数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
a a =1 aa+=6 aa =
1. 在正项等比数列 n 中，已知 2 ， 34 ，则 14 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
y
2. 如图，由观测数据 (xii， y)( i =1， 2， 3， 4， 5， 6) 的散点图可知， 与 x 的关系可以用模型 y=+ bln x a
12
拟合，设 zx= ln ，利用最小二乘法求得 关于 z 的回归方程 y =+ bz 1 . 已知 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = e ，
i=1
=yi 18 ，则 b = （ ）
6
17 12 17
A. B. C. 1 D.
e12 e12 12
3. 图 1 是第七届国际数学教育大会（简称 ICME 7 ）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图 2 所示的一
连串直角三角形演化而成的，其中OA1= A 1 A 2 = A 2 A 3 = = A 7 A 8 =1，如果把图 2 中的直角三角形继续
作下去，则第 n 个三角形的面积为（ ）
2
n n n
A. B. C. D. n
2 2 2
4. 下列说法中正确的有（ ）
A. 已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下 28 个数据的30% 分位数可能
等于原样本数据的 分位数；
第1页/共5页
B. 若 AB, 两组成对数据的样本相关系数分别为 rrAB=0． 97, = 0． 99 ，则 A 组数据比 B 组数据的线性相关
性强；
2 1 5 1
C. 设随机变量 XN(3,2 )，则 EXDX+1 = , + 1 = 2 ；
2 2 2
D. 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为 0.5，答对题数多于答错题数可得 4
分，否则得 2 分，则某人参加游戏得分的期望为 3
5. 已知函数 f( x) = x( m ex ) ，曲线 y= f( x) 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线
yx= 平行，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. (1 e2 ,1) B. (1 e2 , 1) C. (e2 ,0) D. (1+ e2 , )
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是 2”为事件 A，“第二次向上的点数是奇数”为事
件 B，“两次向上的点数之和能被 3 整除”为事件 C，则下列说法正确的是（ ）
1
A. 事件 A 与事件 B 互为对立事件 B. PC( ) =
6
1
C. P( BC) = D. 事件 B 与事件 C 相互不独立
6
SS
7. 设数列a 的前 n 项和为 SS,nn+1 = 1, = 32 ，则下列说法正确的是（ ）
n n nn+1 1
A. 是等比数列
B. SSSSS3,, 6 3 9 6 成等差数列，公差为 9
C. 当且仅当 n = 17 时， Sn 取得最大值
D. Sn 0 时， 的最大值为 33
8. 设函数 f( x) =ln x ax2 ( a 2) x ，若不等式 fx( ) 0 恰有两个整数解，则实数 a 的取值范围是
6++ ln 3 4 ln 2 6++ ln 3 4 ln 2 4+ ln 2 4+ ln 2
A. [,) B. (,) C. ,1 D. ,1
12 6 12 6 6 6
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
*
9. 已知数列 的前 项和为 Snn ( N ) ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列， a15+ a 16 0, a 15 + a 17 0 ，则使 Sn 0 的最大正整数 的值为 15
n
B. 若 是等比数列， Scn =+5 （ c 为常数），则必有 c =1
第2页/共5页
n
aq1 (1 )
C. 若an 是等比数列，则 S =
n 1 q
1 1
D. 若 an+4 S n11 S n = 0( n 2) , a = ，则数列 为递增等差数列
4 Sn
10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映 《热辣滚烫》，《飞驰人生 2》，《第二十条》三
部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件 A 为“恰有两名同学所看电影相同”，事件 B 为“只有甲同学一
人看《飞驰人生 2》”，则（ ）
A. 四名同学看电影情况共有 34 种
B. “每部电影都有人看”的情况共有 72 种
1
C PBA( ) =
6
14
D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是
27 的
11. 已知函数 f( x )= x2 2 x ln x ， g( x )= ex ln x 2 ，下列说法正确的是（ ）
1
. x
A. 函数 gx( ) 存在唯一极值点 0 ，且 x0 ,1
2
fx()
B. 令 hx()= ，则函数 hx()无零点
g(x )
C. 若 g ( x) + 2 m 恒成立，则 m 2
b a b
D. 若 a 0 ，b 0 ，则 a+ ln( a + b ) ln 1 +
2 ba
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设等差数列 的前 n 项和为 Sn ，若 a11 a 8 =3, S 11 S 8 = 3，则使 an 0 的最小正整数 的值是
______．
1
13. 函数 f x= x32 3 x + a , g x = x ln x .对于xx 0,3 , ,e ，都有 f x g x ，则实
( ) ( ) 12 2 ( 12) ( )
e
数 a 的取值范围是______.
