参照秘密级管理启用前 试卷类型：A
数学试题2024.04
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知幂函数图像过点 2,4 ，则函数的解析式为（ ）
x 2
A． y = 2 B． y= x C． y= log2 x D． y= sin x
2．已知 a, bR ，则“ a>b ”是“ a3>b 3 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条
件
5 5 4 3 2
3．已知 ()xa+ = px5 + px 4 + px 3 + px 2 + pxp 1 + 0 ，若 p4 = 15 ，则 a = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7p
4．已知 a=log 1.41, b = 1.70.3 , c = cos ，则（ ）
2 3
A． b>a >c B． b>c >a C． c>b >a D． c>a >b
5．已知数列an 各项均为正数，首项 a1 = 3 ，且数列log3an 是以 -2 为公差的等差数列，则 a3 = （ ）
1 1
A． B． C．1 D．9
27 3
6．已知棱长为1 的正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 ，以正方体中心为球心的球O 与正方体的各条棱相切，若点 P
uuur uuur
在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 PA PB 的最大值为（ ）
7 3 1
A．2 B． C． D．
4 4 4
7．已知 f x 是定义域为 R 的偶函数， f5.5 = 4, g x = x - 1 f x ，若 g x +1 是偶函数，则
g -0.5 = （ ）
A． -6 B． -4 C．4 D．6
8．如图，已知四面体 ABCD 的棱 AB平面a ，且 AB = 2 ，其余的棱长均为 2 ．四面体 ABCD 以 AB
所在的直线为轴旋转 x 弧度，且四面体 ABCD 始终在水平放置的平面a 的上方．如果将四面体 ABCD 在
平面a 内正投影面积看成关于 x 的函数，记为 S x ，则函数 S x 的最小正周期与 S x 取得最小值时平
面 ABC 与平面a 所成角分别为（ ）
p p p
A． 2p ,0 B．p , C． 2p , D．p ,
2 2 4
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 A ，“乙正面向上”为事件 B ，“甲、
乙至少一枚正面向上”为事件 C ，则下列判断正确的是（ ）
2 1
A． A 与 B 相互独立B． A 与 B 互斥C． PBC = D． PC =
3 2
10．已知函数 f x = Asinw x + j ( A >0, w >0,0< j< p ) 的部分图像如图中实线所示，图中圆 C 与
f x 的图像交于 MN, 两点，且 M 在 y 轴上，则下列命题正确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期是p
7p p
B．函数 f x 在 --, ．上单调递减．
12 3
p p
C．函数 f x 的图像向左平移 个单位后关于直线 x = 对称
12 2
5p 3p p
D．若圆 C 的半径为 ，则 f x =sin 2 x +
12 6 3
2 2 2
11．已知 P x1,,, y 1 Q x 2 y 2 是曲线 C: 7 x- 6 y + 6 y + x + 6 y - 3 = 21 上不同的两点，O 为坐标原点，
则（ ）
2 2
A． x1+ y 1 的最小值为3
22 2 2
B． 2x1 + y 1 - 1 + x 1 + y 1 + 1 4
15 15
C．若直线 y= kx + 3 与曲线 C 有公共点，则 k -,, -U +
3 3
D．对任意位于 y 轴左侧且不在 x 轴上的点 P ，都存在点Q ，使得曲线 C 在 PQ, 两点处的切线垂直
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分。
12．设 m R,i 为虚数单位．若集合 A=1,2 m + m - 1i, B = 0,1,2，且 AB ，则 m = _________．
1
13．已知 x 轴为函数 f x = x3 + ax + 图像的一条切线，则实数 a 的值为_________．
4
14．“-1,0,1 序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于-1,0 或1．设 A 是一个有限“-1,0,1
序列” f A 表示把 A 中每个都变为 -1,0 ，每个0 都变为 -1,1，每个1 都变为0，1，得到新的有序实数
组．例如： ，则 ．定义 ，若
A = -1,0,1 f A = -1,0, - 1,1,0,1 Ak+1 = f A k , k = 1,2,3,L AA1 = -1,1 , n
中1 的个数记为 bn ，则bn 的前 10 项和为_________．
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
ABC 的内角 ABC,, 的对边分别为 a,, b c ．分别以 a,, b c 为边长的正三角形的面积依次为 SSS1,, 2 3 ，且
3
S- S - S = bc ．
1 2 3 4
（1）求角 A ；
uuur uuur p
（2）若 BD=4 CD , CAD = ，求 sinACB ．
6
16．（15 分）
在三棱锥 P- ABC 中， BA^ BC, PB ^ 平面 ABC ，点 E 在平面 ABC 内，且满足平面 PAE ^ 平面
PBE, AB= BC = BP = 1．
（1）求证： AE^ BE ；
3
（2）当二面角 E-- PA B 的余弦值为 时，求三棱锥 E- PCB 的体积．
3
17．（15 分）
某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
（1）已知该公司甲部门有3 名负责人，乙部门有4 名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3 名负责
人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为 X ，求 X 的最有可能的取值；
（2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩 x （满分 100 分）与绩效等级优秀率 y ，如下表所示：
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用 y = lecx 作 为 回 归 方 程 ． 令 z= ln y ， 经 计 算 得
7
xi z i - 7 xz
i=1 ．
z = -0.642,7 0.02
2 2
xi - 7 x
i=1
（）已知某部门测试的平均成绩为 60，估计其绩效等级优秀率；
（）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 x~ N m, s 2 ，其中 m 近似为样本平均数 x,s 2 近似
为样本方差 s2 ．经计算 s 20 ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 0.78 的概率．
参考公式与数据： ln0.15- 1.9,e1.2 3.32,ln5.2 1.66 ．
n
xi y i - nx y
线性回归方程 中， i=1 ．
y= bx + a b=n , a = y - bx
2 2
xi - nx
i=1
若．随机变量 XN~ m, s 2 ，则 PX(m- s<< m + s ) = 0.6826 ，
PXPX(m- 2 s<< m + 2 s ) = 0.9544, ( m - 3 s<< m + 3 s ) = 0.9974 ．
18．（17 分）
x2 y 2
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 的左焦点为 F - 2,0 ，过点 F 且与 x 轴
a2 b 2
2 3
垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
3
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知直线 l 与粗圆 C 相切，与圆O: x2+ y 2 = 3 a 2 相交于 AB, 两点，设 P 为圆O 上任意一点，求PAB
的面积最大时直线 l 的斜率．
19．（17 分）
已知函数 f x =sin x , g x = x cos x - sin x ．
（1）判断函数 g x 在区间 0,3p 上的零点个数，并说明理由；
f x
（2）函数 F x = 在 区 间 0,n+ 1p n N+ 上 的 所 有 极 值 之 和 为 M n ， 证 明 ： 对 于
x
n N+ , M n< 0 ．