甘肃省兰州一中2025届高三9月诊断考试-数学答案

兰州一中高三年级诊断考试试卷 高三数学答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．)题号12345678答案CBDDCADB二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.题号91011答案ABCBDAB三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．)5 ,12 、( 3 113 、36 14、四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。)15. （ 本 题 13 分 ） 在 ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且b2 + c2 a2 = 24, S ABC = 12. (1)求tanA ;(2)若D在边BC上且BD = 2DC,AC = 2 5 ,求 AD 的长.解析 ：(1)因为b2 + c2 a2 = 24, SABC = 12, 所以b2 + c2 a2 = 2 SABC = bcSinA.所以 SinA,得 2cOSA = SinA即tanA = 2.因为tanA = 2,所以OS2A = 1 ,解得SinA = 因为tanA = 2 >0,且A为三角形的内角,所以SinA = ,cOSA = 又因为 SABC = bcSinA = = 12,所以c = 6.--- 1 --- 2 ---因为BD 2DC,AD = 3 AB + 3 AC.所以A---2 = ( A--- + A--)2 = ( A---)2 + (A--)2 + 2( |A--- |)( |A--|)cOSA,16.（本题 15 分） 已知函数fx是定义在R上的奇函数,且当x >0 时,f x = x2 + 2x.(1)求函数fx的解析式 ;(2)若函数gx = f x + m在R上有三个零点,求m 的取值范围. 解析 ：(1)令x< 0,则x >0,又fx是定义在R上的奇函数,所以可得fx = fx = [ x2 + 2x] = x2 + 2x， x2 + 2x x0x2 + 2x, x< 0.又f0 = 0,故函数fx的解析式为fx = , ,(2)根据题意作出fx的图象如下图所示:f 1 = 1,f 1 = 1,若函数gx = fx + m在R上有三个零点,即方程fx + m = 0 有三个不等 的实数根,所以函数fx与y = m有三个不同的交点,由图可知当1< m< 1,即1< m< 1 时, 函数fx与y = m有三个不同的交点,即函数gx有三个零点.故m的取值范围是(1,1) .17.（本题 15 分）已知在四棱锥P ABCD中,PA 平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AD// BC,AD DC,若PA = AD = 2,DC = 2 2 ,点M为PD的中点,点N为PC的四等分点(靠近点 P).(1)求证:平面AMN 平面PCD ;(2)求点P到平面AMN的距离.解析 ：(1)在四棱锥P ABCD中,PA 平面ABCD,CD 平面ABCD, 则PA CD,又AD CD,因为PA AD = A,PA,AD 平面PAD,所以CD 平面PAD, 因为AM 平面PAD,所以AM CD,因为AP = AD,点M为PD中点,所以AM PD, 因为CD PD = D,CD,PD 平面PCD,所以AM 平面PCD,因为AM 平面AMN,所以平面AMN 平面PCD(2)由(1)知CD 平面PAD,又PD 平面PAD,则CD PD,因为PA AD,PA = AD = 2,DC = 2 2 ,点M为PD的中点,所以PD = 2 2 ,PM = 2 ,PC = PD2 + CD2 = 8 + 8 = 4,因为点N为PC的四等分点(靠近点P). 所以PN = 1,因为PD = CD,CD PD,所以CPM = 45 所以由余弦定理得MN = PN2 + PM2 2PN PMcos45 =第 2 页 共 4 页所以PN2 + MN2 = PM2,所以PN 丄 MN,因为AM 丄平面PCD,所以AM 丄 MN 设点P到平面AMN的距离为h,所以三棱锥P 一 AMN的体积VP 一AMN = VA 一PMN 1 1 所以h = 1.18.（本题 17 分） 甲、乙、丙、丁 4 名棋手进行围棋比赛,赛程如下面的框图所示,其中编 号为i的方框表示第i场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第i场比赛的胜者称为“胜者 i ”,负者称为“负者i ”,第 6 场为决赛,获胜的人是冠军,已知甲每场比赛获胜的概率均为, 而乙,丙、丁相互之间胜负的可能性相同.(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率 ;(2)求甲获得冠军的概率 ;解析：(1)乙连负两场,即乙在第 1 场、第 4 场均负,乙连负两场的概率为(2)甲获得冠军,则甲参加的比赛结果有三种情况:1 胜 3 胜 6 胜;1 负 4 胜 5 胜 6 胜;1 胜 3 负 5 胜 6 胜, 甲获得冠军的概率为:P2 = 3 + 2 19.（本题 17 分）已知抛物线E: y = x2 ,过点T(1,2)的直线与E交于A,B两点,设E在点A,B处的切线分别为l1 和l2,l1 与l2 的交点为P.(1)若点A的坐标为( 一 1,1),求 OAB 的面积(0为坐标原点) ;(2)证明:点P在定直线上.解析 ：(1)直线AB的斜率直线AB的方程为y 一 1 = ,即x 一 2y + 3 = 0.联立方程 + 3 = 0 ,整理得:2x2 x 3 = 0.设A(x1 , x , B x2 , x ) ,则 x1 + x2 = , x1x2 = 2 .设直线AB与y轴的交点为D,则D 0, 3(2)由y = x2,得y ' = 2x.l1 的方程为:y = 2x1 (x x1)+x,整理得:y = 2x1x x. 同理可得l2 的方程为:y = 2x2x x.设pxp, yp, ,联立方程 ,解得 .因为点T(1,2)在抛物线内部,可知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y = k (x 1) + 2,与抛物线方程联立得:x2 kx + k 2 = 0, 故x1 + x2 = k, x1x2 = k 2.所以xp = , yp = k 2,可得yp = 2xp 2, 所以点p在定直线y = 2x 2 上.第 4 页 共 4 页