吉林地区普通高中 2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试
数学试题
说明：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色签字笔将答素
写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题
无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求.
1. 复数 z =sin1 + icos1在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2x-1 ,x< 1,
2. 已知 f x = x 若 f a =1，则实数 a 的值为（ ）
,x 1.
2
A. 1 B. 4 C. 1 或 4 D. 2
2
3. 已知随机变量 XN: 2,s ，且 PX 3 = 0.2 ，则 PX(>1) = （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
4. 若互不相等的正数 a,, b c 满足 2b= a + c ，则（ ）
A. lna ,ln b ,ln c 成等差数列 B. lna ,ln b ,ln c 成等比数列
C. ea ,e b ,e c 成等差数列 D. ea ,e b ,e c 成等比数列
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 0,+ 上单调递增的 是（ ）
2
- 3 1
A. 3 B. f x = tan x C. f x = x - D. f x = ln x
f x = x x
6. 已知圆锥的侧面积是 4 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
2 6 3 2 3 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
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2 2
7. 已知圆 C: x+ y = 1与 x 轴交于 FF1, 2 两点，点 P 在直线 l: x- y + 4 = 0 上，若以 FF1, 2 为焦点的椭圆
过点 P ，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
2 34 5- 1 26- 2
A. B. C. D.
2 17 8 24
2sinb
8. 已知a, b 为锐角，且 cosa+ b = ，则 tan b 的最大值为（ ）
sina
6 2 6 2
A B. C. D.
. 12 4 6 2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知集合 A= xlog2 x 1 , B = x x 1 ，则（ ）
A= x0 x 2 A B ={ x 0< x 1}
A. B.
C. A B = x -1 x 2 D. N* B 的子集个数为 2
6
1
10. 在 - 2 x 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
x
A. 各二项式系数的和为 64 B. 各项系数的绝对值的和为 729
C. 有理项有 3 项 D. 常数项是第 4 项
11. 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， ABP DC ，且 DC=2 AB = 2 AD = 4, O 为 BD 的中点，沿 BD 将
ABD 翻折，使得点 A 到达 A 的位置，构成三棱锥 A- BCD （如图 2），则（ ）
A. 在翻折过程中， AD 与 BC 可能垂直
B. 在翻折过程中，二面角 A -- BC D 无最大值
C. 当三棱锥 A- BCD 体积最大时， AD 与 CO 所成角小于
3
D. 点 P 在平面 A BD 内，且直线 PC 与直线 BC 所成角为 ，若点 P 的轨迹是椭圆，则三棱锥 A- BCD
6
3 2 3
的体积的取值范围是 ,
3 3
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三、填空题：本大題共 3 小题，每小題 5 分，共 15 分．其中第 13 题的第一个空填对得 2
分，第二个空填对得 3 分．
r r r
12. 已知向量 ar = m, - 1 , b = 1,3 ，若 ar ^ b ，则 a = _________.
13. “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024 年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北
经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣
像墙”“古堡滑梯”等 16 处打卡景观．若这 16 处景观分别用 AAA1,,, 2L 16 表示，某游客按照箭头所示方向
（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按
图中所示方向到达 A6 有_________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观 Ai 的不同
n
路线有 ai 条，其中1i 16, i N ，记 a2n+ 1 = m1 n 7, n N ，则 a2i = _________（结果用 m 表
i=1
示）.
14. 已知拋物线 E: y2 = 4 x 的焦点为 F ，准线为l ，过点 F 的直线与抛物线 E 交于 AB, 两点，过 AB, 作
x 轴垂线，垂足分別为 AB, ，直线 AB 与直线l 交于 点，则 与PA B 的面积比值为
1 1 1 P VPAB 1 1 _________.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 VABC 的三个内角 ABC,, 的对边分别为 a,, b c ，且 acos B- b cos2 A = c ．
（1）求 A ；
uuur uuur 2 uuur
（2） AB 在 AC 方向上的投影向量是 AC, a = 13 ，求 ABC 的面积.
