数学
考试时间 120 分钟，满分 150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填
写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区
域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 记 为等差数列 的前 项和，若 11 = 22，则 6 =
A. 2 B. 3 C. 10 D. 4
6 6 5 4 3 2 1
2. 若 + 1 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0，则 6 5 + 4 3 + 2 1 + 0 =
A. -1 B. 1 C.64 D. 0
1
3. 已知在四面体 中， = ， = ， = ， = ， 为 的中点，若 =
3
+ + ，则 ++ =
3 1 1
A. 3 B. C. D.
4 2 3
1 +
4. 若等比数列 的各项均为正数，且 3 , , 2 成等差数列，则 10 4
5 2 7 6 +
8 2
A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
1 1
5. 若函数 f (x) ax 2b ln x(a 0,b 0) 在点 1, 1 处的切线的斜率为 1，则 + 的最小值
为
1
A. B. 2 + 3 2 C. 3 + 2 2 D. 3 2
2
6. 某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，
每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为
A. 52 B. 60 C. 72 D. 360
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7. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记
录于其重要著作《详解九章算法》中, 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高
阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开 始，每一项与前一项的差构
成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: 2,3,8,17 ，则下列说法错误的是
A. >0 B. 11 = 192
C. 数列 是单调递增数列 D. 数列 有最大项
2 2
8. 已知直线 = 与双曲线 : 2 2 = 1 >>0 分别相交于 ， 两个不同的点， 是
3
e
双曲线上不同于 , 的一点，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2 ，则当 e 2.7
1 2 1
取得最小值时，双曲线 的离心率为
7 5
A. B. 2 C. D. 2
2 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求；全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 等差数列 的前 项和为 ， 1 >0， 2 + 14 = 0，则
A. 8 = 0 B. +1<
C. 7< 9 D. 当<0 时, 的最小值为 16
10. 对于三次函数 = 3 + 2 + + 0 ，现给出定义: 设 是函数 的
导数， 是 的导数，若方程 = 0 有实数解 0 ，则称点 0, 0 为函 数
3 2
= + + + 0 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，
1 1
任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 = 3 + 2 ，则
3 2
A. 函数 有三个零点
B. 函数 有两个极值点
1 1
C. 点 , 是曲线 = 的对称中心
2 12
1
D. 方程 = 0 有三个不同的实数根
10
98
11. 已知数列 的通项公式为 = ，前 项积为 ，则下列说法正确的是
99
A. 在数列 中， 10是最大项 B. 在数列 中， 9 是最小项
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C. 数列 单调递减 D. 使 取得最小值的 为 9
三、填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1 6
12. 在 + 的展开式中，常数项为_________
+ 1, 为奇数 ,
13. 已知数列 满足 1 = 1, 2 = 2, +2 = ，若 为数列 的前 项
2 ; 为偶数
和，则
10 =_________
14. 已知 关于 的不等式 2< e (其中< 1 ). 的解集中恰有两个整数，则
实数 的取值范围是_________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知等差数列 的公差为 0 ，前 项和为 ，且满足 5 = 2 4 + 19; 1, 2 ,
7 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式;
1
（2）设 = ，数列 的前 项和为 ，求 .
+1
16.（15 分）
某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡， “年龄在 20 岁到 34 岁之间
的会员” 为 1 号会员，占比 20%, “年龄在 35 岁到 59 岁之间的会员” 为 2 号会员，占比
50%，“年龄在 60 岁到 80 岁之间的会员” 为 3 号会员，占比 30% ，现对会员进行水果质
1
量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为 ，2 号会员对水果质
2
3 2
量满意的概率为 ，3 号会员对水果质量满意的概率为 .
5 3
（1）随机选取 1 名会员， 求其对水果质量满意的概率;
（2）从会员中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中，对水果质量满意的人数为 ，求 的
分布列和数学期望.
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17.（15 分）
如图,在斜三棱柱 1 1 1 中， , 分别是 , 1 的中点.
（1） 证明: //平面 1 1 ;
（2）若 1， 1 = 60 ，且 = 1 = 2; = = 2 ，求直线 1 1 与平
面 1 1所成角的正弦值.
18.（17 分）
2 2
已知点 为椭圆 : 2 + 2 = 1 >>0 上任一点，椭圆的短轴长为 2 ，离心率为
2
.
2
（1）求椭圆 的标准方程;
（2）若点 是抛物线 : 2 = 4 的准线上的任意一点，以 为直径的圆过原点 ，
试判断 1 1 是否为定值 若是，请求出这个定值 若不是，请说明理由
2 + 2 ? ; .
19.（17 分）
已知函数 = e ln + 1 + ln >0 .
（1）当 = 1 时，求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；
（2）若 + 1 恒成立，求 的取值范围；
1 1 1
（3）求证: tan1 1 + tan 1 + tan 1 + + tan 1 >ln + 1
2 3
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