本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知复数 满足 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知抛物线 ，则抛物线 的焦点到其准线的距离为
（A） （B）
（C）3 （D）
（4）在 的展开式中，常数项为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知等比数列 满足 ， ，则 的公比为
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或
（6）已知函数 . 若 时， 取得最大值，则 的值可能是
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形， ，则
点 到直线 的距离为
（A） （B）
（C） （D）
（8）若圆 的圆心到 轴、 轴的距离相等，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知单位向量 ，则“ ”是“任意 都有 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）设集合 ． 对于集合 的子集 ，若任取 中两个不同元素
，有 ，且 中
有且只有一个为 ，则称 是一个“好子集”．下列结论正确的是
（A）一个“好子集”中最多有 个元素 （B）一个“好子集”中最多有 个元素
（C）一个“好子集”中最多有 个元素 （D）一个“好子集”中最多有 个元素
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）函数 的定义域为________．
（12）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为 ，则 _______； _______．
（ 13） 已 知 双 曲 线 （ 其 中 ） 的 右 焦 点 为 ， 则
________， 的离心率为________．
（14）函数 是奇函数，且 对任意 成立，则满足条件的一组值可以是
________， ________．
（15）在棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 的中点. 点 为正方体表面上的
动点，满足 . 给出下列四个结论：
线段 长度的最大值为 ；
存在点 ，使得 ；
存在点 ，使得 ；
EPF 是等腰三角形.
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
如图，在直三棱柱 中， 为直角，侧面 为正方形， ，
分别为 ， 的中点．
（）求证： 平面 ；
（）求证： ；
（）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（17）（本小题 13 分）
已知 为锐角三角形，且 ， .
（）求 的值；
（）再从条件 、条件 、条件 这三个条件中选择一个作为已知， 求 的周长．
条件： ；
条件： ；
条件 ： ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题 13 分）
某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的
频率分布直方图，如右图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率
估计概率.
（）估计某一天此款甜品销售量不超过 个的概率；
（）用 表示在未来 3 天里，此款甜品日销售量多于 个的天
数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续 30 天的销售记录，发现这其中有 20 天的销售量都大于 70
个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由.
（19）（本小题 15 分）
已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ．
（）求椭圆 的方程；
（）椭圆 的左焦点为 点 为椭圆 上不同于顶点的一点，直线 与 轴的交点分别为
，若 ，求点 的横坐标.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 ，直线 是曲线 在点 处的切线．
（）当 时，求直线 的倾斜角；
（）求证：除切点 之外，曲线在直线 的上方；
（）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
（21）（本小题 15 分）
已知数列 满足 ，其中 .
（）当 时，求 的值；
（）求证： 不是单调递增数列；
（）是否存在 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
2024 年定位考试
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）C （2）D （3）B （4）A （5）D
（6）B （7）D （8）C （9）C （10）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一）
（15）
说明：12, 13, 14 题都是第一个空 3 分，第二个 2 分；
15 题 对一个给 1 分，对两个给 3 分，全对给 5 分，如果有错的，则给 0 分。
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
解：（）连接 ，在 中，
因为 分别为 ， 的中点，
所以 ……….2 分
又 平面 ， 平面
所以 平面 ． ……….4 分
（）因为直三棱柱
所以 平面 ，
所 以 ，
……….5 分
又 为直角，
所以 ， ……….6 分
又
所以 平面 ， ……….7 分
所以 ，
由（） ，
所以 . ……….8 分
（）建立空间直角坐标系 ， ……….9 分
则 ， ， ， ．
因此 ， ．
设平面 的法向量为 ，则
即 ……….11 分
令 ，于是 ． ……….12 分
设直线 与平面 所成角为 ．
所以 ． ……….14 分
（17）（共 13 分）
解：（）由正弦定理 ， ……….3 分
所以 ． ……….4 分
代入得
所以 . ……….5 分
（）选择条件： ． ……….6 分
因为 ， 所以 . ……….8 分
因为 为锐角，所以 ……….9 分
由余弦定理 ， ……….11 分
代入得到
所以 .
解得 ， （舍）. ……….12 分
所以 的周长为 . ……….13 分
选择条件： . ……….6 分
因为 ，所以 , ……….7 分
所以 ，以下同选择.
选择条件 ： ． ……….6 分
因为 ， 所以 . ……….8 分
因为 为锐角，所以 ……….9 分
由余弦定理 ， ……….11 分
代入得到
所以 , ……….12 分
所以 的周长为 . ……….13 分
（18）（共 13 分）
解：（）设事件 为“某一天此款甜品销售量不超过 个”， ……….1 分
所以 ． ……….4 分
（） . ……….5 分
，
，
，
，
所以 的分布列为
……….9 分 所 以
……….11 分
（）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.
因为以前此款甜品的日销售量大于 70 个的频率为 ，
现在 30 天中有 20 天销售量大于 70 个，其频率 远大于改进前,
所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化． ……….13 分
(也可认为无法确定有无变化，30 天中有 20 天销售量大于 70 个是随机事件，按之前频率
估计计算 30 天中有 20 天销售量大于 70 个的概率比较小，一般不容易发生，但还是有可
能发生的，所以无法确定有没有变化)
（19）（共 15 分）
解：（）由题设，
所以 的方程为 ． ……….5 分
（）法一：
设 ，所以 ……….6 分
所以 ， ……….7 分
直线 的方程为 ． ……….8 分
令 ，得 ……….9 分
又 ， ……….10 分
直线 的方程为 ． ……….11 分
令 ，得 ， ……….12 分
所以 ．
所以 ， ……….14 分
所以 ，
所以 ，
所以 ， . ……….15 分
法二：
由题意直线 斜率存在，且不为 0，设直线 的方程为 ．
……….6 分
令 ，得 ……….7 分
由 得 ． ……….8 分
易得 ．设 ，则 ， ……….9 分
，所以 ……….10 分
直线 的方程为 ． ……….11 分
令 ，得 ， ……….12 分
所以 ． ……….13 分
所以 ， . ……….14 分
所以 ， . ……….15 分
（20）（共 15 分）
解：（）当 时， ，
所以 ． ……….2 分
所以 ． ……….3 分
所以直线 的倾斜角为 . ……….4 分
（）因为 ． ……….5 分
所以 ， ……….6 分
所以直线 的方程为 ， ……….7 分
令 . ……….8 分
法一：
当 时， ，
所以 .
当 时， ，
所以 ， ……….9 分
所以 对 且 成立，
即除切点 之外，曲线 在直线 的上方. ……….10 分
法二：
因为 ，
所以 时， ．
时， ， ，
与 的变化情况如下表：
……….9 分
所以，函数 在 处取得最小值 ，
所以 对 且 成立，
即除切点 之外，曲线 在直线 的上方. ……….10 分
（）因为函数 在 上单调递增，
所以 对 成立 ……….11 分
令 ， ……….12 分
所以 ， ……….13 分
所以 对 成立， 所以 在 上单调递增， ……….14 分
所以只需 ， 所以 .
所以 的取值范围为 . ……….15 分
（21）（共 15 分）
解：（） ， ， ， , . ……….4 分
（）假设数列 单调递增，
因为 ， 所以 ，
所以
所以
所以 ，
所以 ，矛盾.
所以假设不成立，
所以数列 不是单调递增数列. ……….9 分
（）若 ，
因为 ， ，
所以
因为 ，又 ，所以 ， ……….11 分
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，且
所以
所以