3 V
16. 如图，在四棱锥 P- ABCD 中， PA ^ 平面 ABCD, PB= PC = 2 6 ，
PA= BC =2 AD = 2 CD = 4, E 为 BC 中点，点 F 在梭 PB 上（不包括端点）.
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（1）证明：平面 AEF ^ 平面 PAD ；
（2）若点 F 为 PB 的中点，求直线 EF 到平面 PCD 的距离.
17. 已知点 F 2,0 ，直线 l: x = 1，动圆 P 与直线l 相切，交线段 PF 于点 M ，且 PF= 2 PM ．
（1）求圆心 P 的轨迹方程，并说明是什么曲线；
3
（2）过点 F 且倾斜角大于 的直线 l 与 y 轴交于点 M ，与 P 的轨迹相交于两点 MM, ，且
4 1 2
uuuur uuuur uuuuur 1 1
FM=l FM = m FM l,R m ，求 l+ m 的值及 + 的取值范围.
1 2 l m
18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北
方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的 500 名游客调查得知，南方游客有
300 人，因收看短视频而来的 280 名游客中南方游客有 200 人.
（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值a = 0.001的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅
游是否与收看短视颍有关联：单位：人
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游客
北方游客
合计
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款 5 人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余 4
人之一，现有甲、乙等 5 人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 i 次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前 m 次传递中球传到乙的次数为 X ，求 X 的数学期望.
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n() ad- bc 2 m m
c 2 =
参考公式： ，其中 n= a + b + c + d ； EXEXi = i
a+ b c + d a + c b + d i=1 i = 1
附表：
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
ca 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
()x+ a 2
19. 已知函数 f x = ．
ex
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）设 m, n 分别是 f x 的极小值点和极大值点，记 M m,,, f m N n f n ．
（i）证明：直线 MN 与曲线 y= f x 交于除 MN, 外另一点 P ；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值 t a, a + 1 且 aZ ，使 MN= t PN ，若存在，请求出 a 的
值；若不存在，请说明理由.
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吉林地区普通高中 2023—2024 学年度高三年级第三次模拟考试
数学试题
说明：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色签字笔将答素
写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题
无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求.
1. 复数 z =sin1 + icos1在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可.
【详解】由复数的几何意义知，复数 z =sin1 + icos1 在复平面中对应点 Z(sin1,cos1) ，
又因为1 57.3o ，所以 sin1>0 ， cos1>0 ，
所以点 Z 位于第一象限.
故选：A.
2x-1 ,x< 1,
2. 已知 f x = x 若 f a =1，则实数 a 的值为（ ）
,x 1.
2
A. 1 B. 4 C. 1 或 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】分a< 1和 a 1，求解 f a =1，即可得出答案.
【详解】当a< 1时， f a =2a-1 = 1，则 a -1 = 0 ，解得： a =1（舍去）；
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a
当 a 1时， f a = =1，则 a = 2 ，解得： a = 4 .
2
故选：B.
2
3. 已知随机变量 XN: 2,s ，且 PX 3 = 0.2 ，则 PX(>1) = （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布性质可得
【详解】因为 XN~ 2,s 2 ，所以 PXPX 1 = 3 = 0.2 ，
所以 PXPX(>1) = 1 - 1 = 0.8 .
故选：D.
4. 若互不相等的正数 a,, b c 满足 2b= a + c ，则（ ）
A. lna ,ln b ,ln c 成等差数列 B. lna ,ln b ,ln c 成等比数列
C. ea ,e b ,e c 成等差数列 D. ea ,e b ,e c 成等比数列
【答案】D
【解析】
2
【分析】根据 a,, b c 互不相等，且 2b= a + c 得到 e2b= e a+ c ，转化为 eb = e a e c ，根据等比中项的概念，
判断 ea ,e b ,e c 成等比数列.
b c
2 e e
【详解】因为 a,, b c 互不相等，且 ，所以 2b a+ c b a c ，即 ，
2b= a + c e= e e = e e a= b
e e
所以 ea ,e b ,e c 成等比数列.