14. 已知有 AB, 两个盒子，其中 盒装有 3 个黑球和 3 个白球， 盒装有 3 个黑球和 2 个白球，这些球除颜
色外完全相同．甲从 盒、乙从 盒各随机取出一个球，若 2 个球同色，则甲胜，并将取出 2 个球全部放
入 盒中，若 2 个球异色，则乙胜，并将取出的 2 个球全部放入 盒中．按上述方法重复操作两次后， 盒
第3页/共5页
中恰有 7 个球的概率是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 f( x) =( a 1e) x +x ( a R) ．
（1）讨论函数 y= f( x) 的单调性；
（2）设函数 g( x) = f( x) sin x ，若函数 y= g( x) 在0, + ) 上为增函数，求实数 a 的取值范围．
16. 已知数列an 为等差数列， a2 = 3 ， aa14= 3 5 ，数列bn 的前 n 项和为 Sn ，且满足 2Sbnn= 3 1．
（1）求 和 的通项公式；
（2）若 cn= a n b n ，数列cn 的前 项和为Tn ，
求 ；
n n
若Tnn 31( ) m 对 n N 恒成立，求实数 m 的取值范围．
17. 某学校号召学生参加“每天锻炼 1 小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假
期每周锻炼的时间，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 22 列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于 3 小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
（1）请完成上面 列联表，并依据小概率值 = 0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经
常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为 0 小时 称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的 60 名同学中有 5 人“极度缺乏锻炼”.以样
本频率估计概率.若在全校抽取 20 名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为 X，求 X 的数学期望 EX( ) 和方差
DX( ) ；
（3）将一周参加锻炼 6 小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的 60 名同学中有 10 名“运动爱好者”，
其中有 7 名男生，3 名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在 10 名“运动爱好者”中，随机抽取 3 人进行
访谈，设抽取的 3 人中男生人数为的Y，求 Y 的分布列和数学期望．
第4页/共5页
n( ad bc)2
附： 2 = ， n= a + b + c + d
(a+ b)( c + d)( a + c)( b + d )
0.1 0 05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
.2
18. 已知函数 f( x )= x ( a + 2) x + a ln x ，常数 a 0 ．
（1）当 x = 1 时，函数 fx()取得极小值 2 ，求函数 的极大值．
（2）设定义在 D 上的函数 y= h() x 在点 P( x00 , h ( x )) 处的切线方程为 l:() y= g x ，当 xx 0 时，若
h()() x g x
0在 内恒成立，则称点 P 为 hx()的“类优点”，若点 (1,f (1)) 是函数 的“类优点”．
xx 0
求函数 在点 处的切线方程．
求实数 a 的取值范围．
19. 定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
（1）已知等比数列{an}满足： a2 a 4= a 5 , a32 4 a + 4 a1 = 0 ，求证：数列{an}为“M-数列”；
bbnn+1
（2）已知数列{bn}满足：bS1 ==1,2 n ，其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和.
bbnn+1
求数列{bn}的通项公式；
设 m 为正整数，若存在“M-数列”cn ，对任意正整数 k，当 km 时，都有 ckkk b c +1 成立，求 m 的
最大值.
