成都石室中学20242025学年度上期高 2025 届十月考试
数学试卷
选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，
请把
正确的选项填涂在答题卡相应位置.
2
1. 已知集合 A 1,2,4 , B {x N | x x 2 0} ,则 A B
A.2,1,0,1,2,4 B. 0,1,2,4 C.1,2,4 D. 1
射击成绩图
2. 2024 年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成
10.800000018
绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在 10 米气步枪混合团体赛中获得, 10.600000015
10.400000012
两人在决赛中 14 次射击环数如右图,则 10.200000009
10.000000006
A.盛李豪的平均射击环数超过 10.6
9.800000003
B.黄雨婷射击环数的第 80 百分位数为 10.65 9.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
C. 盛李豪 黄雨婷
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
0.1
3.已知 a 0.6 , b log0.6 0.3 , c log0.6 0.4 ,则 a , b , c 的大小关系为
A. b c a B. a b c C. c b a D. a c b
4.已知实数 a , b , c 满足 a b c ，且 a b c 0 ，则下列说法正确的是
2a c
A. ab2 cb2 B. 2 C. | a || b | D. ab bc 0
c 2a
5.“函数 f (x) ln(x2 2ax 2) 的值域为 R”的一个充分不必要条件是
A.[ 2, 2] B. 0, 2 C． , 2 U[ 2,) D．[ 2,)
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产
生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和
1
组织，影响生物的繁殖和生态平衡. 已知氚的半衰期约为 12 年，则氚含量变成初始量的 大约需要经过( )
10000
年.（ lg 2 0.3010 ）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
7.若函数 y f (x) 的图象如图 1 所示，则如图 2 对应的函数可能是
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1
A. y f (1 2x) B. y f (1 x)
2
1
C. y f (1 2x) D. y f (1 x)
2
1 1
x , x 0,
8. 已知函数 f (x) 2 2 ,则方程 f (x) f (3 x) 2 的所有根之和为
x
2 1, x 0.
A．0 B．3 C．6 D．9
二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6
分, 部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9．已知函数 f x 的定义域为 R , f x 2y f x 2 f y ，则
A． f 0 0 B． f 1 1 C．()是奇函数 D．()在 R 上单调递增
10．已知复数 z1,z2 的共轭复数分别为 z1, z2 ，则下列命题为真命题的是
A． z1 z2 z1 z2 B． z1 z2 z1 z2
2 2 2
C．若 z1 z2 0 ，则 z1 z2 D．若 z1 z2 z1 z2 ，则 z1 z2 z1 z2 0
11.设函数 f x x aln x b ,则下面说法正确的是
A. 当 a 0,b 1时，函数 f x 在定义域上仅有一个零点
B. 当 a 0,b 0 时，函数 f x 在 (1,) 上单调递增
2 2 1
C.若函数 f x 存在极值点,则 a b D.若 f x 0 ,则 a b 的最小值为
2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.若函数 f (x) 2x2 kx 3 在[1,2] 上单调，则实数 k 的取值范围为_____．
13.若 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数， f (x) f (2 x) ， f (1) 2 ，则 f (1) f (2) f (3) f (2025) __
__________．
14. 若过点（1,b) 作曲线 y xex 的切线有且仅有两条，则 b 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 kx
15.（13 分）已知函数 f x ln 为奇函数．
x 1
（1）求实数 k 的值；
x
（2）若函数 g x f x 2 m ，且 g x 在区间2,3 上没有零点，求实数 m 的取值范围．
16.（15 分）已知三棱锥 D-ABC，D 在平面 ABC 上的射影为ABC 的重心 O， AC AB 15 ， BC 24 .
（1）证明：BCAD；
（2）E 为 AD 上靠近 A 的三等分点，若三棱锥 D-ABC 的体积为 432 ，求二面角 E CO B 的余弦值．
D
E
A C
O
B
16图 图
17. （15 分）某小区有 3000 名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占 a% .为减轻工
作量，随机地按 n 人一组分组，然后将各组 n 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这 n 个人全部
阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。
（1）若 a 0.2,n 20, 试估算该小区化验的总次数；
（2）若 a 0.9 ，且每人单独化验一次花费 10 元， n 人混合化验一次花费 n 9 元，求当 n 为何值时，每个居民
化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当 0 p 0.01时， (1 p)n 1 np .
