试卷类型：A
数 学
本试卷共 6 页．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合 A={ xy| = ln( x 1)} ， B={ y| y = x2 4, xx A} ，则 AB = （ ）
A． (1, +) B．[4,1) C．(3, +) D．[4, +)
3．三个函数 fx( ) = x3 + x3 ， gx( ) =ln x + x 3 ， hx( ) = ex + x 3 的零点分别为 a，b，c，则 a，
b，c 之间的大小关系为（ ）
A． abc<< B． cab<< C． acb<< D． bca<<
4．如右图，两根绳子把物体 M 吊在水平杆子 AB 上．己知物体 M 的重力大小为 20 牛，且
=AOM 150 ，在下列角度中，当角 取哪个值时，绳 OB 承受的拉力最小．（ ）
题 4 图
A．45 B．60 C．90 D．120
5．若把函数 fx( ) =sin xa + cos x的图象向左平移 个单位后得到的是一个偶函数，则 a = （ ）
3
3 3
A． 3 B． 3 C． D．
3 3
．据一组样本数据 ， ， ， ，求得经验回归方程为 ，且平均数
6 ( xy11, ) ( xy22, ) ( xy10, 10 ) yx=1.2 + 0.4
x = 3．现发现这组样本数据中有两个样本点（1.2．0.5）和（4.8，7.5）误差较大，去除后，重新求得的
经验回归方程为 y=1.1 xa + ，则 a = （ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
7．某学校为参加辩论比赛，选出 8 名学生，其中 3 名男生和 5 名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，
现将这 8 名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（ ）
3 4 5 6
A． B． C． D．
7 7 7 7
x2
8．已知点 F 为双曲线 C： =y2 1的右焦点，点 N 在 x 轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线 C 上
3
（除顶点外）任一点 P， FPN 恒是锐角，则点 N 的横坐标的取值范围为（ ）
14 17 14 17
A． 2, B． 2, C． 3, D． 3,
3 3 3 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
．设 ， 是复数，则下列说法正确的是（ ）
9 z1 z2
．若 2 ，则 ．若 22，则
A z1 = 0 z1 = 0 B zz12+=0 zz12= = 0
． ．若 22，则
C z1 iz 11 = z + iz 1 D zz12= zz12=
10．已知数列{a } 的通项公式为 an= 3 ， n N* ，在{a } 中依次选取若干项（至少 3 项） a ， a ，
n n n k1 k2
， ， ， ，使 成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
ak ak {ak }
3 n n
．若取 ， ，则
A k1 =1 k2 = 3 k3 = 9
．满足题意的 也必是一个等比数列
B {kn}
．在 的前 项中， 的可能项数最多是
C {an} 100 {ak } 6
n
．如果把 中满足等比的项一直取下去， 总是无穷数列
D {an} {ak }
n
11．如图， 平面ABN 平面 ， AB= MN = 2 ，M 为线段 AB 的中点，直线 MN 与平面 的所成角
大小为 30，点 P 为平面 内的动点，则（ ）
题 11 图
A．以 N 为球心，半径为 2 的球面在平面 上的截痕长为 2
B．若 P 到点 M 和点 N 的距离相等，则点 P 的轨迹是一条直线
C．若 P 到直线 MN 的距离为 1，则 APB 的最大值为
2
D．满足 =MNP 45 的点 P 的轨迹是椭圆
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．某中学 1500 名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩 X 近似服从正态分布 N (150, 2 ) ，已知成绩
大于 170 次的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩 X 在 130150 次之间的人数约为______．
n
n 31n +
．已知数列 的通项公式 = （ * ）， 则 = 的最小值为 ．
13 {an} an ( 1) n n N akn aa12 a ______
2 k =1
．在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，定义 、 两点之间的“直角距离”为
14 xOy O Px( 11, y) Qx( 22, y)
．已知两定点 ， ，则满足 的点
d( PQ, ) =+ x12 x y 12 y A(1, 0 ) B(1, 0 ) dMA( ,) += dMB( ,4) M
的轨迹所围成的图形面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
xy22 1 3
15．（ 13 分）已知椭圆 C： +=1（ ab>>0 ）的离心率为 ，且经过点T 1, ．
ab22 2 2
（1）求椭圆 C 的方程：
（2）求椭圆 C 上的点到直线 l： yx= 2 的距离的最大值．
16．（ 15 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 3a cos Bb= sin A 3 c，
c = 2 ，
（1）求 A 的大小：
（2）点 D 在 BC 上，
（）当 AD AB ，且 AD =1时，求 AC 的长；
（）当 ，且 时，求 的面积 ．
BD= 2 DC AD =1 ABC SABC
题 16 图
17．（ 15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， 平面PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，
PAD 为等边三角形， AD BC ， AD AB ， AD= AB =22 BC = ．
（1）求证： AD PC ；
（2）点 N 在棱 PC 上运动，求ADN 面积的最小值；
PQ
（3）点 M 为 PB 的中点，在棱 PC 上找一点 Q，使得 AM平面 BDQ ，求 的值．
QC
题 17 图
18．（ 17 分）已知函数 fx( ) = ex ， gx( ) = x2 +1， hx( ) = asin x + 1（ a >0 ）．
（1）证明：当 x (0, +) 时， f( x) >gx( ) ；
（2）讨论函数 Fx( ) = f( x) hx( ) 在(0, ) 上的零点个数．
．（ 分）已知 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，即
19 17 {an} n M n
；前 项的最小值记为 ，即 ，令
Mnn=max{ aa12 , , , a} n mn mnn=min{ aa12 , , , a} PMmn= nn
（ ），并将数列 称为 的“生成数列”．
n =1, 2, 3, {pn} {an}
（ ）若 n ，求其生成数列 的前 项和；
1 an = 3 {pn} n
（ ）设数列 的“生成数列”为 ，求证： ；
2 {pn} {qn} pqnn=
（ ）若 是等差数列，证明：存在正整数 ，当 时， ， ， ， 是等差数列．
3 {pn} n0 nn 0 an an+1 an+2