成都石室中学2024-2025学年度上期高 2025 届定时练习
数 学
本试卷共 8 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净
后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
一、单选题
1、已知集合 = { | = ln(5 ), }， = { | = e }，则 的子集个数为（ ）
A.4 B.14 C.15 D.16
2、“ = 3”是“直线 1: ( + 1) + 2 + 1 = 0 与直线 2: 3 + + 1 = 0 平行”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3、四川省将从 2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”
为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出
如下两个等高堆积条形图，则下列结论正确的是（ ）
A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C.样本中选择物理学科的人数较多 D.样本中男生人数少于女生人数
4、已知{ }为等比数列， 2 3 7 = 4 6， 9 10 = 27，则 7 =（ ）
A.3 B.2 C. 2 D. 3
5、已知函数 ( ) = ln 的图像与直线 = + 1 相切，则 的值为（ ）
1 1
A. B. C.e D.e2
e e2
6、已知 M，N 分别是正四面体 中棱 AD，BC 的中点，若点 E 是棱 CD 的中点.则 MN 与 AE 所成角的余
弦值为（ ）
3 3 6 6
A. B. C. D.
3 3 6 6
1 2 1 1
7、若 = sin + ， = cos + ，则（ ）
3 3 3 18
A. >1 >B. >>1 C.1 >>D. >1 >
8、若直线 和直线 相交于一点，将直线 绕该点按逆时针旋方向转到与 第一次重合时所转的角为 ，则
1 2 1 2
2 2
角 就叫做 到 的角 ，tan = 2 1 ，其中 , 分别是 , 的斜率，若双曲 线 ： = 1( >0, >0)的右
1 2 1+ 1 2 1 2 2 2
1 2
2
焦点为 ， 是右顶点， 是直线 = 上的一点， 是双曲线的离心率， = ，则 tan 的最大值为
（ ）
1 2
A. B. C. D.
2 1+ 1+ 2 1+ 2 1+2
二、多 选题
9、下列命题中，正确的是（ ）
A.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)，若 ( 0) = 0.3，则 (< 4) = 0.3
B.用 表示 次伯努利试验中事件 发生的次数， 为每次试验中事件 发生的概率，若
2
( )= 150, ( ) = 50，则 =
3
C.分 别抛掷两 枚 质地均匀的 硬币，设 =“第一枚正面朝上”， =“第二枚反面朝上”，
则有: ( ) = ( )
101
D.已知随机变量 的分布列为 ( = ) = ( = 1,2,3, , 100)，则 =
( +1) 100
10、设函数 ( ) = 3 3 2 +1， 则（ ）
A.当< 0 时， = 0 是 ( )的极小值点
B.当 0<< 2 时， ( )有三个零点
C.当 = 1 时，若 ( )在( 1, )上有最大值，则 >0
D.若 ( )满足 ( ) + (2 ) = 2，则 = 1
11、已知{ }满足 = 1， 2 ( 1) 2 = 0，记{ }的前 n 项和为 ，{ }的前 n 项和为
1 +1 +1 +1
，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A.{ +1 }是等比数列 B.{ }的通项公式为 = ( 1)!或 = ( 1) 1
C.若 >0，则 = ( + 1)! 1 D.若 +1<0，则 2 为定值
三、填空题
+ +
12、若 ( + 2) 5 = 5 + 4 + 3 + 2 + + ，则 5 3 1 = .
5 4 3 2 1 0 + +
4 2 0
13、学校从高一、高 二 、高三中各选派10 名同学参加“建 党100 周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年
级参会同学中女生人数分别为 5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同
学，则该名女同学来自高三年级的概率为 .
14、已知不等式 e e + 对任意 R 恒成立，则当 取最大值时， = .
四、解答题
15、（本小题 13 分）
+4
已知集合 = { | 3< 2 + 1< 7}， = { | 0}， = { |3 2 + 1}.
2
(1)求 ( )；
(2)若“ : ( )”是“ : ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16、(本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面是边长为 2 的菱形， = ， 为 的中点， = = = 2.
3
为 上的一点，已知= 4 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17、（本小题 15 分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）
的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号 1 2 3 4 5
学习时间 x 30 40 50 60 70
数学成绩 y 65 78 85 99 108
（1）请利用散点图说明该组数据中 与 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 关于 的回归直
线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为 100 分钟时的数学成绩；
5 5 5
（参考数据： = 22820, = 435, 2 = 38999, 107.42 11540， 的方差为 ）
=1 =1 =1 200
(2)基于上述调查， 某校提 倡学生周末在校自主学习.经过一学 期的实施后，抽样调查了 220 位学生.按照是
否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到 2 2 列联表（表二）.依据表中数据及小概率值
= 0.001 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末不在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
1 ^ ^
附：方差： 2 = ( )2，回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 =
=1
( ) ( )
^ ^ ( )2
=1 ， = ， 2 = .