18. （17 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A1,1 ， B1,1 ，动点 P 满足OP mOA nOB ，且 mn 1.设动点 P
形成的轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点T 2,2 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，试判断是否存在直线 l ，使得 A，B，M，N 四点共圆.若存
在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.
19. （17 分）在高等数学中，我们将 y f x 在 x x0 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
n
f x 2 f x n n
f x f x f x x x 0 x x 0 x x （其中 f x 表示 f x 的 n 次导数
0 0 0 2! 0 n! 0
*
n 3,n N ），以上公式我们称为函数 f x 在 x x0 处的泰勒展开式.当 x0 0 时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比
1 1 1
如 ex 在 x 0 处的麦克劳林公式为： ex 1 x x2 x2 xn ，
2! 3！ n!
1 1 1
由此当 x 0 时，可以非常容易得到不等式 ex 1 x,ex 1 x x2 ,ex 1 x x2 x3 ,
2 2 6
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出 sin x 在 x 0 处的泰勒展开式;
3 5
(2)若x 0, ， easin x x 1恒成立，求 a 的范围;（参考数据 ln 0.9 ）
2 2
5
(3)估计 ln 的近似值.（精确到 0.001 ）
3
成都石室中学 20242025 学年度上期高 2025 届十月月考
数学参考答案
选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.
2
1. 已知集合 A 1,2,4 , B {x N | x x 2 0} ,则 A B
A.2,1,0,1,2,4 B. 0,1,2,4 C.1,2,4 D. 1
【答案】B
【解析】 B {0,1}，故 A B {0,1,2,4} ，故选 B.
2. 2024 年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在 10 米
气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中 14 次射击环数如右图,则
A.盛李豪的平均射击环数超过 10.6
射击成绩图
B.黄雨婷射击环数的第 80 百分位数为 10.65
盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
C. 10.800000018
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差 10.600000015
10.400000012
【答案】C 10.200000009
10.000000006
【解析】盛李豪的射击环数只有两次是 10.8 环，5 次 10.6
9.800000003
环，其余都是 10.6 环以下，所以盛李豪平均射击环数低于 9.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10.6，故 A 错误；由于140.8 11.2 ，故第 80 百分位数是从 盛李豪 黄雨婷
小到大排列的第 12 个数 10.7，故 B 错误；由于黄雨婷的射
击环数更分散，故标准差更大，故 C 正确；黄雨婷射击环数的极差为 10.8-9.7=1.1，盛李豪的射击环数极差为 10.8-
10.3=0.5，故 D 错误.故选 C.
0.1
3.已知 a 0.6 , b log0.6 0.3 , c log0.6 0.4 ,则 a , b , c 的大小关系为
A. b c a B. a b c C. c b a D. a c b
【答案】A
【解析】由于 y log0.6 x 在 (0,) 单调递减，故 b c log0.6 0.6 1 ，又因为 a 1，所以 b c a ，故选 A.
4.已知实数 a , b , c 满足 a b c ，且 a b c 0 ，则下列说法正确的是
2a c
A. ab2 cb2 B. 2 C. | a || b | D. ab bc 0
c 2a
【答案】C
2a c 5
【解析】由题， a 0,c 0 ，取 a 1,b 0,c 1，则 ab2 cb2 ，故 A 错误； ，故 B 错误；
c 2a 2
ab bc 0 ，故 D 错误；因为 a2 b2 (a b)(a b) c(a b) 0 ，所以 a2 b2 ，即| a || b | ，故 C 正确.故
选 C.
