数学试卷
本试卷共 150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 x
A x 2 4
4
1. 已知集合 ， B {2,1,0,1,2}，则 A B （ ）
{1,0,1} {2,1,0,1,2} {0,1} {1,1}
A. B. C. D.
z 1
2. 若 i ，则| z | （ ）
z 1
2 1
A. 2 B. C. 1 D.
2 2
3. 已知单位向量 a 和 b ，若 a a 2b ，则 a b （ ）
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3
1 tan
5. 已知 sin( ) ， 2 ，则 sin( ) （ ）
3 tan
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 9 3 9
2x ,0 x 1
2
6. 已知函数 f (x) 1 ，则函数 g(x) f (x) 的零点个数为（ ）
f (x 1), x 1 x
2
A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷
7. 将 y sin x 的图象变换为 y sin 3x 的图象，下列变换正确的是（ ）
6
1
A. 将图象上点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移 个单位
3 6
B. 将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍，再将图象向右平移 个单位
18
1
C. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 倍
6 3
D. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍
6
8. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (1 x) f (1 x) 0 ，且 f (1 x) f (1 x) 0 ，当 x [1,1]
时， f (x) ax 2 ，则 f (x) 的最小值为（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对但不全得 3 分，有错选的得 0 分．
9. 从{1,2,3}中随机取一个数记为 a，从{4,5,6}中随机取一个数记为 b，则下列说法正确的是（ ）
4
A. 事件“ a b 为偶数”的概率为
9
7
B. 事件“ab 为偶数”的概率为
9
C. 设 X a b ，则 X 的数学期望为 E(X ) 6
D. 设Y ab ，则在 Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是 12
10. 在直棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形， CD 3CC1 3 ， P 为线段 B1C 上动
点， E ， F 分别为 A1D1 和 BC 的中点，则下列说法正确的是（ ）
1
A. 若 CP CB1 0 ，则经过 P ， E ， F 三点的直棱柱的截面为四边形
3
6
B. 直线 B1C 与 A1C1 所成角的余弦值为
4
C. 三棱锥 P A1DC1 的体积为定值
D. A1P BP 的最小值为 7
2 2 2 2
11. 一条动直线 l1 与圆 x y 1相切，并与圆 x y 25 相交于点 A，B，点 P 为定直线
l2 : x y 10 0 上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在直线 l1 ，使得以为直径的圆与 l2 相切
B. | PA |2 | PB |2 的最小值为150 20 2
C. AP PB 的最大值为 27 10 2
D. | PA | | PB | 的最小值为 8 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
m
1
若 的展开式中存在 2 项，则由满足条件的所有正整数 从小到大排列构成的数列
12. x x m an
x x
的通项公式为__________．
x2 y2
13. 设双曲线 C : 1 （ a 0,b 0 ）的右顶点为 F，且 F 是抛物线 : y2 4x 的焦点．过点 F 的
a2 b2
直线 l 与抛物线 交于 A，B 两点，满足 AF 2FB ，若点 A 也在双曲线 C 上，则双曲线 C 的离心率为
__________．
a
14. 已知 f (x) | ln a ln x 2 | | 1|，则 f (x) 的最小值为__________．
x
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，满足 2a2 3b2 c2 21 ．
3
（1）若 b c ， cos A ，求VABC 的面积；
4
（2）记 BC 边的中点为 D， AD x ，若 A 为钝角，求 x 的取值范围．
16. 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA AC 2 ， BC 1， AB 3 ．
（1）若 AD 平面 PAB ，证明： AD// 平面 PBC ；
6
（2）若 PA 底面 ABCD ， AD CD ，二面角 A CP D 的正弦值为 ，求 AD 的长．
3
x2 y2 1
17. 已知椭圆 C : 1(a b 0) ， C 的下顶点为 B ，左、右焦点分别为 F1 和 F2 ，离心率为 ，
a2 b2 2
过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 D ， E 两点．若直线 l 垂直于 BF1 ，则VBDE 的周长为8 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若直线 l 与坐标轴不垂直，点 E 关于 x 轴的对称点为 G ，试判断直线 DG 是否过定点，并说明理
由．
18. 已知函数 f (x) ax sin x ， x [0, ] ．
（1）若 a 1，证明： f (x) 0 ；
（2）若 f (x) 0 ，求 a 的取值范围；
1
（3）若 a 0 ，记 g(x) f (x) ln(x 1) ，讨论函数 g(x) 的零点个数．
a
19. 乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5 局 3 胜制”和“7 局 4 胜制”，“5 局 3 胜制”指 5 局中胜 3 局