第5页/共5页
2023—2024 学年度（下）七校协作体高二联考
数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
a a =1 aa+=6 aa =
1. 在正项等比数列 n 中，已知 2 ， 34 ，则 14 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比 q ，进而化简 aa14求值即可．
【详解】设等比数列 的公比为
22
a3+ a 4 = a 2 q + a 2 q = q + q = 6 ，=q 2 或 q =3（舍）
a 2 1
则 a a=2 a q = 42 =
1 4q 2 2
故选：B
y
2. 如图，由观测数据 (xii， y)( i =1， 2， 3， 4， 5， 6) 散点图可知， 与 x 的关系可以用模型 y=+ bln x a
12
拟合，设 zx= ln ，利用最小二乘法求得 关于 z 的回归方程 y =+ bz 1 . 已知 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = e ，
i=1
=yi 18 ，则 b = （ ）
6
17 12 17
A. B. C. 1 D.
12 12 的
e e 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知数据可求得样本中心点(2,3) ，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出b =1.
i=1
y
i 18
【详解】由 可得： y =6 = = 3，
66
第1页/共21页
12
由 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = e 可得：
i=1
z 12
i lnx+ ln x + ln x + ln x + ln x + ln x ln xxxxxx ln e 12 ，
z =6 = 1 2 3 4 5 6 = 123456 = = = 2
6 6 6 6 6
由回归方程 y =+ bz 1必过样本中心点 ( zy, ) ，即过点(2,3) ，
所以3=+ 2b 1 ，解得b =1，
故选：C.
3. 图 1 是第七届国际数学教育大会（简称 ICME 7 ）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图 2 所示的一
连串直角三角形演化而成的，其中OA1= A 1 A 2 = A 2 A 3 = = A 7 A 8 =1，如果把图 2 中的直角三角形继续
作下去，则第 n 个三角形的面积为（ ）
2
n n n
A. B. C. D. n
2 2 2
【答案】B
【解析】
22 2
【分析】记 OA12,,, OA OAn 的长度构成的数列为an ，依题意可得 aann=+1 1，即可得到an 是以1
为首项， 为公差的等差数列，从而求出 an ，再由面积公式计算可得.
【详解】记 的长度构成的数列为 ，
由题意知， OA1= A 1 A 2 = A 2 A 3 = = A 7 A 8 =1，且 OA1 A 2,,, OA 2 A 3 OA 7 A 8 都是直角三角形，
所以 a1 =1，且 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
2
所以 an =1 +( n 1) 1 = n ，
由 an 0 ，所以 ann = .
1 n
所以第 个三角形的面积为 a =1 .
22n
第2页/共21页
故选：B．
4. 下列说法中正确的有（ ）
A. 已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下 28 个数据的30% 分位数可能
等于原样本数据的 分位数；
B. 若 AB, 两组成对数据的样本相关系数分别为 rrAB=0． 97, = 0． 99 ，则 A 组数据比 B 组数据的线性相关
性强；
2 1 5 1
C. 设随机变量 XN(3,2 )，则 EXDX+1 = , + 1 = 2 ；
2 2 2
D. 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为 0.5，答对题数多于答错题数可得 4
分，否则得 2 分，则某人参加游戏得分的期望为 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的计算方法，可得判定 A 错误；根据相关系数的概念，可判定 B 错误，根据正态分
布的定义和期望、方差的性质，可得判定 C 错误；设得分为随机变量 X ，得到 的可能取值，求得相应的
概率，结合期望公式，求得数学期望，可判定 D 正确.
【详解】对于 A 中，原来 30 个样本数据，从小到大排列，设为 a1,,,, a 2 a 3 a 30 ，
aa+
可得 30= 30% 9 ，所以 分位数为 9 10 ，
2
若去掉其中最大和最小的数据，则剩下 28 个数据，可得 a2,,, a 3 a 29 ，
aa+
可得 28= 30% 8.4 ，所以 分位数为 a ，其中 9 10 a ，所以 A 不正确；
9 2 9
对于 B 中，若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，
可得 rrAB ，所以则 组数据比 组数据的线性相关性强，所以 B 不正确；
对于 C 中，设随机变量 XN (3,22 ) ，可得 EXDX( ) ==3,( ) 4 ，
2
1 1 5 1 1
则 EXEXDXDX+1 =( ) + 1 = , + 1 = ( ) = 1，所以 C 不正确；
2 2 2 2 2
对于 D 中，设得分为随机变量 ，则 的可能取值为 2,4 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
可得 PX(= 2) = C0 (1 ) 3 + C 1 ( )(1 ) 2 = ， PX(= 4) = C()(12 2 )C() + 3 3 = ，
332 2 2 2 332 2 2 2
11
所以参加游戏得分的期望为 EX( ) =2 + 4 = 3 ，所以 D 正确.
