2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题
卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合A={x|x2-x>2j,B={-2,-1,0,1,2,3}),则AnB=
A.{-2,-1} B.{0,1; C.{-2,3} D.{1.2}
2. 函数f(x)=x2+的最小值为
A.1 B.2 .4 D.8
3. 已知i为虚数单位，若(z-1)i=1+i,则z=
A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a(a+b)=0,则(a,b)- 1
A.60 B.90 C.120 D.150
5. 已知cos(a+B)=4, cosacos=3,则tanatan=
A.4 B.3 C.3 D.4
6.某池塘中饲养了A、B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘
的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据(单位：尾),若在采样点北捕捞到20尾鱼，
则品种 A约有 采样点 品种A 品种B
A.6尾 B.10尾 东 20 9
C.13尾 D.17尾 南 7 3
西 17 8
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7.若函数f(x)=In(x-a)-In(x-1)在(1,+0)上单调递减，则
A.a>1 B.a1 C.a<1 D.a0
8. 已知直角ABC的斜边BC长为2,若沿其直角边AB所在直线为轴，在空间中旋转形成一
个圆锥，则该圆锥体积的最大值为
A.85 B.4s。 c.55。 D.165。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.在实际生产中，通常认为服从正态分布N(,a2)的随机变量X只取[u-3o,B+3o]中的值，
这在统计学中称为3原则，若X在[-3o,+3o]外，可以认为生产线是不正常的，已
知P(-3X+3)0.9973.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1,
0.0001)(单位：厘米),则
A. P(X=1)=_
B. P(X<0.99)=P(X1.01)
C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99;i.02]内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为).95,应对生产线进行检修
10.已知曲线C?:y=sin2x, C?y=sin 2x-3),则
A.将C?向右平移h16个单位，可以得到C?
B.将C,向左平移3个单位，可以得到C?
C.C?与C?在[0,]有2个公共点
D.C在原点处的切线也是C?的切线
11.已知O为坐标原点，F是抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点，A,B是E上两点，且
AF=FB则
A. V>0,|AB|2p B.Va>0AF+BF=)
C.3>0, sinAFo=232 D.3>0,cos AOB0
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三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{a,}中，a =-3,a?+a?=0,则a?=
13.已知直线a,b和平面,b与存在位置关系M.若“a且M”是“ab”的充分条
件，则M可以是
14.有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1, 0 0 0 1
使得4行中所填数字之和恰好是1,2,3,4各一个，4列中 0 0 1 1
所填数字之和恰好也是1,2,3,4各一个(如图为其中一 0 1 1 1
种填法),则符合要求的不同填法共有 种. 1 1 1 1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积s=2
(1)若 A=3,,b=1,水
(2)若a>b,求a2+b3+2 的最卡值，并判断此时ABC的形状.
16.(15分)
如图，三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,ABAC,A=15,AC=20.M是棱BC
上一点，且AM=12.
P
(1)证明：BC1平面PAM;
(2)若PA=10,求PA与平面PBC所成角的正弦值.
AL C
M
B2
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17.(15分)
甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后
每局交换先行者，直至比赛结束.已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6,乙先行时他赢下该
局的概率为0.5.
(1)求比赛只进行了三局就结束的概率；
(2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.
18.(17分)
已知椭圆T: +y2=1,,直线1与椭圆[相交于A,B两点，M为线段 AB的中点.
(1)设直线1的斜率为k,已知M(1,my?),求证： k<-2
(2)直线1不与坐标轴重合且经过「的左焦点F,直线OM与椭圆T相交于C,D两点，
且|AM||BM|=|CM|.|DM|,求直线l的方程.
第4页共5页
19.(17分)
已知数列{a,}:a=2,a=2a+1
(1)证明： {a-2} 是等比数列；
(2)已知数列{b,}:b,=a?n
求b,的最大值；
对任意的正整数k(k2),证明： 2b>(2k-1)b
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2025 年普通高等学校招生全国统一考试
9月调研测试卷 数学参考答案
一、单选题
1~8 CBBC ACCD
8题提示：由题意，设ABC内角A,B,C所对的边为a, b,c,则有c2+b2=4,则该圆锥的体积
=3.b2c=3.(4-c2)-c,,设f(x)=x(4-x2),则f'(x)=4-3x2,f(x)在0,23上
单调递增，在(23,2)上单调递减，所以-7(4-423=1673m
二、多选题
9. BCD 10. A 11. ABC
11 题提示：由AF=FB可知，A.r,?三点共线，所以直线AB是过焦点F的直线，设其倾斜角为,
A(x,y),B(x?,y?),所以焦点弦22=x?+x?+p=sinPa2p,,A 正确， AFF-cosa'
BFI=I+cosa,所以AFIIBFI=p,6正确，sinAFO=sin(-a)=sinae(0,),故
3>0,sinAFo=23,C 正确，V>0,I+|BOP-|AB|2=-2xx?-p2<0,所
以 cosAOB<0,D错误.
三、填空题
12.3 13. bc或b// 14.576
14题提示：显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1,按照下面的顺序填入这6个数字0
(1)先找到一行并填入3个数字0,选出这样1行共有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入
数字0,也有C3=4种填法.因此这一步共有44=16种不同的填法.
