数 学
说明：本试卷 21 道题，共 150 分；考试时间 120 分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条
形码贴在答题卡的相应位置上.
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 已知集合 ( )
A. (2, 4) B. [0, 4) C. [0,1] D. {0,1}
2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[0, + )上递减的是( )
x x
B. f (x) = cosx D. f (x) = e e
3. 已知a >b>0 ，以下四个数中最大的是( )
A. b B.
4. 已知角 的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点 ,cos ，则角 的一个可
能值为( )
A. B. D.
5. 已知函数f (x) = 9 lg x x + 1，则 f (x) >0 的解集为( )
A. (0,10) B. (1,10) C. (0,1) (10, +) D. (,1) (10, + )
6. 已知定义域为 R 的函数f (x) 满足f (x 2) 是奇函数，f (x) 是偶函数，则下列各数一定是f (x) 零点
的是( )
A. 2019 B. 2022 C.2025D. 2028
7. 深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型： ，其中，L 表示每一轮优化时
L = L0D
使用的学习率，L0 表示初始学习率，D 表示衰减系数， G 表示训练迭代轮数， G0 表示衰减速度．已知，
某个指数衰减学习率模型的初始学习率为 0.5 ，衰减速度为18 ．经过18 轮迭代学习时，学习率衰减为
0.4 ，则学习率衰减到 0.2 以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： lg 2 = 0.3010 ）
A. 71 B. 72 C. 73 D. 74
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1 1
8. 已知a, b 均为正实数．则“ >”是“ a2 + 5b2 >6ab ”的( )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“ 葫芦曲线” .它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振
幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为 sinx , x 0 ，其中 表示不超过
x 的最大整数.若该条曲线还满足 (1, 3) ，经过点 则该条葫芦曲线与直线 交点的纵
坐标为( )
B. C. D. 1
10. 如图所示，直线 y = kx + m 与曲线y = f(x)相切于(x1, f (x1 )), (x2, f (x2 )) 两点，其中 x1< x2 ．若当
x (0, x1 ) 时，f , (x) >k ，则函数 f (x) kx 在(0, +)上的极大值点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置. )
11. 函数f 的定义域为
12. 函数f 的值域为_____ .
13. 已知对任意实数 x ，均有cos = sin , R ，写出一组满足条件的(,) = ______ .
14. 已知函数f (x) = ln (x + 1) k 有两个零点a , b(a< b) ，则a + 2(b + 1) 的取值范围为 .
15. 已知函数f (x) = x +1 + ax 2 (a >0) 定义域为 R，最小值记为M(a) ，给出以下四个结论：
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M(a) 的最小值为 1；
M(a) 的最大值为 3；
f (x) 在(, 1) 上单调递减；
a 只有唯一值使得y = f(x)的图象有一条垂直于 x 轴的对称轴.
其中所有正确结论的是： .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在
答题纸上的相应位置作答. )
2 *
16. 已知数列{an } 的前 n 项和为Sn = n + 3n, n N .
（1）求{an } 的通项公式：
（2）若等比数列 {bn }满足b1 = a2, b2 = a3 ，求 {bn } 的前 n 项和Tn .
17. 已知函数f (x) = sin xcos cosxsin( >0,| |< ) .
若f ，求 的值；
（2）已知f (x) 在[ , ] 上单调递减， = 1 ，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数
f (x) 唯一确定，求, 的值.
是曲线y = f (x) 的一个对称中心；
f (x) 在[0, ] 上单调递增；
18. 已知函数 x3 + x2 4x + a
（1）若a = 0 ，求曲线 y = f (x) 的斜率为 4 的切线方程；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在[1,2] 上恰有 1 个零点，直接写出a 的取值集合.
19. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某
天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨 3 点 06 分）
时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
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（1）根据以上数据，可以用函数 y = Asin 来近似描述这一天内港口水深与
时间的关系，求出这个函数的解析式；
（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为 4.2 米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠
时，船底高于海底平面的安全间隙至少有 2 米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时
间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.
x 2
20. 已知函数f (x) = e (x + x)，记其在点 (a, f (a)) 处的切线方程为：y = ga (x) .
定义关于 x 的函数Fa (x) = f (x) ga (x) .
（1）求g1 (x) 的解析式；
（2）当a >0 时，判断函数Fa (x) 的单调性并说明理由；
（3）若 a 满足当x a时，总有 >0成立，则称实数 a 为函数f (x) 的一个“Q 点”，求
f (x) 的所有 Q 点.