5. “函数 f (x) ln(x2 2ax 2) 的值域为 R”的一个充分不必要条件是
A.[ 2, 2] B. 0, 2 C． , 2 U[ 2,) D．[ 2,)
【答案】D
【解析】因为函数 f (x) ln(x2 2ax 2) 的值域为 R，所以在方程 x2 2ax 2 0 中， 0 ，即 4a2 8 0 ，
解得 a 2 或 a 2 ，从而[ 2,) 是“函数 f (x) ln(x2 2ax 2) 的值域为 R”的充分不必要条件.故选 D.
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产
生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和
1
组织，影响生物的繁殖和生态平衡。已知氚的半衰期约为 12 年，则氚含量变成初始量的 大约需要经过
10000
( )年.（ lg 2 0.3010 ）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
【答案】B
1 t t 1
1 12 1
【 解 析 】 设 氚 含 量 变 成 初 始 量 的 大 约 需 要 经 过 t 年 ， 则 ( ) ， log 1 ， 即
10000 2 10000 12 2 10000
36
t 159 ，故选 B.
lg 2
7.若函数 y f (x) 的图象如图 1 所示，则如图 2 对应的函数可能是
1
A. y f (1 2x) B. y f (1 x)
2
1
C. y f (1 2x) D. y f (1 x)
2
【答案】A
1
【 解 析 】 由 y f (x) 的 定 义 域 为 (1,) 知 ， y f (1 x) 中
2
1 1
1 x 1, x 4 ，不符合图 2，故排除 B，D；对于 C，当 x 时， y f (0) 0 ，不满足图 2，故 C 错误；
2 2
将函数 y f (x) 的图关于 y 轴对称，得到 y f (x) 的图，向右平移 1 个单位得到 y f (1 x) 的图，最后纵
坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数 y f (1 2x) 的图可能为图 2，故选 A.
1 1
x , x 0,
8.已知函数 f (x) 2 2 ,则方程 f (x) f (3 x) 2 的所有根之和为
x
2 1, x 0.
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】方程 f (x) f (3 x) 2 的根为函数
y f (x) 和 y 2 f (3 x) 的图象交点横坐标，
1 1
x , x 0,
由函数 f (x) 2 2 得，
x
2 1, x 0.
1
x, x 3,
y 2 f (3 x) 2
3x
3 2 , x 3,
3
如下图所示，两函数图象共有 4 个交点，且由于两个函数图象关于点 ( ,1) 中心对称，故
2
方程 f (x) f (3 x) 2 的所有根之和为 6，故选 C.
二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6
分, 部分选对的得部分分,有选错的得 0 分,。
9．已知函数 f x 的定义域为 R , f x 2y f x 2 f y ，则
A． f 0 0 B． f 1 1
C．()是奇函数 D．()在 R 上单调递增
【答案】 AC
【 解 析 】 由 f x 2y f x 2 f y 知 ， 当 x y 0 时 ， f 0 3 f 0 ， 即 f 0 0， 故 A 正 确 ； 若
f x x ，则 f x 满足条件 f x 2y f x 2 f y ，但 f 1 1，且()是在 R 上单调递减，故 B,D
错误；当 x t, y t 时， f t f t 2 f t ，即 f t f t ，故 C 正确，故选 AC.
10．已知复数 z1,z2 的共轭复数分别为 z1, z2 ，则下列命题为真命题的是
A． z1 z2 z1 z2 B． z1 z2 z1 z2
2 2 2
C．若 z1 z2 0 ，则 z1 z2 D．若 z1 z2 z1 z2 ，则 z1 z2 z1 z2 0
【答案】ABD
【解析】设 z1 a bi, z2 c di 且 a,b,c,d R ，则 z1 a bi, z2 c di ，
z1 z2 a bi c di a c (b d)i ， z1 z2 a c (b d)i
所以 z1 z2 a c (b d)i ，所以 z1 z2 z1 z2 ，故 A 正确；
z1z2 (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ， z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ，故 B 正确；当 z1 1 2i, z2 2i
时，满足 z1 z2 1 0 ，但不能得出 z1 z2 ，故 C 错误；
2 2 2
z1 z2 (z1 z2 )(z1 z2 ) (z1 z2 )(z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1z2 z1 z2 z1 z2 z1z2 ，故
z1 z2 z1z2 0 ，故 D 正确，故选 ABD.
