2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上.4．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为F，C的离心率为，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1．过点F的直线（与x轴不重合）交C于P，Q两点，直线，分别交过点F且垂直x轴的直线于M，N两点．(1)求C的方程；(2)记，的面积分别为，，试探究：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．5．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆的方程；(2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形在椭圆上，求的取值范围.6．如图，已知双曲线的一条渐近线与轴夹角为，点在上，过的两条直线的斜率分别为，且交于交于，线段与的中点分别为(1)求双曲线的方程；(2)求证：存在点，使为定值.7．已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.8．在平面直角坐标系中，过椭圆：上的动点作轴的垂线，垂足为点，，.(1)求椭圆的方程；(2)设直线：交于不同的两点、，向量，，是否存在常数，使得满足的实数有无穷多解？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.9．已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点的动直线交于M，N两点.(1)求双曲线和椭圆的方程；(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.10．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，椭圆内一点M满足，．(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆上一点P在第一象限，且满，与椭圆交于点Q，直线交的延长线于点D．若的面积为，求椭圆的标准方程．11．设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.(1)求的值；(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.12．平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点M满足成等比数列.(1)设动点M的轨迹为曲线E，求曲线E的标准方程；(2)若动直线与曲线E相交于不同两点，直线与曲线E的另一交点为P，证明：直线过定点.13．已知抛物线C：的焦点为F，P(4,4)是C上的一点.(1)若直线PF交C于另外一点A，求；(2)若圆：，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN过定点.14．已知点、在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线交于、两点，且，则直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.15．如图，已知半圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于E点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将满足的曲线记为“”．(1)求实数、的值；(2)直线与曲线交于M、N两点，在曲线上再取两点S、T（S、T分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积；(3)设点，P是曲线上任意一点，求的最小值．16．（1）已知椭圆E：，直线经过点，交椭圆E于点A，B，直线经过点，交椭圆E于点A，C，其中点A不是椭圆E的顶点．若直线OA的斜率为，求直线BC的斜率（用表示）．（2）已知椭圆E：，直线经过点，交椭圆E于点A，B，直线经过点，交椭圆E于点A，C，其中点A不是椭圆E的顶点．记为直线OA的斜率，为直线BC的斜率．写出与的关系式（只需写出结果即可，不需写出推证过程）．