数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1
A
1. 若对任意 x A ， x ，则称 A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A. 1,3 B. 1,0,1
x | x 1 x | x 0
C. D.
2. 已知向量 a 1,0 ， b m,2 3 ， b 在 a 方向上的投影向量为 2a ，则 m （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 直线 l : 2x y k 0 与圆 C : x2 y2 4x 6y 12 0 交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则 k （ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1， a5 81，则 S5 （ ）
A. 201 B. 121 C. 61 D. 61 或 121
5. 平面 过直三棱柱 ABC - A1B1C1 的顶点 B1 ，平面 / / 平面 ABC1 ，平面 平面 BB1C1C l ，且
AA1 AB BC ， AB BC ，则 A1B 与l 所成角的正弦值为（ ）
3 2 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 3
6. 贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”.“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千
户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山.现有甲、乙
两位游客慕名来到贵州，都准备从上面 6 个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件 A 为“甲和乙至少一
人选择黄果树”，事件 B 为“甲和乙选择的景点不同”，则 PBA （ ）
11 5 7 10
A. B. C. D.
36 18 11 11
7. 已知 0 ，且 sin 2cos ， sinsin 3coscos 0 ，则 tan
（ ）
3 1 1
A. 1 B. C. D.
2 2 2
1
8. 已知正实数 a ， b 满足 e2a2 eb e22a eb ，则 a 的最大值为（ ）
2b
1 3
A. 0 B. C. 1 D.
2 2
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 在 AABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a cos B bcos A 2a ，且
sin2 B sin Asin C ，则（ ）
A. a ， b ， c 成等比数列 B. sin A:sin B :sin C 1: 2 : 2
C. A ， B ， C 成等差数列 D. 若 a 2 ，则 SABC 7
10. 某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从 4000 名学生（该校男女生人
数之比为 3: 2 ）中抽取了一个容量为 100 的样本.其中，男生平均身高为 175，方差为 184，女生平均身高
为 160，方差为 179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为 2 层，各层抽取的样本量、样本平均数和样
2 2 2
本方差分别为： n1 ， x ， s1 ， n2 ， y ， s2 .记总的样本平均数为 ，样本方差为 s ，则（ ）
1 2 2
s2 n s2 x n s2 y
参考公式： 1 1 2 2
n1 n2
A. 抽取的样本里男生有 60 人
1
B. 每一位学生被抽中的可能性为
40
C. 估计该学校学生身高的平均值为 170
D. 估计该学校学生身高的方差为 236
11. 定义在 R 上的 函数 f x 满足 f 2 x f 2 x 2x ，且函数 f 2x 1 关于点 0,3 对称，则下
列说法正确的是（ ）
A. 函数 f x 的图象关于点 1,3 对称 B. 4 是函数 f x 的一个周期
99
C. f 2023 2025 D. f i 5150
i0
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
1
12 已知复数 z ，则| z | ________.
. 1 2i
13. 已知一个圆锥的底面半径为 4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径
为 2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为________.
x2 y2
14. 已知双曲线 C : 1a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， O 为坐标原点，双曲线的离
a2 b2
y
心率为 2，过 F2 作直线 l : y 3x 的垂线，垂足为 M ，与双曲线右支和 轴的交点分别为 A ， B ，则
tan OMF1 ________；A ABF1 的内切圆在 AF1 边上的切点为 N ，若双曲线的虚轴长为 2 6 ，则
AN ________.
四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于 OpenAI 的人工智能大模型不仅具有
高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的
语音识别和语言理解能力.某机构分别用 A ， B 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答
题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答，其中 A 人工智能大模型回答 100 个问
题，有 90 个正确； B 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题，有 65 个正确.
（1）完成下列 2 2 列联表，并根据小概率值 0.10 的 2 独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择
和回答正确有关？
回答正确 回答错误 合计
A 人工智能大模型
B 人工智能大模型
合计
（2）将频率视为概率，用 A 人工智能大模型回答该知识领域的 3 道题目，且各题回答正确与否，相互之
间没有影响，设回答题目正确的个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
nad bc2
参考公式及参考数据： x2 ， n a b c d .
a bc d a cb d
0.15 0.10 0.05 0.010
x0 2.072 2.706 3.841 6.635
a x 1
16. 已知函数 f x lnx 在 x 1处的切线为 x 轴.
x 1
（1）求实数 a 的值；
x1 x2 x1 x2
（2）若 x1 x2 0 ，证明： .
lnx1 lnx2 2
1
17. 如图，在四棱台 ABCD A B C D 中， O 为 AC 的中点， AA AC C C AC 2 .
