文科数学参考答案与详细解析
1．【答案】D
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集、解不
等式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。
【 解 析 】依题 意 ，B = x|-2x2 ，则 A B = x|-3 x|-2x<2 ，选项 D 正确． 2．【答案】A 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的概念，复数 的加减运算，两个复数相等的条件等基础知识；考查方程思想及应用意识；考查数学抽象、数学 运算等数学核心素养。 【解析】令复数 z=a+bi，aR，bR，则 z-2z = a + bi - 2a-bi =-a + 3bi = 2 - 3i，根据 -a=2， a=-2， 两个复数相等的条件有 解得 所以 z=-2-i． 3b=-3， b=-1， 3．【答案】A 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计图的识别、统计量的意义等基础知识， 考查直观想象、数学建模等数学核心素养。 【解析】根据图表可知，甲、乙命中环数的众数均为 7 环，故 Z甲 = Z乙；甲运动员命中的环数比 2 2 较分散，乙运动员命中的环数比较集中，故 s甲 >s乙，故选 A． 4．【答案】C 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计简易逻辑问题，主要考查命题的判断，正弦 函数的单调性等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】因为 0<<< ，函数 y=sinx 在 - , 上单调递增，所以 sin>sin ，反之， 2 2 2 当 sin>sin 时，也有 >成立．所以当 ， 均为锐角，则“>”是“sin>sin”的充分必 要条件． 5．【答案】B 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查程序框图等基础知识，考查数学推理、数学 运算等数学核心素养。 【解析】依题意，S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 30． 6．【答案】C 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计三角求值问题，主要考查同角三角函数的 关系，两角差的正弦等基础知识；考查运算求解等数学能力，数学运算等数学核心素养。 1 2 6 【 解 析 】由 , ，sin + = ，有 cos + =- ，所 以 sin = 2 6 5 6 5 1 3 2 6 1 sin + - = sin + cos - cos + sin = - - = 6 6 6 6 6 6 5 2 5 2 3 +2 6 ． 10 文科数学 第1页（共8页） 7．【答案】B 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查直线与圆的方程、轨迹的求法等基础知识， 考查学生运算求解、推理论证等能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、 逻辑推理、数学运算、数学建模等数学核心素养。 【解析】直线 l：mx - 2y - 2m - 8 = 0 即 (x - 2)m - 2y - 8 = 0，所以 l 过定点 A2,-4 ．由题 意可知 ，点 P 在以线段 OA（O 为原点）为直径的圆上．该圆的圆心为 M 1，-2 ，半径为 (2-0)2+(-4-0)2 = 5 ，故 x ，y 满足的关系为 (x - 1)2 + (y + 2)2 = 5． 2 0 0 0 0 8．【答案】A A C O G F D E B 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查几何概型等基础知识，考查直观想象、数学 运算等数学核心素养。 【解析】 3 如图，不妨设该正三角形剪纸设计图的边长为 2，则内切圆 O 的半径 r = ，ABC 为边长 3 3 1 为 1 的正三角形，菱形 DEFH 对角线 DF = ，则菱形 DEFH 的边长为 ，则每个菱形的面积 3 3 1 3 1 3 3 2 3 2 3 3 为 = ，故阴影部分的面积 S = ( ) - 1 + 3 = - ，则 2 3 3 18 1 3 4 18 3 12 - 3 3 12 3 1 在该正三角形纸片内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为 P = = - ． 9 12 3 22 4 9．【答案】B 【命题意图】本小题设置课程学习情境，本题主要考查双曲线的定义、余弦定理；考查逻辑推 理、数学运算能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查逻辑推理、数学运算等数学核 心素养。 【解析】 y B O x F1 F2 A 如图，由于 AF1 = 2 F1B ， AB = BF2 ，且 BF2 - BF1 = 2a， AF2 - AF1 = 2a，设 BF1 = m，则 AF1 = 2m，故 BF2 = 3m，可得 m = a， BF1 = a， AF1 = 2a，故 BF2 = 3a， AF2 = 4a，在 BAF2 中 9a2+9a2-16a2 1 由余弦定理 cosF BF = = ． 1 2 23a3a 9 文科数学 第2页（共8页） 10．【答案】D 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计三角函数图象问题，主要考查正弦型函数 的周期，单调性，图象平移，特殊角的三角函数值等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能 力；考查数形结合等数学思想；考查数学运算素养，逻辑推理素养以及应用意识。 2 【解析】因为函数 f x 的周期为 ，所以 =2 ，故 f x = sin 2x+ ，此时 f 0 = 3 2 3 2 2 4 sin = ，结论正确；当 0 3 2 3 3 3 3 正确；将 y=cos2x 的图象向左平移 个单位可得到的图象对应的函数为 y=cos 2x+ ，因 12 6 2 为 sin 2x+ =sin 2x+ + =cos 2x+ ，所以结论正确． 3 6 2 6 11．