(2)选出一列填入3个数字0,以图为例，可知这一列必为前三列(否则就没有一列的数字之和为
4)中的某一列，从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0,所以填入另外两
个数字0有C2=3种填法。这一步共有33=9种不同的填法.
(3)当完成前面两步后，最后一个数字0只有4个位置可以选择。
因此，符合要求的不同填法共有1694=576种.
9月调研测试卷(数学)参考答案 第1页 共5页
四、解答题
15.(13分)
解：(1)由s=?bcsinA=!c2,得c=bsinA=13=3 4分
(2)由 absinc=12得c2=absinC,
a+b+C=2+b-C+aB=2coSC+2sinC=22sin(C+4)
所以a2+b+c得最大值为22, 9分
此时，c=4,a2+b2tc2=2JZab,e2=a
所以a2+b2-322ab=0=(b-2a)(b-2a)=0,b=2a(舍去)或b=上a,
从而cc=-2a,故.iBC是以A为直角顶点的等腰直角三角形. 13分
16.(15分)
解：(1)因为AB AC,AB=15,AC=20.断以BC=25,
因为AMBC=ABAC=300,所以AM be,
因为PA1平面ABC,所以 PAIBC,
又AM,PAC平面PAM,所以BC1平面PAM. 6分
(2)由条件，AB,AC,AP两两垂直，以ABAC,AP方向为 =轴正方向建系如图，
则B(15,0,0),C(0,20,0),P(0,0,10),BC=(-15,20,0),BP=(-15,0,1第配=(0,0,10)=个p
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则
,即{-3x+2==0,取n=(4,3,6)
n=0 Ai C y
M
cas(i. D)=6106=61 xB
故PA与平面PBC所成角的正弦值为6 15分
17.(15分)
解：(1)比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢，
所以概率为0.60.50.6+0.40.50.4=0.18+0.08=0.26. 6分
(2)X可取值为3,4,5
9月调研测试卷(数学)参考答案 第2页 共5页
X=3时，则前三场都是甲赢，P(X=3)=0.50.6=0.3
X=4时，则可能的情况是
甲 乙 甲 乙
乙胜 甲 乙 乙 乙
甲胜 甲 甲 乙 甲
甲胜 甲 乙 甲 甲
P(X=4)=0.50.40.5+0.50.40.5+0.50.60.5=0.35
P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35
故E(X)=30.3+40.35+50.35=4.05. 15分
18.(17分)
解：(1)设A(x,y),B(x?,y?),
由 ,得-+x-2=0,变形得x-x+x?=-,
即km=-,故k-.,解得 (2)由题意，直线1不与x轴重合，设直线1的方程为 =my-1, 联立 ,得(m2+2)y2-2my-1=0. 设A(x,y),B(x?,y?),则y+y?=m2+2,wv?=-m2+2, 可得|AB=-i+m-x+x?)-4yw=vI+m2-2P++2=220+21 x+x=m(y+x?)-2=m2+2-2=m242- ,则弦AB的中点M的坐标为(+2m2+2, 故CD的方程为 ,得2=m2+2’ 9分 由对称性，不妨设C(x?,y?D(-x?,-y?),则x2=m2+2,其中x?>0. 可得|CDFy1+m12=、(m2+4)4+2=2m+2 9月调研测试卷(数学)参考答案 第3页 共5页 由题意[OCHOD=?ICD|,|AM|=IBM|=?AB|, 且|AMIBMI=ICMIIDMF(ICD|+10MDGICD|-10M), 故ABF=CDF-10MP,,即|ABF=|CDP-4|OMP, 代入|AB|,|CD|,|OM|,得 (m2+2)2=4m+2)-442P+(m2+2)1 解得m=2,故直线l的方程为x=2y-1. 17分 19.(17分) 解：(1)由a=-a.+6可得a-3=2a+6-3=a+13, am+2=2a+6+2=a+8 两式相除可得 a+2-4,+84a+2,a-2--4, 故{a-2}是首项为-4,公比为-4所学比数列. 5分 (2)由(1)可知， a.+2-(-4),解得，=4)+2,故b,=a-316-+2 .=3-(16-1)+?=3+165- ,故b,随n的增大而减小一 即n=1时b,的值最大， 且最大值?=3+1=3 10分 2b>(2k-1)一2b+b>2h,-20b+b?)>k2b. 4+-8-0- ,当且仅当i=k 时取等； (3.16'+2)(3.162?-+2)=9-16+6(16'+163?-)+4, 其中16+162-2.162*=216*,当且仅当i=k时取等； (16'-1)(16*-1-1)=16*-(16+162)+1,其中16'+16-216*=2-16*, 故(16-1)(162-1-1)162*-216*+1=(16*-1)2,当且仅当i=k时取等； 9月调研测试卷(数学)参考答案 第4页 共5页 故f+42206--238-3-24 ,当且仅当i=k时取等； 由此22(b+b?-)>k2b,对任意k2恒成立，即原不等式成立. 17分 9月调研测试卷(数学)参考答案 第5页 共5页一