22
第3页/共21页
故选：D.
5. 已知函数 f( x) = x( m ex ) ，曲线 y= f( x) 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线
yx= 平行，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. (1 e2 ,1) B. (1 e2 , 1) C. (e2 ,0) D. (1+ e2 , )
【答案】A
【解析】
【分析】求导 f( x) = m ( x +1e) x ，问题转化为 mx1 =( + 1) ex 有两个不同的根，利用导数研究函数
的单调性，结合单调性和最值可得结果.
【详解】因为 f( x) = x( m ex ) ，则 ，
令 mx( +1) ex = 1 ，整理得 ，
设 g( x) =+( x 1e) x ，则 g( x) = ( x + 2e) x ，
x 2 时， gx( ) 0 ； x<2 时， gx( ) 0 ；
可知 gx( ) 在 (,2) 上单调递减，在(+2, ) 上单调递增，
则 g( x) g ( 2e) = 2 ，
当 x 趋近于 时， 趋近于 0，当 趋近于 + 时， 趋近于 ，
由题意可知： 有两个不同的解，
即 ym=1 与 yx=+( 1e) x 的图像有两个不同的交点，
则 e2 m 1 0 ，解得1 e2 m 1，
x0 x0
令 f( x00) = m ( x +1) e = 1，则 mx=( 0 +1) e + 1，
xx00
可知 f( x0) = x 0( m e) = x 0 ( e + 1) ，
第4页/共21页
即切点坐标为 x0 ，则切线方程为 x0 ，
( xx00,( e+ 1)) y x00(e1 +) = x x
x0
代入点 (0,0) 可得： xx00(e1 +) = ，解得 xm0 ==0,, 2 ，
且 2( 1 e2 ,1) ，所以实数 m 的取值范围是 (1 e2 ,1) .
故选：A.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是 2”为事件 A，“第二次向上的点数是奇数”为事
件 B，“两次向上的点数之和能被 3 整除”为事件 C，则下列说法正确的是（ ）
1
A. 事件 A 与事件 B 互为对立事件 B. PC( ) =
6
1
C. P( BC) = D. 事件 B 与事件 C 相互不独立
6
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件的定义判断 A；应用列举法求 PC( ) 、P( BC ) 判断 B、C；根据独立事件的判定判断 D.
【详解】由事件定义，事件 A 与事件 B 可以同时发生，故不互为对立事件，A 错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共 36 种，
事件 B 的 样 本 点 为 (1,1) ,( 1,3) ,( 1,5) ,( 2,1) ,( 2,3) ,( 2,5) ,( 3,1) ,( 3,3) ,( 3,5) ,( 4,1) ,(4,3) ,( 4,5) ,
(5,1) ,( 5,3) ,( 5,5) ,( 6,1) ,( 6,3) ,( 6,5)共 18 种，
事件 C 的样本点为(1,2) ,( 2,1,1,5) ( ) ,( 5,1,) ( 2,4) ,( 4,2) ,( 3,3) ,( 3,6) ,( 6,3) ,( 4,5) ,(5,4) ,( 6,6) 共有 12 种，
事件 BC 的样本点为(2,1) ,( 1,5) ,( 5,1) ,( 3,3) ,( 6,3) ,( 4,5) 共 6 种，
12 1 61
所以 PC( ) ==，B 错误； P( BC) ==，C 正确；
36 3 36 6
因为 P( BC) = P( B) P( C)，所以事件 B 与事件 C 相互独立，D 错误．
故选：C
SS
7. 设数列a 的前 n 项和为 SS,nn+1 = 1, = 32 ，则下列说法正确的是（ ）
n n nn+1 1
A. 是等比数列
B. SSSSS3,, 6 3 9 6 成等差数列，公差为 9
C. 当且仅当 n = 17 时， Sn 取得最大值
D. Sn 0 时， 的最大值为 33
第5页/共21页