【答案】B 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查学生对空间几何及优化问题的理解和应 用，考查外接圆的性质、正弦定理、均值不等式等基本知识；考查运算求解、空间想象、逻辑推理 等数学能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数 学核心素养。 【解析】 C O1 A B O 如图所示，OO C 为直角三角形，O OC = ，则 O O = O C．又 O C = O A，则 O A = 1 1 4 1 1 1 1 1 BC BC O1O．在 ABC 中，由正弦定理得 = 2O1A = 2O1O，所以 sinA = = 1，A = ，因此 sinA 2O1O 2 2 2 2 2 2 O1 是 BC 的中点．由 O1O + O1A = OA ，OA = 2 2 ，O1A = O1O，得 BC = 2O1A = 4，AC + AB 2 2 2 1 AC +AB = BC = 16．所以 S = AC AB = 4，当且仅当 AC = AB = 2 2 时等号成 ABC 2 4 立． 12．【答案】D 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与 椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算求解、逻辑推理等数学能力；考查数形结合、化归与 转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 1 【解析】显然，当 M 为短轴端点时，MF F 的面积最大．所以 |F F | 3 = 3 ，c = 1 2 2 1 2 1，则 a = 2．设 M (x1 ，y1)，N (x2 ，y2)．当直线 MN 斜率存在时，设其方程为 y = kx + m．由 y=kx+m， 2 2 2 2 8km 4m -12 2 2 y 得 (3 + 4k )x + 8kmx + 4m - 12 = 0．则 x1 + x2 =- 2 ，x1x2 = 2 ．由 x + =1 3+4k 3+4k 4 3 2 2 2 MON = 90，有 OM ON = 0．所以 x1x2 + y1 y2 = 0，(k + 1)x1x2 + km(x1 + x2) + m = 0，(k + 2 2 4m -12 8km 2 2 2 2 m 12 1) + km(- ) + m = 0．于是，7m = 12k + 12，|OH| = = ．当直线 3+4k2 3+4k2 k2+1 7 2 12 MN 斜率不存在时，易验证 |OH| = 依然成立．由 HF = (-1 - x ，-y )，HF = (1 - x ， 7 1 H H 2 H 2 2 2 5 -y )，得 HF HF = x + y - 1 = |OH| - 1 = ． H 1 2 H H 7 文科数学 第3页（共8页） 13．【答案】1 或 -4 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量问题，主要考查平面向量的坐标 运算，向量的加法与减法，向量垂直等基础知识；考查方程思想，应用意识；考查数学运算等数 学核心素养。 【解析】由 a+c=t+1,3 ，c - b = t+2,-2 ，因为 a+c c-b ，则 a+c c-b = 2 t+1 t+2 + 3 -2 = t + 3t - 4 = 0，解得 t=1 或 t =-4． 14．【答案】9 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计线性规划问题，主要考查约束条件表示的可行 域，目标函数在约束条件下的最值等基础知识；考查运算求解能力，数形结合等数学思想；考查 数学运算、直观想象等数学核心素养以及应用意识。 【解析】约束条件表示的是以三点 A1,2 ，B3,-1 ，C4,1 为顶点的三角形及其内部，目 1 z 1 标函数可化为 y=- x + ，平移直线 y =- x 可知，当直线经过点 A 1,2 时，在 y 轴上的截 4 4 4 距最大，此时 z=1+42=9． 3 15．【答案】 16 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查两角和差的余弦公 式，二倍角的正弦，诱导公式，正弦定理，三角形面积与三角形外接圆面积等基础知识；考查运 算求解能力，化归与转化等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【 解 析 】依题 意 ，16sinC cos A-B + 8 sin 2 C = 16 sinCcos A-B + 16 sinCcosC = 16sinC cosA-B -cosA+B) = 32sinCsinAsinB ，即 32sinCsinAsinB=3 ， ABC 的面积 与 ABC 外接圆面积之比为 1 absinC 2 absinC 2sinAsinBsinC 3 3 2 = = = = ． R 2 1 a b 16 16 4 sinA sinB 16．【答案】52 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查与球体相关几何体的运算，考查线面垂 直、线线垂直及其相互转化、三棱锥外接球球心的确定、三棱锥的体积公式、基本不等式等基本 知识；考查数形结合等数学思想；考查逻辑推理、运算求解、直观想象等数学核心素养。 【解析】因为 PC 是三棱锥 P - ABC 外接球的直径，所以 PA AC ，PB BC．又 PA BC，AC BC = C，所以 PA 平面 ABC，所以 BC PA．又 PB BC，PA PB = P，所以 BC 1 面 PAB，故 BC AB．因此，三棱锥 P - ABC 的体积为 V = PA S = AB BC．又 AB 3 ABC BC2+AB2 AC2 AC2 BC = （当且仅当 AB = BC 时等号成立），所以体积的最大值为 = 8，故 2 2 2 AC = 4．因为 AC PA，所以 PC2 = AC2 + PA2 = 52，所以三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积 S = 4r2 = 52． 17．（12 分） 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计案例、卡方分布、概率等基础知识；考查 统计与概率思想；考查数学运算、数学建模等数学核心素养。 