数学试题卷
1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生答题前，务必将自己的姓名准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上
3.选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处
用橡皮擦净.
4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用
2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.掷两枚质地均匀的骰子，记事件 A = “第一枚出现奇数点”，记事件 B = “第二枚出现偶数点”，则 A 与 B
关系是（ ）
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
y2
2.双曲线 x2 - =1( m >0) 的渐近线方程为 y= 2 x ，则 m = （ ）
m2
1 2
A. B. C. 2 D.2
2 2
3.复数 z 满足 iz = 1 （ i 为虚数单位），则 z -4 + 3i 的最小值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
r r r r
4.已知平面向量 ar, b 满足 b=2 ar = 2 ，若 ar^ a r + b ，则 ar 与 b 的夹角是（ ）
5 2
A. B. C. D.
6 6 3 3
S4
5.已知各项均为正数的等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a6,3 a 4 ,- a 5 成等差数列，则 = （ ）
S2
A.3 B.9 C.10 D.13
6.将函数 f x = cos2 x 的图象向右平移j0< j< 个单位后得到函数 g x 的图象，若对满足
2
f x - g x = 2 的 x, x ，有 x- x = ，则j = （ ）
1 2 1 2 1 2 min 3
5
A. B. C. D.
6 4 3 12
x2 y 2
7.已知椭圆 C:+ = 1( a >b >0), F , F 为左右焦点， P 为椭圆上一点， F PF = 60o ，直线
a2 b 2 1 2 1 2
l: y= - x + t 经过点 P .若点 F2 关于 l 的对称点在线段 FP1 的延长线上，则 C 的离心率是（ ）
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 2 2 3
2x1 2 x 2 2 x3
8.已知正实数 x1,, x 2 x 3 满足 x1+212, x 1 + = x 1 x 2 + 313, x 2 + = x 2 x 3 + 414 x 3 + = x 3 ，则 x1,, x 2 x 3 的大
小关系是（ ）
A. x3< x 2< x 1 B. x1< x 2< x 3
C. x1< x 3< x 2 D. x2< x 1< x 3
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
2
9.有一组样本数据 x1,,,,, x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 的平均数是 x ，方差是 s ，极差为 R ，则下列判断正确的是
A.若 ax1+ b,,,,, ax 2 + b ax 3 + b ax 4 + b ax 5 + b ax 6 + b 的平均数是 x0 ，则 x0 = ax + b （ ）
B.若 x1,2 x 2 ,3 x 3 ,4 x 4 ,5 x 5 ,6 x 6 的极差是 R1，则 RR1 >
2
C.若方差 s = 0 ，则 x1= x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6
x+ x
D.若 x< x< x< x< x< x ，则第 75 百分位数是 4 5
1 2 3 4 5 6 2
10.已知直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中， AB^ BC 且 AB= BC = 2 ，直线 AC1 与底面 ABC 所成角的正弦值
3
为 ，则（ ）
3
A.线段 AC1 上存在点 D ，使得 A1 B^ AD
B.线段 AC1 上存在点 D ，使得平面 DBB1 ^ 平面 DCC1
4
C.直三棱柱 ABC- A B C 的体积为
1 1 1 3
D.点 B1到平面 A1 BC 的距离为 2
11.已知函数 f x 的定义域为 R ，且 fxyfxyfxfyf + - =2 - 2 , 1 = 2, fx + 1 为偶函
数，则（ ）
A. f 3 = 2 B. f x 为奇函数
2024
C. f 2 = 0 D. f( k )= 0
k =1
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12.在 ABC 中，角 ABC,, 的对边分别为 a, b , c , B= , c = 2, BC 边上的高等于 a ，则 ABC 的面积
V 4 3 V
是__________， sinA = __________.
13.已知圆 C: mx2+ 2 m - 1 y 2 - 2 ax - a - 2 = 0 ，若对于任意的 a R ，存在一条直线被圆 C 所截得的
弦长为定值 n ，则 m+ n = __________.
14.已知正四面体 A- BCD 的棱长为 1，若棱长为 a 的正方体能整体放入正四面体 A- BCD 中，则实数 a
的最大值为__________.
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 13 分）
设等差数列an 的公差为 d ，记 Sn 是数列an 的前 n 项和，若 S5= a 3 +20, S 15 = a 2 a 3 a 8 .
（1）求数列an 的通项公式；
4S * 1
d>0, b =n n N
（2）若 n ，数列bn 的前 n 项和为Tn ，求证：Tn< n + .
an a n+1 2
16.（本题满分 15 分）
如图，三棱锥 A- BCD 中， AD^ CD,,, AD = CD ADB = BDC E 为线段 AC 的中点.
（1）证明：平面 BED ^ 平面 ACD ；
uuur uuur uuur uuur
（2）设 AB= BD =3, BF = 2 FD , EF BD = 0 ，求直线 CF 与平面 ABC 所成角的正弦值.
17.（本题满分 15 分）
设函数 f x =ex - ln x + a , a R .
（1）当 a =1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若对定义域内任意的实数 x ，恒有 f x a ，求实数 a 的取值范围.（其中 e 2.71828 是自然对数
的底数）
18.（本题满分 17 分）
已知抛物线 E: y2 = 4 x ，点 ABC,, 在抛物线 E 上，且 A 在 x 轴上方， B 和 C 在 x 轴下方（ B 在 C 左
侧）， AC, 关于 x 轴对称，直线 AB 交 x 轴于点 M ，延长线段 CB 交 x 轴于点 Q ，连接 QA .
OM
（1）证明： 为定值（ O 为坐标原点）；
OQ
uuur uuuur 8
（2）若点 Q 的横坐标为-1，且 MB MC = ，求 AQB 的内切圆的方程.
9 V
19.（本题满分 17 分）
为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物
活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为 p1 ；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为
有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为 p2 .已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为 0.2.现用 2 台该型号
的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物
活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
（1）若 p1=0.8, p 2 = 0.02 .
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到
0.001）；
（2）若监测系统在监测识别中，当 0.8p1 0.9 时，恒满足以下两个条件：若判定有珍稀动物活动
时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 0.9；若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动
物活动的概率至少为 0.9.求 p2 的范围（精确到 0.001）.
35.04 35.01
（参考数据： =0.9866, = 0.9861,0.982 = 0.9604 ）
6 6