数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．在复平面内， 3- 2i i3 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
p 1 p
2．已知 cos-a = ，则 sin+ 2a = （ ）
5 3 10
7 7 4 2 4 2
A． B． - C． D． -
9 9 9 9
3．已知变量x与y 具有线性相关关系，在研究变量x与y 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据
， ， ， ， ， ，利用此样本数据求得的经验回归方程为
x1, y 1 x2, y 2 L x5, y 5 (6,28) (0,28)
10 166
y = x + ，现发现数据 (6,28) 和 (0,28) 误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为
7 7
5
，且 ，则 （ ）
y=4 x + m yi =140 m =
i=1
A．8 B．12 C．16 D．20
x2 3
4．已知椭圆C： +y2 =1( a >1) 的离心率为 ，P是C 上任意一点，O 为坐标原点，P到x 轴的距离
a2 2
为d，则（ ）
2 2
A． 4 OP- d 2 为定值B． 3 OP- d 2 为定值
2 2
C． OP+ 4 d 2 为定值D． OP+ 3 d 2 为定值
5．函数 f( x )= 11cosp x - 2 x + 1 零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如果方程 F() x, y = 0 能确定y是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如
下：在方程 F() x, y = 0 中，把y看成x 的函数 y= y x ，则方程可看成关于x 的恒等式 F x, y x = 0 ，
在等式两边同时对x 求导，然后解出 y x 即可．例如，求由方程 x2+ y 2 =1所确定的隐函数的导数 y ，
将方程 x2+ y 2 =1的两边同时对x 求导，则 2x+ 2 y y = 0 （ y= y() x 是中间变量，需要用复合函数的求
x
导法则），得 y = -( y 0) ．那么曲线 xy+ln y = 2 在点 2,1 处的切线方程为（ ）
y
A． x-3 y + 1 = 0 B． x+3 y - 5 = 0 C． 3x- y - 5 = 0 D． 2x+ 3 y - 7 = 0
7．如图，正四棱台容器 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 的高为 12cm， AB =10cm ， AB1 1 = 2cm ，容器中水的高度为
6cm．现将 57 个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57 个小铁球均被淹没），水位上升了 3cm，若
忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
1 2 3 4
A． 3 cm B． 3 cm C． 3 cm D． 3 cm
p p p p
2 p p
8．倾斜角为q 的直线l 经过抛物线C： y=16 x 的焦点F，且与C 相交于A，B 两点．若 q , ，则
6 4
AF BF 的取值范围为（ ）
196 196
A．128,256 B．64,256 C． 64, D． ,128
3 3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设集合 A={ x | x2 - x 6 } ， B={ xy | x A, y A}，则（ ）
A． ABBI = B． B I Z 的元素个数为 16
C． ABBU = D． AI Z 的子集个数为 64
1
10．已知ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，O 为ABC 的重心，cos A = ， AO = 2 ，则（ ）
5
uuur1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． AO= AB + AC B． AB AC 3
4 4
C．ABC 的面积的最大值为 3 6 D．a 的最小值为 2 5
11．已知函数 f x 和 函 数 g x 的 定 义 域 均 为 R ， 若 f2 x - 2 的 图 象 关 于 直 线 x =1对 称 ，
g x = f x +1 + x - 1， g x+1 + f - x = x + 2 ，且 f 0 = 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 为偶函数
B． g x+4 = g x
C．若 f x 在 区 间 0,1 上 的 解 析 式 为 f( x )= log2 ( x + 1) ， 则 f x 在 区 间 2,3 上 的 解 析 式 为
f( x )= 1 - log2 ( x - 1)
20
D． g( i )= 210
i=1
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分．
12．已知 a >0 ，过点 A() a, a 恰好只有一条直线与圆E： x2+ y 2 -4 x + 2 y = 0 相切，则 a = ________，该
直线的方程为________．
13．4 名男生和2 名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________．
14．在直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中 ， AA1 =12 ， 底 面 ABC 是边长为6 的正三角形，若M 是三棱柱
ABC- A1 B 1 C 1 外接球的球面上一点，N 是ABC 内切圆上一点，则 MN 的最大值为________．
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
如图，在三棱锥 P- ABC 中， AC ^ 平面 PAB，E，F 分别为 BC，PC 的中点，且 PA= AC = 2 ，
5
AB =1， EF = ．
2
（1）证明： AB ^ 平面 PAC．
（2）求二面角 F-- AE C 的余弦值．
16．（15 分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 2 也是等差数列．
an n Sn Sn + n
（1）求数列an 的公差；
4n2
（2）若 a1 = -1，求数列 的前n 项和 Tn ．
an a n+1
17．（15 分）
小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A 类题和B 类题，小张回答A 类题正确的概率为 0.9，小张回
答B 类题正确的概率为 0.45．已知题库中B 类题的数量是A 类题的两倍．
（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答 10 个题目，若小张在这 10个
题目中恰好回答正确k 个（ ，1，2， ，10）的概率为 ，则当k 为何值时， 最大？
k = 0 L Pk Pk
18．（17 分）
x2 y 2
双曲线C： - =1(a >0, b >0) 上一点 D(6, 3) 到左、右焦点的距离之差为6．
a2 b 2
（1）求C 的方程．
（2）已知 A-3,0 ， B3,0 ，过点 5,0 的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB
交于点P，试问点P 到直线 x = -2 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（17 分）
定义：若函数 f x 图象上恰好存在相异的两点P，Q 满足曲线 y= f x 在P和Q 处的切线重合，则称P，
Q 为曲线 y= f x 的“双重切点”，直线PQ 为曲线y= f x 的“双重切线”．
5 1
（1）直线 y= x - 是否为曲线 f( x )= x2 - 2 x + 2ln x 的“双重切线”，请说明理由；
2 2
ex+1 ,x 0
（2）已知函数 g() x = 4 求曲线 y= g x 的“双重切线”的方程；
6- ,x >0
x
（3）已知函数 h( x )= cos x ，直线PQ 为曲线 y= h x 的“双重切线”，记直线PQ 的斜率所有可能的取值
k 15
为 ， ， ， ，若 ，证明： 1 ．
k1 k2 L kn k1>k 2 >ki ( i = 3,4,5,L , n )<
k2 8