2024年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A = xx1 = 0 集合B = {a + 1,a1,3,}若A B，则a =
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.设复数z满足2ziz = 1,则z 的虚部为
1 1
A. B. C.3 D.3
3 3
3.已知一种服装的销售量 y(单位：百件)与第x 周的一组相关数据统计如下表所示，若两变量x，y 的经验
回归方程为y = 1.3x + 7.9，则a=
x 1 2 3 4 5
y 6 6 a 3 1
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥的侧面积为
4
A. 2 B.2 C.2 2 D.4
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区 2400 人，除成渝外的西部地区 2000 人，中部地区 1400 人，东部
地区 1800 人，港澳台地区 400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取 40 人做样本调研，为保证调研结果
的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为
40 24 12 10
A.C2400 B.C2400 C.C2400 .C2400
6.已知 f(x)是定义域为R 的奇函数且满足 f(x)+f(2-x)=0，则 f(20)=
A.-1 B.0 C.1 D.1
7.当点P(1,0)到直线 l:(3 + 1)x + ( + 1)y(4 + 2) = 0的距离最大时，实数的值为
A.-1 B.1 C.-2 D.2
8.已知 0 ，且2sin2 = 4cos3cos，则 cos2=
,3
2 1 7
A. . C. D.2 2
9 3 9 3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0 分。
9.命题“存在 x>0，使得mx + 2x1 >0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1
10.已知双曲线C： x2y = ( 0)，则其离心率可能为
A.2 B. 3 C. 2 D. 6
2
11.若函数f(x) = alnx2x + bx既有极小值又有极大值，则
A.ab<0 B.a<0 C.b + 16a >0 D.|a-b|<4
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分。
12.已知单位正方形 ABCD，点E是BC 边上一点，若 BE=2CE，则 AE CE = _________
13.已知b >a >0，loga + logb = 1，且|lga|=|lgb|，则 a+b=_________
14.已知棱长为1 的正方体 ABCDABCD内有一个动点M，满足 MA=MD，且 MB=1，则四棱锥 MADDA
体积的最小值为_________
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
ex
已知函数f = .
(x) x a
(1)当a = 1时，求 f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若 f(x)在区间(0, +)上单调递增，求实数a 的取值范围.
16.(15分)
已知函数f(x) = 3sin 2x + (0)的最小正周期为.
3
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
3
(2)已知ABC 的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且 f = ，AB AC = 2 ，a = ，
(A) 2 3 5
求该三角形的周长.
17.(15分)
我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声
不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器
的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如下图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b 的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2 件，求恰有1 件噪声不超过 25 分贝且
热效率不低于 90%的概率；
x50
(3)当x [90,100]，设供暖器的噪声不超过 (分贝)的概率为p，供暖器的热效率不低于 x%的概率为p，
2
求p + p的取值范围.
18.(17分)
设圆D： x + y + 2x88 = 0与抛物线C： y = 2px(p0)交于E，F 两点，已知| |EF| = 16.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l： 4x + 3y16 = 0与抛物线C 交于A，B 两点(点A 在第一象限)，动点M(异于点A，B)在抛物线
C 上，连接MB，过点A作 AN//MB交抛物线C于点N，设直线AM 与直线BN 交于点P，当点P 在直线l的左
边时，求：
点P 的轨迹方程；
PAB面积的取值范围.
19.(17分)
已知n 4且n N ，设S 是空间中n 个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上. dAB表示点
A，B 间的距离，记集合
(S) = dAB|A,B S,A B .
(1)若四面体 ABCD 满足：AB平面 BCD，BCCD，且AB = BC = CD = 1.
求二面角 C-AD-B 的余弦值;
若S = {A,B,C,D}，求(S).
(2)证明：4card((S)) n1.
1
参考公式：x2 + x2 + + x2 (x + x + + x )2
1 2 n n 1 2 n
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