【知识梳理】
c
1.离心率公式：e=(其中c为圆锥曲线的半焦距)
a
(1)椭圆：e(0,1)
(2)双曲线：e(1,+)
(3)离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c
之间的联系。
2.求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需找出其中两个参数
的关系即可)，方法通常有两个方向：
(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求
焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而可求解。
(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用
条件列出等式求解。
3.离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问
题围绕在“曲线上存在一点”；则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破
口。
(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(构造
函数)。
(3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率。
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：
椭圆：e(0,1)，双曲线：e(1,+)
4.求椭圆或双曲线的离心率的值或取值范围，一般要尽快的列出与a,b,c有关的方程或不等式，然后消去b，
转化为关于a,c的齐次方程或不等式，就能进一步解决问题.(求双曲线的渐近线的斜率的值或取值范围可
借鉴此方式)
求值的问题主要是利用题中的等量关系，列出与a,b,c有关的方程.
求范围的问题相对复杂一些，主要是找出与a,b,c有关的不等关系，列出不等式或建立函数关系.【适当注
意椭圆的焦半径|PF|[a-c,a+c]，双曲线的焦半径|PF|c-a或|PF|c+a以及双曲线的浙近线的
斜率能否起作用；还有点在曲线上，坐标有限制：方程组或方程有解(判别式法；三角形中的边角不等关系.】
5.解析几何的题中有时给出一些较复杂的向量关系式，首先应该考虑直接运用向量的相关知识(几何意义)
化简，直接坐标化化简一般较繁琐!
【方法归类】
一.由特征量建立a,b,c的关系(特殊三角形、等量关系转换a,b,c的齐
次式等)
22
xy222
1.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x+y=a的两条切线，切点分别为A,B.若
a2b2
AOB=120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为()
35
A.B.2C.D.3
22
a1c
【解析】sin30==，e==2.
c2a
【答案】B
x2y2
2.设F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点，若F,F,P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双
12a2b212
曲线的离心率为()
35
A.B.2C.D.3
82
2b22222222
【解析】3=tan60=，4b=3c4c-4a=3cc=4a，e=4
c
【答案】B
x2y2
3.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正半轴的
a2b21
交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()
2123
A.B.C.D.
4222
b2
【解析】解法一(代数法)AB=(-a,b)OP=-c,
a
2
b2222221
ABOB-a=-cbb=ca-c=ca-2ce=
a2
b2
ba
解法二(几何法)=tan=tan=b=c
ac
【答案】C
x2y2
4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E
a2b2
4
于A,B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是
5
()
3333
A.0B.0C.1D.1
2424
【解析】由l:3x-4y=0榸及椭圆均关于原点对称，
连接AF1,BF1得AF1BF4=|AF|+|BF|=|AF|+AF14=2aa=2.
4b4222cc3
又d=b1b=4-c1c3e==.
55a22
【答案】A
22
xy222
5.设F是椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x+y=b相
a2b2
2
切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是
3
()
272523
A.B.C.D.
7522
【解析】PF:y=-3(x+c)3x+y+3c=0
d=3c=b3c2=4b2=4a2-4c2
2
4a2=7c2
e2=4
7
【答案】A
6.设椭圆C的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与椭圆C交于P,Q.若PF2=F1F2，且3PF1=4QF1，则
椭圆的离心率为.
【解析】不妨令PF1=4,QF1=3
2a-4=2C
222222
(2a-3)=(3+2)+DF2=5+(2c)-2
2a-4=2c
由，推出
(2a-3)2=21+4c2
利用3PF1=4QF1利用条件+作垂线勾服三角形
(2c+1)2=21+4c2c=5,a=7
25
b=24,e=
7
【答案】5
7
二.回代点的坐标(点在圆锥曲线上)建立a,b,c的关系
7.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则椭
圆C的离心率为.
【解析】解法一(向量外D点坐标)
BF=(c,-b)，FD=(x-c,y)
c
x=22
c=2x-2c23bxy
Dc,-代回+=1
22
-b=2yy=-b22ab
2
9c2
4192321
+=1e=e=
a24443
解法二(几何法)
3b22224
2:1Dc,-(c+a)y-2bcy-b=0
22
B(x1,y1),D(x2,y2)y1=-2y2
解法三(不对称问题--线性关系)
lBF:x=-by+c
椭:b2x2+a2y2-a2b2=0
4
1(y1+y2)4c222421
-==222b(c+a)=8ce=
2y1y2-b(c+a)3
【答案】3
3
x2y2
8.已知过椭圆+=1(a>0,b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若
a2b2
AOP是等腰三角形，且PQ=2QA，则椭圆的离心率为.