21. 已知集合n = {X X = (x1, x2,..., xn ), xi {0,1}, i = 1, 2,..., n} ，对于任意 X n ，
操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1或连续k
个0 ，得到Y n+k (k 1) ；
操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0 ，得到Y nk (1 k n1) ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ 10 月变换 ”，在第n 次(n N* ) “ 10 月变换 ”的结果上再进行1
次“ 10 月变换 ”称为第n +1次“ 10 月变换 ”.
（1）若对X = (0,1, 0) 进行两次“ 10 月变换 ”，依次得到Y 4 ，Z 2 ．直接写出Y 和Z 的所有可
能情况.
（2）对于X = (0, 0,..., 0) 100 和Y = (0,1, 0,1,..., 0,1) 100 至少要对X 进行多少次“ 10 月变换 ”才能
得到Y ？说明理由 .
（3）证明：对任意X, Y 2n ，总能对 X进行不超过n +1次“ 10 月变换 ”得到Y .
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参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 【答案】D
【分析】先求出集合 A ，将其中非负整数代入 y = x ，即可判断是否属于集合 B ，进而结合交集的定义
求解即可.
【详解】根据题意， A = {x 2< x< 4 }，则集合 A 中的整数为1, 0,1, 2,3 ，
当x = 0 时，y = 0 = 0 B，当 x = 1 时，y = 1 = 1 B ，
当x = 2 时，y = 2 B，当 x = 3 时，y = 3 B ，
所以 A B = {0,1} .
故选：D
2. 【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义、单调性的判断方法进行判断即可.
解：A ．f 为奇函数，但x = 0 无意义，不符合题意；
B ．f (x) = cosx 为偶函数，不符合题意；
C ． 函数为奇函数，在[0, +)上递减，符合题意；
D ．f (x) = e x ex = (ex e x ) = f (x)，函数为奇函数，在[0, +)上递增，不符合题意；
故选：C .
3. 【答案】D
【分析】首先得 >>b ，而 、 都是正数，故只需让它们的平方作差与 0 比较大
小即可.
【详解】由题意 a >b >0 ，所以b =
由基本不等式可得 ,同时注意到 a b ，所以 >>b ，
2 2
a + b
而 、 都是正数，所以
i 2
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故选：D.
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4. 【答案】B
【分析】由题意可求得 tan = 结合选项可得结论.
【详解】因为 的终边经过点 ,cos
所以 tan =
所以角 的一个可能值为 .
故选：B.
5. 【答案】B
【分析】求导后可得f (x) 单调性，结合f (x) 零点可求得结果.
【详解】由题意知：f (x) 定义域为(0, +)，
( 9 ) ( 9 )
:当x |0, 时， f (x) >0；当 x | , + 时，f (x)< 0；
( ln10 , (ln10 ,
在 上单调递增 上单调递减，
又f (1) = f (10) = 0 ， :当x (1,10) 时，f (x) >0 ，
即f (x) >0 的解集为(1,10) .
故选：B.
6. 【答案】B
【分析】由已知条件确定函数周期，再逐项判断即可.
【详解】因为f (x 2)是奇函数，所以f (x 2) = f (x 2) 且f (2) = 0 ，
令x 2 = t ，可得：f (t ) = f (t 4)
因为f (x) 是偶函数，f (2) = 0 且f (t 4) = f (t + 4) ，
所以f (t + 4) = f (t ) ，
所以f (t + 8) = f (t + 4) = f (t) ，
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所以定义域为 R 的函数f (x) 一个周期为 8，
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所以f (2019) = f (2528 + 3) = f (3) 无法判断，
f (2022) = f (2528 + 6) = f (6) = f (2) = 0 ，
f (2025) = f (2538 +1) = f (1) ，无法判断.
f (2028) = f (2538 + 4) = f (4) ，无法判断.
故选：B
7. 【答案】D
【分析】根据已知条件列方程，可得D = ，再由0.5< 0.2 ，结合指对数关系和对数函数的性质求
解即可.
由于 所以 ，
L = L0D L =
依题意 0.4 = ，则
则L = 0.5
由L = 0.5 ( 0.2 ，得到
所以G >18log 73.9 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为 74 次，
故选：D.
8. 【答案】A
【分析】根据给定条件，结合不等式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由a, b 均为正实数，得 a< b ，则a2 + 5b2 6ab = 即
a2 + 5b2 >6ab ；
1 1
当a2 + 5b2 >6ab时，即(a b)(a 5b) >0 ，而a, b 均为正实数，则有 a< b 或a >5b ，即 >或
a b
1 1
所以“ >”是“ a2 + 5b2 >6ab ”的充分不必要条件.
a b
故选：A
9. 【答案】C
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