的一方取得胜利，“7 局 4 胜制”指 7 局中胜 4 局的一方取得胜利．
（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用 5 局 3 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 0.8；若采
用 7 局 4 胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为 0.9．已知甲、乙两人共进行了 mm N* 场比
赛，请根据小概率值 0.010 的 K 2 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
（2）若甲、乙两人采用 5 局 3 胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为 p，没有平局．记事件“甲只要取得 3
局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为 A，事件“两人赛满 5 局，甲至少取得 3 局比赛胜利且甲获胜”为
B，试证明： P(A) P(B) ．
（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 p( p 0.5) ，没有平局．若采用“赛满 2n 1
局，胜方至少取得 n 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 P(n) ．若采用“赛满 2n +1 局，胜方至少取得
n 1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 P(n 1) ，试比较 P(n) 与 P(n 1) 的大小．
n(ad bc)2
附： K 2 ，其中 n a b c d ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
2
PK k0 0.05 0.025 0.010
5 024
k0 3.841 . 6.635
标准学术能力诊断性测试 2024 年 10 月测试
数学试卷
本试卷共 150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 x
A x 2 4
4
1. 已知集合 ， B {2,1,0,1,2}，则 A B （ ）
A. {1,0,1} B. {2,1,0,1,2} C. {0,1} D. {1,1}
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数性质确定集合 A ，再由交集定义计算．
1 x
【详解】 A x 2 4 {x | 2 x 2} ，又 B {2,1,0,1,2}，
4
所以 A B {1,0,1}，
故选：A．
z 1
2. 若 i ，则| z | （ ）
z 1
2 1
A. 2 B. C. 1 D.
2 2
【答案】C
【解析】
z 1 1 i
【分析】由 i 可得 z ，利用复数的除法可得 z，结合共轭复数的概念以及模的计算，即得答
z 1 1 i
案.
z 1
【详解】由 i ，可得 z 1 i z 1 ，
z 1
1 i 1 i1 i
所以 z i ，
1 i 1 i1 i
故 z i,| z |1，
故选：C
3. 已知单位向量 a 和 b ，若 a a 2b ，则 a b （ ）
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
2 2
【分析】由 a b a b 即可求解.
2 2
【详解】因为 a a 2b ， a 1,b 1，
2
所以 a a 2b a 2a b 0 ，
所以 2a b 1，
2 2
2 2
所以 a b a b a b 2a b 1，
所以 a b 1 ，
故选：B
4. 已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A. 1：2 B. 1：1 C. 3：4 D. 2：3
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱与球的表面积公式求解即可.
2
【详解】设球的半径为 R ，则 S球 4R ，
由题意，圆柱底面半径、圆柱高均为 R ，
所以圆柱的表面积 S 2R2 2R R 4R2 ，
所以圆柱与球的表面积之比为 1：1.
故选：B
1 tan
5. 已知 sin( ) ， 2 ，则 sin( ) （ ）
3 tan
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 9 3 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.
tan
【详解】 2 ，即 tan 2 tan ，
tan
sin 2sin
，即 sin cos 2cos sin ，
cos cos
1
sin( ) sin cos cos sin ，
3
1 1
2cos sin cos sin ，解得 cos sin ，
3 9
2
sin cos ，
9
2 1 1
sin( ) sin cos cos sin .
9 9 9
故选：D.
2x ,0 x 1
2
6. 已知函数 f (x) 1 ，则函数 g(x) f (x) 的零点个数为（ ）
f (x 1), x 1 x
2
A. 2 B. 0 C. 3 D. 无穷
【答案】A
【解析】
1
【分析】根据函数表达式确定函数 f (x) 在 (n 1,n]（ n N* ）上是增函数且 f (n) ，零点个数转
2n2
2
化为函数 f (x) 与 h(x) 的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．
x
2x ,0 x 1
【详解】由 f (x) 1 ，得 f (x) 在区间 (n,n 1] 上的函数值都是区间 (n 1,n]上相应函数
f (x 1), x 1
2
值的一半， n N* ，
又 0 x 1时， f (x) 2x 是增函数，即 f (x) f (1) 2 ，
1 1
所以 f (n) ，因此 x (n 1,n] 时， f (x) f (n) ，
2n2 2n2
2 2
令 h(x) ，它在 (0,) 上是减函数， h(n) ， h(1) 2 f (1) ， h(2) 1 f (2) ，
x n
2 1
当 n 3 时， h(n) ，
n 2n2
2
作出 y f (x) 和 h(x) 在 (0,) 上图象，如图，由图可知：
x
在 x 2 时， f (x) 的图象与 h(x) 的图象没有交点，所以在 (0,) 上，它们只有两个交点，
所以 g(x) 的零点个数为 2.