1 1 1 1 1 1 1 1 2
（1）证明： OC1 / / 平面 AA1D1D ；
（2）若平面 ABCD 平面 ACC1 A1 ， AB BC ，当四棱锥 B AA1C1C 的体积最大时，求 CC1 与平面
AA1B1B 夹角的正弦值.
18. 已知抛物线 E : y2 2x 的焦点为 F ， A ， B ， C 为 E 上不重合的三点.
（1）若 FA FB FC 0 ，求 FA FB FC 的值；
（2）过 A ， B 两点分别作 E 的切线 l1 ， l2 ， l1 与 l2 相交于点 D ，过 A ， B 两点分别作 l1 ， l2 的垂线 l3 ， l4
， l3 与 l4 相交于点 M .
（i）若 AB 4 ，求ABD 面积的最大值；
（ii）若直线 AB 过点 1,0 ，求点 M 的轨迹方程.
19. 一般地， n 个有序实数 a1 ， a2 ，L ， an 组成的数组，称为 n 维向量，记为 a a1 ,a2 ,,an .类似二
维向量，对于 n 维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度
2 2 2
（模）、两点间的距离等，如 a a1,a2 ,,an ，则 a a1 a2 an ；若存在不全为零的 r 个实数
L L
k1 ， k2 ， ， kr 使得 k1 a1 k2 a2 kr ar 0 ，则向量组 a1 ， a2 ， ， ar 是线性相关的向量组，否
L
则，说向量组 a1 ， a2 ， ， ar 是线性无关的.
（1）判断向量组 a1 1,3,1 ， a2 1,1,3 ， a3 5,7,3 是否线性相关？
1 *
（2）若 a a1,a2 ,,an ， ak ln 1 ， k 1,2,3,,n ，当 n 2 且 n N 时，证明：
k
n 15
a .
2n 4 3
凯里一中 2024 届高三模拟考试（黄金卷）
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1
A
1. 若对任意 x A ， x ，则称 A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A. 1,3 B. 1,0,1
C. x | x 1 D. x | x 0
【答案】D
【解析】
【 分析】对于 ABC：举反例说明即可；对于 D：分局题意分析即可.
1
【详解】对于选项 A：因为 31,3，但 1,3，不符合题意，故 A 错误；
3
1
对于选项 B：因为 01,0,1，但 无意义，不符合题意，故 B 错误；
0
1
对于选项 C：例如 2x x 1 ，但 x x 1 ，不符合题意，故 C 错误，
2
1
对于选项 D：对任意 x x x 0 ，均有 x x 0 ，符合题意，故 D 正确；
x
故选：D.
2. 已知向量 a 1,0 ， b m,2 3 ， b 在 a 方向上的投影向量为 2a ，则 m （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算，以及投影向量的计算方法，列出方程，即可求解.
【详解】由向量 a 1,0 ， b m,2 3 ，可得 a b m 且 a 1，
a b a
因为向量 b 在 a 方向上的投影向量为 2a ，可得 ma 2a ，所以 m 2 .
a a
故选：B.
3. 直线 l : 2x y k 0 与圆 C : x2 y2 4x 6y 12 0 交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则 k （ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长可知直线 l 过圆心 C 2,3 ，代
入方程求出 k .
【详解】圆 C : x2 y2 4x 6y 12 0 ，
2 2
则圆 C 的标准方程为 x 2 y 3 1，所以圆心 C 2,3 ，半径 r 1，
AB 2 2r ，故直线l 过圆心 C 2,3 ，所以 2 2 3 k 0 ，解得 k 1.
故选：C.
4. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1， a5 81，则 S5 （ ）
A. 201 B. 121 C. 61 D. 61 或 121
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的基本量求解公比 q ，再根据等比数列的前 n 项和公式确定 S5 的取值.
a
4 5 4 q 3
【详解】设an 的公比为 q ，则 q 81 3 ，故 ；
a1
5 5
a1 1 q 11 3
当 q 3时， S 121；
5 1 q 1 3
5
5 1 1 3
a1 1 q
当 q 3时， S 61，故排除 A，B，C 排除.
