数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A x | 2 ln x 2 ， B 2,1,0,1,2,3 ，则 A B （ ）
A．{1,0} B．{1,2}
C．{1,0,1} D．{1,2,3}
1 2i
2．已知i 为虚数单位， i ，则 z 的共轭复数 z （ ）
z
A． 2 i B． 2 i C． 2i D． 2i
2 1
3．已知曲线 f x ax lnx 在点 1, f 1 处的切线与 x 轴相交于点 ,0 ，则实数 a （ ）
3
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．已知向量OA (1,k) ，OB (1,2) ，OC (k 2,0) 且实数 k 0 ，若 A，B，C 三点共线．则
k （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知过坐标原点 O 的直线 PO 与焦点为 F 的抛物线 C : y2 2px( p 0) 在第一象限交于点
P ，与 C 的准线 l 交于点Q ，若 PO 4OQ ，则直线 PF 的斜率为（ ）
4 2 1
A． B． C．1 D．
3 3 3
6．已知函数 f (x) sin x 3 cos x 与直线 y a(0 a 2)在第一象限的交点横坐标从小到大
依次分别为 x1, x2 ,, x n, ，则 f x1 2x2 3x3 （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． 3
b
7．定义： min{x, y} 为实数 x，y 中较小的数，已知 h min a, ，其中 a，b 均为正
a2 9b2
实数，则 h 的最大值是（ ）
1 1 6 3
A． B． C． D．
6 3 6 3
答案第 1页，共 7页
8．若不等式 aln x x 0有且仅有三个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
2 5 2 5
A． , B． ,
ln 2 ln5 ln 2 ln5
3 5 3 5
C． , D． ,
ln3 ln5 ln 3 ln 5
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，至
少有两项是符合题目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不
选得 0 分）
9．记等差数列an的前 n 项和为 Sn ，公差为 d ，若 a109 ， S20 200 ，则（ ）
A． d 2 B． Sn 的最小值为 S5
C． a1 9 D．使 Sn 0 的 n 的最小值为 11
10．若随机变量 X ~ N 0, 2 ， f x P X x ，则（ ）
A． f x 1 f x B． f 2x 2 f x
1 x 1
C． P X x 2 f x 1x 0 D．若 f f 2 ，则 x 1
1 x 3
11．如图，在锐二面角 AB 的半平面 内有一个四边形 MENF ，点 M 在 AB 上，
1 6
EF 2 ， MN 2 ，MEF 和NEF 的面积均为 ，点 N 到平面 的距离为 ，点 E 到
2 2
平面 的距离为 6 ，则（ ）
4
A． EFAB
B．直线 MN 与 AB 所成的角为 45
C．直线 MN 与平面 所成的角为30
D．二面角 AB 的大小为 60
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
x2 y 2
12．设双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的两条渐近线的倾斜角分别为, ，若 5 ，则
a2 b2
C 的离心率为 ．
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13．已知正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC 2CC1 ，动点 P 在侧面 ACC1 A1 内，且 PC PB1 0 ．若
2
点 P 的轨迹长为 ，则该正三棱柱的体积为 ．
2
14．记不超过 x 的最大整数为[x] ．若函数 f (x) | 2x [2x t] | 既有最大值也有最小值，则实
数 t 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
15．现有一种不断分裂的细胞 X ，每个时间周期内分裂一次，一个 X 细胞每次分裂能生成
一个或两个新的 X 细胞，每次分裂后原 X 细胞消失．设每次分裂成一个新 X 细胞的概率为 p ，
分裂成两个新 X 细胞的概率为1 p ；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂
相互独立．设有一个初始的 X 细胞，从第一个周期开始分裂．
3
(1)当 p 时，求 3个周期结束后 X 细胞数量为 2 个的概率；
4
(2)设 2 个周期结束后， X 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望．
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16．如图， AB 是半球O 的直径， AB 4, M , N 是底面半圆弧 AB 上的两个三等分点，P 是半
球面上一点，且 PON 60 ．
(1)证明： PB 平面 PAM ：
(2)若点 P 在底面圆内的射影恰在 ON 上，求直线 PM 与平面 PAB 所成角的正弦值．
答案第 4页，共 7页
17．已知函数 f x 1 axln 1 x x ．
(1)当 a 2 时，求 f x 的极值； (2)当 x 0 时， f x 0 ，求 a 的取值范围．
答案第 5页，共 7页
x2 y 2
18．已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的焦距为 4，离心率为 2, F1, F2 分别为 C 的左右焦
a2 b2
点，两点 Ax1, y1 ,B x2 , y2 都在 C 上.
(1)求C 的方程；
(2)若 AF2 2F2 B ，求直线 AB 的方程；
(3)若 AF1 BF2 且 x1x2 0, y1 y2 0 ，求四个点 A, B, F1, F2 所构成的四边形的面积的取值范围.
答案第 6页，共 7页
*
19．已知数列an满足： a1 3 ， m ， n N ，当 n m 时， an 2 am anm ．
(1)求数列an的通项公式；
n
1 1
(2)当 n 6 时，求证： 1 ；
an 1 2
n n n n n
(3)求解方程： a1 a2 a3 an an1 ．
答案第 7页，共 7页