文科数学 第4页（共8页） 【解析】 250(5050-50100)2 （1）依题意，K2 = 6. 94 >6. 635，4 分 100150150100 所以，有 99% 的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系． 6 分 （2）根据题意，抽取的 6 名客户中有女性 2 人（记为 A1, A2）、男性 4 人（记为 B1, B2, B3, B4）． 7 分 从这 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件有：(A1, A2)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A1, B4)， (A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，(A2, B4)，(B1, B2)，(B1, B3)，(B1, B4)，(B2, B3)，(B2, B4)，(B3,B4)，共 15 个． 其中，至少有 1 名女性的基本事件有 9 个． 9 3 所以，所抽取的 2 名同学中至少有 1 名女性的概率为 即 ． 12 分 15 5 18．（12 分） 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计递推数列问题，主要考查递推数列与等差 数列的通项公式，裂项相消求和等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化等数学思想；考查 数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】 1 1 an-1 （1）由 an+1 + = 2，有 an+1 - 1 = 1 - = ， an an an 1 an 1 所以 = = + 1，2 分 an+1-1 an-1 an-1 3 1 因为 a1= ，所以 = 2， 2 a1-1 1 所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列． 4 分 an-1 1 所以 = 2 + n-1 1 = n + 1， an-1 n+2 即 a = ， n n+1 n+2 即数列 a 的通项公式为 a = ． 6 分 n n n+1 （2）由（1）的结论可得， n+2 n+3 1 1 1 bn = -1 -1 = = - ，9 分 n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2 所以， 1 1 1 1 1 1 S = - + - ++ - n 2 3 3 4 n+1 n+2 1 1 n = - = ． 12 分 2 n+2 2n+2 19．（12 分） 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查立体几何中线面平行的性质定理、线面垂直 的判定定理以及三棱锥的体积公式；考查空间想象、化归与转化等数学思想；考查学生的数学 运算、逻辑推理等数学核心素养。 文科数学 第5页（共8页） 【解析】 （1）连接 C1B， 因为 DE 平面 BCC1B1，DE 平面 ABC1，平面 ABC1 平面 BCC1B1 = C1B， 所以 DE C B． 3 分 1 由 AE = 2EB，有 AD = 2DC1． 所以 AC = 2A1C1 = 2 13．6 分 （2）易知 AC2 = AB2 + BC2， 所以 AB BC． 8 分 因此，三棱锥 C - A1B1C1 底面 A1B1C1 上的高 h = BB1 = 2， 1 又 A B C 的面积为 S = 2 3 = 3，10 分 1 1 1 1 2 1 1 所以其体积为 V = S h = 3 2 = 2．12 分 3 1 3 20． (12 分) 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数几何意义、极值，函数与导数、不等式等 知识的综合应用，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推 理、数学运算等数学核心素养。 【解析】 x a 3 x 2 （1）由 f (x) = e - x - 1，得 f (x) = e - ax ， 3 2 x 2 1 x 由 f (x) 存在极值，则 f (x) = e - ax = 0，知 a 0，则 = 有 3 个不相等实数根， a ex x2 2x-x2 -x(x-2) 令 g(x) = ，则 g(x) = = ， ex ex ex 当 x< 0 时，g(x)< 0，g(x) 单调递减；当 0< x< 2 时，g(x) >0，g(x) 单调递增；当 x >2 时，g (x)< 0，g(x) 单调递减． 4 则 g(x) 在 x = 0 时取极小值 g(0) = 0，g(x) 在 x = 2 处取得极大值 g(2) = ， e2 又 x -时，g(x) +；x +时，g(x) 0，又 g(x) >0． 1 4 e2 所以，f (x) = 0 有 3 个不相等实数根时，0<< ，即 a >， a e2 4 e2 所以，f (x) 有 3 个极值点时，a 的取值范围是 ，+ ． 6 分 4 2 x a 3 2 （2）由 f (x) ax + x，得 e - x - ax - x - 1 0， 3 x a 3 2 x 2 令 h(x) = e - x - ax - x - 1，得 h(x) = e - ax - 2ax - 1，知 h(0) = 0，h(0) = 0， 3 令 u(x) = h(x) = ex - ax2 - 2ax - 1，则 u(x) = ex - 2ax - 2a， 又令 v(x) = u(x) = ex - 2ax - 2a，则 v(x) = ex - 2a，知 v(0) = 1 - 2a，v(0) = 1 - 2a， 9 分 1 由于 a ，则 v(0) = 1 - 2a 0， 2 又函数 v(x) = ex - 2a 单调递增，则 v(x) v(0) 0， 故 x 0 时，v(x) 即 u(x) 单调递增，则 u(x) u(0) = 1 - 2a 0， 所以，当 x 0 时，u(x) 即 h(x) 单调递增，则 h(x) h(0) = 0， 故当 x 0 时，h(x) 单调递增，则 h(x) h(0) = 0， 1 2 所以，当 x 0，a 时，f (x) ax + x． 12 分 2 文科数学 第6页（共8页）