5 1 q 1 3
故选：D.
5. 平面 过直三棱柱 ABC - A1B1C1 的顶点 B1 ，平面 / / 平面 ABC1 ，平面 平面 BB1C1C l ，且
AA1 AB BC ， AB BC ，则 A1B 与l 所成角的正弦值为（ ）
3 2 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】将直三棱柱 ABC - A1B1C1 向上补一个直三棱柱 A1B1C1 A2 B2C2 ，证得平面 A1B1C2 / / 平面
ABC1 ，得到平面 A1B1C2 即为平面 ，得出交线l 即为直线 B1C2 ，结合VA1BC1 为等边三角形，即可求解.
【详解】如图所示，将直三棱柱 ABC - A1B1C1 向上补一个全等的直三棱柱 A1B1C1 A2 B2C2 ，
则 B1C2 / /BC1 ， A1B1 / / AB ，
因为 B1C2 平面 ABC1 ， BC1 平面 ABC1 ，且 A1B1 平面 ABC1 ， AB 平面 ABC1 ，
所以 B1C2 / / 平面 ABC1 ，且 A1B1 // 平面 ABC1 ，
又因为 B1C2 A1B1 B1 ，且 B1C2 , A1B1 平面 A1B1C2 ，
所以平面 A1B1C2 / / 平面 ABC1 ，且 B1 平面 A1B1C2 ，故平面 A1B1C2 即为平面 ，
所以交线l 即为直线 B1C2 ，
因为 B1C2 / /BC1 ，则 A1B 与l 所成角为 A1BC1 ，
设 AA1 AB BC 1，则 AC A1C1 2 ， BC1 BA1 2 ，可得 A1C1 BC1 BA1 ，
3
所以VA1BC1 为等边三角形，所以 A1BC1 60 ，所以 sin A BC
1 1 2
3
即 A1B 与l 所成角的正弦值为 .
2
故选：A.
6. 贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”.“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千
户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山.现有甲、乙
两位游客慕名来到贵州，都准备从上面 6 个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件 A 为“甲和乙至少一
人选择黄果树”，事件 B 为“甲和乙选择的景点不同”，则 PBA （ ）
11 5 7 10
A B. C. D.
. 36 18 11 11
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式结合古典概型运算公式求解即可得结论.
【详解】由题意，两位游客从 6 个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有 66 36 种，
其中事件 A 的情况有 66 55 11种，事件 A 和事件 B 共同发生的情况有 25 10 种，
11 10
所以 P A ， P AB ，
36 36
10
P AB 36 10
所以 PBA .
P A 11 11
36
故选：D.
7. 已知 0 ，且 sin 2cos ， sinsin 3coscos 0 ，则 tan
（ ）
3 1 1
A. 1 B. C. D.
2 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】找出 tan 和 tan 的关系，求出 tan 和 tan 即可求解.
【详解】sin sin 3cos cos 0 ，
sin sin 3cos cos ，
tan tan 3，sin 2cos ，
tan tan tan tan
tan 2 2 2 ，
1 tan tan 1 3
tan 1 tan 3
tan tan 4 ，由解得 或 ，
tan 3 tan 1
0 ，tan tan ，
tan 3 tan tan 1
，tan .
tan 1 1 tan tan 2
故选：C.
1
8. 已知正实数 a ， b 满足 e2a2 eb e22a eb ，则 a 的最大值为（ ）
2b
1 3
A. 0 B. C. 1 D.
2 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式关系构造函数 f x ex ex ，由其单调性可得 2a 2 b ，于是结合基本不等式可
1
得 a 的最大值.
2b
x x
【详解】由题 e2a2 e22a eb eb ，构造函数 f x e e ，则 f 2a 2 f b ，
2 b
显然 f x 在 R 上单调递增，所以 2a 2 b ，即 a ，
2
1 2 b 1 1 1 1 1 1
所以 a 1 b 1 2 b 0 ，当且仅当 a ， b 1时等号成立.
2b 2 2b 2 b 2 b 2
1
所以 a 的最大值为 0.
2b
故选：A.
【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.
某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运
用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，
并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性
进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非
凡的功效.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 在 :ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a cos B bcos A 2a ，且
sin2 B sin Asin C ，则（ ）
A. a ， b ， c 成等比数列 B. sin A:sin B :sin C 1: 2 : 2