11.设函数 f x x aln x b ,则下面说法正确的是
A. 当 a 0,b 1时，函数 f x 在定义域上仅有一个零点
B. 当 a 0,b 0 时，函数 f x 在 (1,) 上单调递增
C.若函数 f x 存在极值点,则 a b
2 2 1
D.若 f x 0 ,则 a b 的最小值为
2
【答案】ABD
【解析】当 a 0,b 1时， f x x ln(x 1) ，由 f x 0 得， x 0 ，函数 f x 在定义域上仅有一个零
点，故 A 正确；当 a b 0 时，函数 f x x ln x ,当 x 1时， f x ln x 1 0 ，故函数 f x 在 (1,) 上
x a a b
单调递增，故 B 正确； f x ln(x b) ln(x b) 1 ，当 a b 时，函数 f x 在定义域上单
x b x b
调递增，且当 x b 时， f x ，当 x 时， f x ，此时函数 f x 存在零点 x0 ，即函数
函数 f x 在 (b, x0 ) 上单调递减，在 (x0 ,) 上单调递递增，故此时函数 f x 存在极值点，当 a b 时，
1 a b x 2b a
f x ，故函数 f x 在 (b,a 2b) 上单调递减，在 (a 2b,) 上单调递递
x b (x b)2 (x b)2
1
增，故 f x f a 2b ln(a b) 2 ，故当 b a b 时，函数 f x 存在零点，函数 f x 存在极值
e2
1
点,综上，当函数 f x 存在极值点时， b a b 或 a b ，故 C 错误；对于 D， x aln x b 0 恒成立,
e2
当 f x 0 时， x a 或 x 1 b ，当且仅当两个零点重合时, 即 a 1 b ，函数 f x 在 (a 1,a) 上单调
2 2 2 1 1
递减，在 (a,) 上单调递增，满足 x aln x b 0 , 则 a b 2b 2b 1 ,当 b 时取“=”，故 D
2 2
正确，故选 ABD.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.若函数 f (x) 2x2 kx 3 在[1,2] 上单调，则实数 k 的取值范围为_____．
【答案】 k 8 或 k 4
k k k
【解析】函数 f (x) 2x2 kx 3 的对称轴为 x ，故当 2 或 1时，函数 f (x) 在[1,2] 上单调，
0 4 4 4
即 k 8 或 k 4 ，故答案为 k 8 或 k 4 .
13.若 y f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， f (x) f (2 x) ， f (1) 2 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (2025)
________．
【答案】2
【解析】因为 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，故 f (x) f (x) ，又因为 f (x) f (2 x) ，
所以 f (2 x) f (x) ,故 f (x 2) f (x) ，所以， f (x 4) f (x 2) f (x) ，即 y f (x) 的周期为 4，
由 于 y f (x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 故 f (0) 0 ， f (2) f (0) 0 ， f (3) f (1) f (1) 2 ， 故
f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ， f (1) f (2) f (3) f (2025) 506[ f (1) f (2) f (3) f (4)] f (1) 2 ，
故答案为 2.
14. 若过点（1,b) 作曲线 y xex 的切线有且仅有两条，则 b 的取值范围是 ．
5
【答案】[0,e) { }
e2
x0 x x0 x0
【解析】设切点为 (x0 , x0e ) ， f (x) (x 1)e ，故切线方程为 y x0e (x0 1)e (x x0 ) ，将（1,b) 代入切
x0 x0 2 x0
线方程得 b x0e (x0 1)e (1 x0 ),b (x0 x0 1)e ，
令 g(x) (x x2 1)ex ，则
g(x) (2 x x2 )ex (x 1)(x 2)ex ，
故 g(x) 的单调减区间 (,2),(1,) ，增区间是 (2,1) .当 x 时，
5
g(x) 0 ，当 x 时， g(x) ， g(1) e, g(2) ，当 y b 与 y g(x) 有且仅有两个交点时，
e2
5 5
b[0,e) { } ，故答案为[0,e) { }.
e2 e2