故选：D
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 0,+ 上单调递增的是（ ）
2
- 3 1
A. 3 B. f x = tan x C. f x = x - D. f x = ln x
f x = x x
【答案】C
【解析】
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【分析】利用奇函数的定义 f- x = - f x ，即可判断四个选项的奇偶性，只有 BC、 是奇函数，又正切
1
函数在 0,+ 上不是单调递增函数，而函数 f x = x3 - 的导函数恒大于零，所以只有 C 正确.
x
2 2
--
【详解】对于 A， 3 3 ，\ f x 为偶函数，故 A 错误；
Q f- x = - x = x ( )
对于 B，Q f- x =tan - x = - tan x = - f x ，\ f( x) 为奇函数，又 f x = tan x 在 0,+ 不满足单
调递增定义，所以 B 错误；
3 3
1 1 2 1
对于 C，Q f- x = - x - = - x + = - f x ，\ f( x) 为奇函数， f x =3 x + >0 ，
-x x x2
\ f( x) 在区间 0,+ 上单调递增，故 C 正确；
对于 D， y= ln x 是非奇非偶函数，所以 D 错误.
故选：C.
6. 已知圆锥的侧面积是 4 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
2 6 3 2 3 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】
rl = 4
设圆锥底面圆的半径为 r ，高为 h ，母线长为l ，由题意知： ，
l= 2 r
两式相除解得 r = 2 ， l = 2 2 ；
2 2
所以圆锥的顶角为 ，轴截面为等边三角形，圆锥的高 h =2 2 - 2 = 6 ，
3
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2 2 6
设圆锥的内切圆半径为 R ， 6-RR =2 + 2 ，解得 R = .
3
故选：D.
2 2
7. 已知圆 C: x+ y = 1与 x 轴交于 FF1, 2 两点，点 P 在直线 l: x- y + 4 = 0 上，若以 FF1, 2 为焦点的椭圆
过点 P ，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
2 34 5- 1 26- 2
A. B. C. D.
2 17 8 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出点 F2 (1,0) 关于直线1:x- y + 4 = 0 对称的点 F 的坐标，结合两点之间线段最短，
即可求出 a 的最小值，由此即可求出离心率的最大值．
【详解】
由题意知 F1(- 1,0) ， F2 (1,0) ，以 F1(- 1,0) ， F2 (1,0) 为焦点的椭圆的半焦距为 c =1，
由题意可知直线 1 与椭圆有交点 P ，设点 F2 (1,0) 关于直线1:x- y + 4 = 0 对称的点为 F(,) m n ，
n
= -1
m -1
则 ，解得 F( - 4,5) ，
n m +1
= + 4
2 2
2 2
则 2a= PF1 + PF 2 = PF 1 + PF F 1 F =-++= ( 4 1) 5 34 ，
c 1
因为 e = = ，
a a
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1 34
=
则该椭圆的离心率的最大值为 34 17 ．
2
故选：B．
2sinb
8. 已知a, b 为锐角，且 cosa+ b = ，则 tan b 的最大值为（ ）
sina
6 2 6 2
A. B. C. D.
12 4 6 2
【答案】A
【解析】
【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
2sin b
【详解】因为a ， b 为锐角，且 cos(a+ b ) = = cos a cos b - sin a sin b ，
sina
2 tan b
两边同时除以 cos b 得， cosa- sin a tan b = ，
sina
\cosa sin a = sin2 a + 2tan b ，
Qa 为锐角，\tana >0 ，
sina cos a sin a cos a tan a 1 1 6
\tan b = = = = =
2 2 2 2 2 ，
2+ sina 3sin a + 2cos a 3tan a + 23tana + 2 6 12
tana
2 6
当且仅当 3tana = ，即 tana = 时取等号，
tana 3
6
\tan b 最大值为 ．
12
故选：A．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知集合 A= xlog2 x 1 , B = x x 1 ，则（ ）
A. A= x0 x 2 B. A B ={ x 0< x 1}
C. A B = x -1 x 2 D. N* B 的子集个数为 2
【答案】BCD
【解析】
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