( )2 ( + )( + )( + )( + )
=1
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
、 本小题满分 分
18 ( 17 )
2
经过圆 : 2 + 2 = 5 上一动点 作椭圆 : + 2 = 1 的两条切线，切点分别记为 , ，直线 , 分别与圆
4
相交于异于 点的 , 两点.
(1)求证： + = 0；
(2)求 的面积的取值范围.
2 2
（参考结论 ：点 ( 0, 0)是椭圆 2 + 2 = 1( >>0)外一点，过 P 作该椭圆的两条切线，切点为 A,B，则直
0 0
线 AB 的方程为 2 + 2 = 1.)
19、（本小题 17 分）
1 3
已知函数 ( ) = ln + 2 + ( >0)
4 4
(1)判断 ()的 单调性 ；
(2)若 ( )有且仅有一个零点，求 的取值范围；
5 1
( )+
4 4
(3)若取 第(2)问所求范围的最小值 ，且数列{ }满足， 1 = 2， +1 = ，
4
求证： ， | 1|< .
=1 3
成都石室中学 2024-2025 学年度上期高 2025 届开学考试
数学参考答案
1-8 DACD BDDC 9 BCD 10 BD 11 AB
12、【答案】
13、【答案】
14、【答案】e
15、【答案】（1）因为 ，又 ，..2 分
所以 ………………………………………….………………5 分
（2） ，所以 ………………7 分
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，………9 分
又 ，所以
或 ，…………..…………………12 分
综上所述， 的取值范围为 .…………………………13 分
16、【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ，
， 为 中点， ，…………….……1 分
， ， ，
四边形 为菱形， ， 为等边三角形，
，
又 , 分别为 , 中点， ，
，即 ，………………………………………………………..3 分
， 平面 , 平面 ， 平面 ，…5 分
平面 ，平面 平面 .……………………………………………6 分
（2）连接 ，由（1）知： 为等边三角形， ， ，
又 平面 ， ， ， ，………………7 分
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
，
由 得： ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得： ， ，……………………………………10 分
轴 平面 ，平面 的一个法向量 ，……………..………11 分
设平面 与平面 的夹角为 ，则
………………………………………….…14 分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 …...……………………………………15 分
17、【答案】（1）画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近波动，说明该组数据中 与
之间的关系可用线性回归模型进行拟合.………………………2 分
， ，又 的方差为 ，
，………………………7 分
，故 当 时， ，故预测每天课后自主学习数
学时间达到 100 分钟时的数学成绩为 140.5 分………………………9 分
（2）零假设 ：周末在校自主学习与成绩进步无关………………………10 分
根据数据，计算得到：
………………13 分
因为 ，所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断 H0 不成立，可以认为“周末自
主学习与成绩进步”有关.，此推断犯错误的概率不大于 0.001………15 分
18、【答案】（1）证明：设点 ．
当直线 的斜率都存在时，设过点 与椭圆 相切的直线方程为 ．
联立 ，消去 得： ，
，…………………………………………….…2 分
令 ，整理得： ．………….…3 分
设直线 的斜率分别为 ．
．又 , ．
，即 为圆 的直径，
．………………………………….…5 分
当直线 或 的斜率不存在时，不妨设 ，则直线 的方程为
点 ，点 ，也满足 ．……………………………………….………….…6 分
综上所述，证得 ．……………………………………………………………………………………..…7 分
（2）设点 ，则直线 的方程为 ．………………………………………..…8 分
若 时，令 ，则直线 的方程为 ， ，
.………………………………………………………………………………….…9 分
若 时，联立 ，消去 得 ．
， ，………………………………………………………………………..…11 分
．……………………………………………..………………..…13 分
又点 到直线 的距离： ．…………………………………….…..…14 分
，……………………………………………………..…15 分
令 ， ．则 ，又 ，…………..….…16 分
的面积的取值范围为 .……………………………………………………………………………..…17 分
19、【答案】（1） 1 分
， 令 ，对称轴 ， ，
1 当 时， ，则 ， 在 单调递增 2 分
2 当 时， ，令 ，得 ，
时，则 ， ； 时，则 ， ； 时，则
， 在 上单调递增, 上单调递减， 上单调递增 4 分
综上， 时， 在 单调递增; 时， 在 上单调递
增, 上单调递减， 上单调递增.5 分
（2）易知 ，由（1）可得
1 当 时， 在 单调递增，又
有且仅有一个零点 6 分
2 时， 在 上单调递增, 上单调递减， 上单
调递增； ，又 ，
，
在 上有一个零点 ；
又 时， ； 时， 在 上各有有一
个零点； 有三个零点 8 分
综上 9 分
（3） ，
令 ，
，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，即 ，
所以由 可得当 ，则
因此，若存在正整数 ，使得 ，则 ，从而 ，重复这一过程有限次后可得 ，与
矛盾，从而，对 ，11 分
下面我们先证明，当 时， ，
设 ，则当 时， ，所以 在 单调递
减，所以 ，即当 时， 12 分
因为 ，所以 ，
，
即 ，由于 ， ，所以 ， ，故 15 分
故当 时， 16 分
所以 ，故 ， ．17 分