数学试卷
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合 = {| = (4), }， = {|2 0}，则 =
A.{1,0,1,2} B.{1,0,1} C.{0,1} D.{2,1,0,1}
2.已知z 为复数，i 为虚数单位，则“ = 4”是“2 +为实系数一元二次方程 + + 1 = 0的解”的（ ）条
件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3.将函数() = sin 2 的图象向右平移( >0)个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为
3
A.2 B. C. D.
3 3 6 4
1
4.物理学家本福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为 = log ,应用此
()
定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头
的数出现的概率大约是以9 开头的数出现的概率的( )倍(参考数据： lg2 = 0.301，lg3 = 0.477)
A.5.5 B.6 C.6.5 D.7
5.已知双曲线E 的一个顶点为A，虚轴的一个端点为B，直线AB与E 的一条渐近线相交于点P，点P 恰好在以实轴
为直径的圆上，则E 的离心率为
A. 5 B.2 C. 3 D. 2
6.已知四面体 ABCD中, = = = = 2, = ，若四面体 ABCD 的外接球的表面积为7，则四面体 ABCD
的体积为
A.1 B.2 C.4 D.8
3 3
7.已知函数() = ( >0)，为实数，f(x)的导函数为 ()，在同一直角坐标系中，f(x)与 ()的大致图象
不可能是
A. B. C. D.
8.已知等差数列 的公差为 ，且集合 = 中有且只有4 个元素，则M 中的所有元素之积为
{} 3 | = sin,
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 4 16 4
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 的三个内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的有
A.若 >，则 >B.若 >，则 >
C.若 +< ，则 为钝角三角形 D.若 + >，则 为锐角三角形
10.某动物园研究了大量的A、B 两种相似物种.记录其身长为 x(单位：m)与体重 y(单位：kg)，通过计算得A、B两
、
物种的平均身长为 = 5.2, = 6,标准差分别为 = 0.3, = 0.1,令A、B 两物种的平均体重分别为 .若A、B
两物种其体重y 对身长x 的回归直线分别为 ： = 20.6,: = 1.5 + 0.4，相关系数分别为 = 0.6, = 0.3现有
两种物种中一身长为 5.6m，体重为 8.6kg 的个体P，下列说法中正确的有
()()
=1
参考公式：相关系数 = 回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
2 2
() ()
=1 =1
() ()
=1
= , = ；
2
()
=1
1 2 1 2
方差：2 = ,2 =
=1 =1
A.<
B.点 P(5.6，8.6)到直线的距离大于其到直线的距离
C.点 P(5.6，8.6)与点 的距离大于其与点( 的距离
, ,
D.A 物种的体重标准差小于B 物种的体重标准差
11.“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成.旋轮线C 的参数方程为 = (sin)，其中为参数， 为常
= (1cos) >0
数，旋轮线C 也可看作某一个函数 = ()的图象.下列说法正确的有
A.点P(R,2R)在旋轮线C上
B.函数 f(x)是偶函数
C.函数 f(x)不是周期函数
D.当 = 1时,函数 f(x)在 1 0 单调递减
2,
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分.
12.(1 + ) + (1)10的展开式中，含的项的系数为______________.
13.已知非零向量、满足|| = 2||, + ,则向量与的夹角大小为______________.
14.已知圆M : + (5) = ( >0)和抛物线C : = 2( >0)，F 为抛物线C 的焦点，若圆M 与抛物线C 在公共
点P 处有相同的切线l，且直线l 的纵截距为 3,，则实数p 的值为______________.
四、解答题：本题共5 小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知等差数列{}和等比数列{}均单调递增，前n 项和分别为 和,且满足： = ， = ， = 15，
= 14.
(1)求数列{}，{}的通项公式；
(2)设 = ，求{ }的前n 项和 .
16.(15分)
如图所示，在正四面体中， = 8，点为线段AB上靠近A点的四等分点，I、H分别为线段AD、AC的中点，
直线GH 与直线BC 交于点E，直线GI 与直线BD 交于点F.
(1)证明：；
(2)设M 为线段EF 的中点，求直线GM 与平面 ABC 所成角的正弦值.
17.(15分)
五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，
传递劳动之美，弘扬劳动精神.征文筛选由A、B、C 三名老师负责.首先由A、B 两位老师对征文进行初审，若两位
老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C 进行复
审，复审合格才能通过筛选.已知每篇征文通过A、B、C 三位老师审核的概率分别为 3、4、3，且各老师的审核互不
4 5 7
影响.
(1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；
(2)从投稿的征文中抽出4 篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X 的分布列和数学期望.
18.(17分)
已知() = (1)， ，其中 = 2.71828……为自然对数的底数.
(1)当 = 1时,证明：() ;
(2)当 [0,1]时，f(x)的最小值为1，求实数k 的取值范围.
19.(17分)
2
已知椭圆 ： + 2 = 1，椭圆与椭圆具有相同的离心率，且经过点(2，2).
1 4
(1)求的标准方程；
(2)若的焦点在x 轴上， , 为上一点，A、B 两点在上，且线段PA、PB 的中点都在 上.
()当点P 运动时， 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说理由；
()记 = ，求 tan的取值范围.
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