故选：A．
7. 将 y sin x 的图象变换为 y sin 3x 的图象，下列变换正确的是（ ）
6
1
A. 将图象上点的横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移 个单位
3 6
B. 将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍，再将图象向右平移 个单位
18
1
C. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 倍
6 3
D. 将图象向右平移 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的 3 倍
6
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换进行选择.
【详解】由 y sin x 的图象变换为 y sin 3x 的图象，有以下两种思路：
6
（1）先将 y sin x 的图象向右平移 个单位，得 y sin x 的图象，
6 6
1
再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
3
得 y sin 3x 的图象，故 C 正确，D 错误；
6
1
（2）先将 y sin x 的图象上任一点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
3
得 y sin 3x 的图象，再把所得函数图象向右平移 个单位，
18
得 y sin 3 x sin 3x 的图象，故 AB 错误.
18 6
故选：C
8. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (1 x) f (1 x) 0 ，且 f (1 x) f (1 x) 0 ，当 x [1,1]
时， f (x) ax 2 ，则 f (x) 的最小值为（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得函数 f x 的周期为8 ，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果.
【详解】由 f (1 x) f (1 x) 0 可得 f (1 x) f (1 x) ，
即 f x 关于 x 1 对称，即 f x f 2 x ，
由 f (1 x) f (1 x) 0 可得 f x 关于 1,0 对称，
即 f x= f 2 x ，所以 f 2 x f 2 x ，
令 2 x t ，则 x 2 t ，代入可得 f t f 4 t ，
即 f x f 4 x ，则 f x 8 f x 4 f x ，
所以 f x 的周期为8 ，
由 f x 是定义在 R 上的函数，且 f x 关于 1,0 对称，
可得 f 1 0 ，又当 x [1,1] 时， f (x) ax 2 ，
即 f 1 a 2 0 ，所以 a 2 ，
当 x [1,1] 时， f x4,0 ，
且 f x 关于 x 1 对称，则 x 3,1 时， f x4,0 ，
又 f x 关于 1,0 对称，则 x 1,5 时， f x0,4，
即 f x 在一个周期内的值域为4,4，
则 f (x) 的最小值为 4 .
故选：B
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
a b c
（1）若 f x a f x b c ，则函数 f x 关于 , 中心对称；
2 2
a b
（2）若 f x a f x b ，则函数 f x 关于 x 对称；
2
（3）若 f x a f x a ，则函数 f x 的周期为 2a；
（4）若 f x a f x ，则函数 f x 的周期为 2a.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对但不全得 3 分，有错选的得 0 分．
9. 从{1,2,3}中随机取一个数记为 a，从{4,5,6}中随机取一个数记为 b，则下列说法正确的是（ ）
4
A. 事件“ a b 为偶数”的概率为
9
7
B. 事件“ab 为偶数”的概率为
9
C. 设 X a b ，则 X 的数学期望为 E(X ) 6
D. 设Y ab ，则在 Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是 12
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定从{1,2,3}中随机取一个数，从{4,5,6}中随机取一个数的所有可能取法数，根据古典概型的
概率计算可判断 ABD；根据数学期望的计算可判断 C；
【详解】从{1,2,3}中随机取一个数记为 a，从{4,5,6}中随机取一个数记为 b，
共有 33 9 （种）可能；
对于 A，当 a 1,3时， b 5 时， a b 为偶数；当 a 2 时， b 4,6 时， a b 为偶数；
4
故共有 4 种可能，则事件“ a b 为偶数”的概率为 ，A 正确；
9
对于 B，当 a 1,3时， b 4,6 时， ab 为偶数；当 a 2 时， b 4,5,6 时， ab 为偶数；
7
此时共有 2 2 3 7 （种）可能，故事件“ab 为偶数”的概率为 ，B 正确；
9
对于 C， X a b 的取值可能为 5,6,7,8,9 ，
1 2 3 2 1
则 P(X 5) , P(X 6) , P(X 7) , P(X 8) , P(X 9) ,
9 9 9 9 9
1 2 3 2 1
故 E(X ) 5 6 7 8 9 7 ，C 错误；
9 9 9 9 9
对于 D，Y ab 的取值可能为 4,5,6,8,10,12,15,18 ，
1 1 1 1 1
P(Y 4) , P(Y 5) , P(Y 6) , P(Y 8) , P(Y 10) ，
9 9 9 9 9