【解析】PQ=(x,y-a),QA=(-a-x,-y)
PQ=2QA(x,y-a)=2(-a-x,-y)
x=-2a
x=-2a-2x32a
Q-a,回代椭圆
y-a=-2yy=a33
3
2222
4aa2a-b14
+=1=5e==1-=
99b2b2a255
【答案】25
5
x2y2
9.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),M,N两点在双曲线C上，且
a2b212
MNF1F2,F1F2=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且F1Q=QN，则双曲线C的离心率为
.
c
【解析】x=
N4
222
22xN2ec
y=b-1=b-1N,be-1
Na216416
3b2
中点Q-c,e-1
8216
2
921e
回代点Qe--1=1
84416
e2=6
【答案】6
三.由线段长(范围)、点的坐标范围建立a,b,c的关系
(三角形中边角关系、焦点三角形、焦半径范围、椭圆或双曲线中的点的横纵坐标范围等)
x2y23a
10.设F、F是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，FPF是底角为30
12a2b2212
的等偠三角形，则E的离心率为()
1234
A.B.C.D.
2345
33
【解析】a-c=pFsin30=ce=
224
【答案】C
x2y2a2
11.(线段长不等式)设F，F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=上存在P，
12a2b2c
使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()
2323
A.0,B.0,C.,1D.,1
2323
2
a2221
【解析】解法一：|P2||QF|2c-ca3ce
2c3
2222
a22aa
解法二：P,mm=(2c)--c02c-c
ccc
【答案】D
x2y2
12.(焦半径范围)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0)，若椭圆上存在一点P，
a2b212
ac
使=，则离心率的取值范围为.
sinPF1F2sinPF2F1
【答案】(2-1,1)
x2y2
13.(焦半径范围)双曲线-=1(a>b>0)的两个焦点为F,F，若P为其上一点，且PF=2PF，则
a2b21212
双曲线离心率的取值范围为()
A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+)D.[3,+)
r1-r2=2ar=2a
【解析】2
r=4a
r1=2r21
PF2QF22ac-a3ace3
【答案】B
x2y2
14.(焦半径范围)点P是双曲线-=1(a>0,b>0)左支上的一点，其右焦点为F(c,0)，若M为线段
a2b2
c
FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是()
8
445
A.(1,8]B.1,C.,D.(2,3]
333
c4
【解析】pFQFc-ae
1143
【答案】B
xy
15.(横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)，点M,N分别是椭圆C半长轴OA,OA的中点，若椭
a2b212
圆C上存在点P满足4PMPN=a2，则此椭圆离心率的取值范围是.
a2aa
【解析】解法一(点范围)=pMPN=--x,-y-x,-y
4200200
2222
a2a22a2x0
=x-+yx-+b1-
404004a2
21
22e
2a2a222
x0=-b20,a2e<1
2ca22
a
2
2
22aa21
解法er(几何法)由解法一x+y=，又P轨与椭圆有交点be
00222
2
【答案】,1
2
xy
16.(点横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A(a,0)，其上存在一点P，使得APO=
a2b2
90，求椭圆的离心率的取值范围.
【解析】解法一：点P(x0,y0)在OA为直径的圆上，又在椭圆C上，则有：
22
x-a+y2=aa2-b2-ab2
0202
x2y2
0+0=1(2)1-a1-a
a2b2
222322
代入中a-bx0-ax0+ab=0
222
a-bx0-abx0-a=0又x0 2 ab22 x=(0,a)a>2b 0a2-b2 2221 a<2ce>,0 2 2 2 解法二：OPAP=0 0=x0,y0x0-a,y0 2 222b22 =x-ax+y又y=a-x 0000a20 2 2b22 =x-ax+a-x 00a20 222322 0=a-bx-ax0+ab 下面同法一(略) 四.由几何关系转换建立a,b,c的关系 x2y2 17.已知F、F是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点，以线段FF为边作正三角形MFF，若边MF 12a2b212121 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是() 3+1 A.4+23B.3-1C.D.3+1 2 【解析】MF1F2NF2=3C 定义一|N2|-|NF1=2a 2 即3c-c=2ae==3+1 3-1 【答案】D 222 xy22a 18.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)，作圆：x+y=的切线，切点为E，延 a2b24 1 长FE交双曲线右支于点P，若OE=(OF+OP)，则双曲线的离心率为. 2 【解析】r2=pF2=2OE=a r1=r2+2a=3a 2222225 Rtr+r=(2c)10a=4ce= 122 【答案】10 2