考试说明：（1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（选择题）两部分，满分 150 分．
考试时间为 120 分钟；
（2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷 （选择题, 共 58 分）
、选择题（共 58 分）
()单项选择题（共 8 题，每题 5 分.在每题给出的四个选项中，只有项是符合题
要求的）
1． 是 的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2． 已知 ，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． 或 D． 或
3． 内 的对边分别为 ，若 ， 的
积为 ，则
A． B． C． D．
4． 若数列 满 （ 且 ），则 的值为
A．3 B．2 C． D．
三数学 第 1 共 8
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5． 已知向量 满 ， ， ，则向量 在向量 向上的
投影向量为
A． B． C． D．
6． 2025 年第 9 届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪化博物
馆、群乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进打卡，已知每个景点少有
位同学前往，并且每位同学只能选择其中个景点，若学甲和学必须选同
个景点，则不同的选法种数是
A．18 B．36 C．54 D．72
7． 已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为
A．
B．
C．
D．
8．过椭圆 上的任意点 （不与顶点重合）作椭圆的切线交 轴于点 ，
为坐标原点，过 作直线 的垂线交直线 于点 ，则
A．既没最值也没最值
B．有最值没有最值
C．有最值没有最值
D．为定值
三数学 第 2 共 8
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()多项选择题（共 3 题，每题 6 分.在每题给出的选项中，有多项符合题要求，
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9． 已知 i 是虚数单位，下列说法正确的是
A．复数 满 ，则
B．已知 ，若 ，则
C．复数 z 满 ，则 z 在复平内对应的点的轨迹为条直线
D．复数 z 满 ，则
10．已知圆锥 （ 是底圆的圆， 是圆锥的顶点）的线为 ，为 ．若
为底圆周上任意两点，则下列结论正确的是
A．三形 积的最值为
B．三棱锥 体积的最值
C．四体 外接球表积的最值为
D．直线 与平 所成的正弦值的最值为
11．已知函数 ， 为 的导函数，且
满 ，则下列结论中正确的是
A．
B．函数 的图象不可能关于 轴对称
C．若 最正周期为 ，且 ，则
D．若函数 在 上恰有个最值点和个最值点，则实数 的取值
范围是
三数学 第 3 共 8
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第卷 （选择题, 共 92 分）
、填空题(本题共 3 题，每题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上)
12．已知空间中有三点 , , ,则点 到直线 的距离
为 ．
13．在 的展开式中常数项为 ．
14．顿选代法称顿—拉夫逊法，它是顿在 世纪提出的种在实数集上近似
求解程根的种法．具体步骤如下图示：设 是函数 的个零点，任意
选取 作为 的初始近似值，在点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交
点的横坐标为 ，并称 为 的 次近似值；在点 作曲线 的切线 ，
设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的 次近似值．般地，在点
作曲线 的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并
称 为 的 次近似值．设 的零点为 ，取 ，则 的
次近似值为 ；若 为 的 次近似值，设 ， 数列 的
前 项积为 ．若任意 恒成，则整数 的最值为 ．
三数学 第 4 共 8
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三、解答题(本题共 5 题，共 77 分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤)
15．如图，边为 4 的两个正三形 ， 所在平互相垂直，E，F 分别为 BC，
CD 的中点，点 G 在棱 AD 上， ，直线 AB 与平 相交于点 H．
（1）从下两个结论中选个证明：
；直线 HE，GF，AC 相交于点；
注：若两个问题均作答，则按第个计分．
（2）求点 到平 的距离．
16．已知正项等数列 中， 为 的前 项和， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，设数列 的前 项和 ，求 ．
三数学 第 5 共 8
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17．2023 年以来，哈尔滨掀起了波旅游热潮．太阳岛某游乐园的个迷宫如图，票价为
每 10 元，游客从 处进，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东（且除
外其他每个路选择向北和向东的概率均为 ），直到从 号出出，
且从 号出出后，会得到份奖 元．
（1）随机调查了进游乐园的 50 名游客，统计出喜欢迷宫的数如表：
北
男性 性 总计 东
喜欢迷宫 14 16 30
不喜欢迷宫 16 4 20
总计 30 20 50
根据概率值 的独性检验，能否认为喜欢迷宫与性别有关？如果有关，请
解释它们之间如何相互影响；
附： ．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）设某位游客获得奖 元，求随机变量 的分布列和数学期望；
（3）若每天迷宫的游客约为 100 ，则迷宫项每天收约为多少？
三数学 第 6 共 8
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18．已知 ，平内动点 满 ．
（1）求动点 的轨迹 的程；
（2）动直线 交 于 两点， 为坐标原点，直线 和 的倾斜分别为
和 ，若 ，求证直线 过定点，并求出该定点坐标；
（3）设（2）中定点为 ，记 与 的积分别为 和 ，求 的
取值范围．
三数学 第 7 共 8
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19．若函数 的图象上的若个不同点处的切线互相重合，则
B l
称该切线为函数 的图象的“公切线”，称这若个点为 A
y=f(x)
函数 的图象的组“同切点”．例如，如图，直线 为函
数 的图象的“公切线”， 为函数 的图象的组“同切点”．
（1）已知函数 在 处的切线为它的条“公切线”，求该公切
线程；
（2）若 ，求证：函数 ， 有唯零点，
且该函数的图象不存在“公切线”；
（3）设 ，函数 ， 的零点为 ，
求证 为函数 的组同切点．
三数学 第 8 共 8
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哈三中 2023—2024 学年度下学期
高三学年第四次验收考试数学答案
1-4 CADA 5-8 CBAD
9 AD 10 BD 11 ACD
30
12. 13. 81 14. 3 1
5
15. （2） 6
n
16. （1） an 2
22n1 2 n
（2）
3 4n 4
5 0
2 5 .5 5 6 5 .0 2 4
17. （1） 9 ，能
（2）
X 2 4 6 8 10
P 7/64 15/64 5/16 15/64 7/64
E(X ) 6
（3）400 元
2
18. （1） y 2x
（2）(—2，—2）
（3）(0,+)
y x
19. （1）
（2）略
（3）略
1
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