绝密启用前
数学
本试卷共4页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设 i 为虚数单位，若复数 z 满足 z1+ i = 2 ，则|| z -i = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．已知集合 A = 太平洋,太平洋，集合 B= x x A，则集合 A 与集合 B 的关系为（ ）
A． AB B． AB C． AB D． AB=
3．一个容量为 10 的样本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，则该组数据的上四分位数为（ ）
A．8 B．7.5 C．14.5 D．15
p
4．已知直线 l: ax+ y - 2 = 0 与 C: ( x- 1)2 + ( y - 1) 2 = 4 交于 AB、 两点， BCA = ，则 a = （ ）
e 2
1 1
A．1 B． C． -1 D． -
2 2
5．考虑以 为样本空间的古典概型．设 X 和Y 定义在 上，取值于0,1的成对分类变量，则“X = 0 与
Y = 0独立”是“X = 1 与Y = 1独立”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
1 2 1 3
6． a>0, b >0, + = 1，则 + 的最小值为（ ）
a b a--1 b 2
A． 3 B． 2 3 C． 6 D．6
7．已知数列an, b n通项公式为 an=2 n - 1, b n = 3 n - 2 ，将数列an b n的公共项从小到大排列得到数列
cn，设数列cn的阅 n 项和为 Sn ，则 Sn = （ ）
A． 3n2 B． 3n2 - n C． 2n2 - 2 n D． 3n2 - 2 n
8．一个半径为1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面
永远不可能接触到的容器内壁的面积是（ ）
A． 36 3 B．18 3 C． 72 3 D．144 3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．四个实数1,- 4,a , b 按照一定的顺应构成一个等比数列，则 ab 的可能取值有（ ）
1
A． - B． -4 C．128 D． -1024
64
3 2
10．已知函数 f x =2 x - 3 x - 12 x , x1 , x 2 m , n 且 满 足 f x1 = f n, f x 2 = f m ， 对 任 意 的
x m, n 恒有 f m f x f n ，且 x0 为 y= f x0 的极值点，则下列等式成立的是（ ）
A． x1+ x 2 = 2 x 0 B． 2 x2- x 1 = n - m
C． 3x1= 2 x 2 + m D． 3x2- x 1 = 2 n
x2 y 2
11．已知 FF, 分别为双曲线 - =1(a >0, b >0) 的左、右焦点，过点 F 的直线与双曲线的右支交于 AB,
1 2 a2 b 2 2
两点，记AF1 F 2 的内切圆 O1 的半径为 r1, BF 1 F 2 的内切圆 O2 的半径为 r2 ．若双曲线的离心率 e = 2 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程： y= 2 x B．以OO1 2 为直径的圆与直线 AB 相切
2a
C．ABF 内切圆半径最小值是 D． r- r 的范围是 -2 2a ,2 2 a
1 2 1 2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分．
2x - 3
12．函数 f x = 的对称中心为_________．
2x + 1
13．抛物线 E: y2 = 4 x 的焦点为 F ，直线 AB, CD 过 F 分别交抛物线 E 于点 ABCD,,, ，且直线 AD, BC 父 x
轴于 NM, ，其中 N 2,0 ，则 M 点坐标为_________．
p2 p
14．对于任意的实数j ，函数 f x =2sinw x + j - 1( w >0) 在 , 上至少3 个零点，至多4 个零点，
3 3
则w 的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战路举措．随着
国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力，国产某品
牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市 2023 年前几个月的销售量（单位：辆），用y 表示
第x 月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：
xi 1 2 3 4 5 6 7
yi 28 32 37 45 47 52 60
（1）经研究， x、 y 满足线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程 y = bx + a （ a、 b 按四舍五入精确到整
数）；
（2）该市某 4S 店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和
“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励5 千元；“二等奖”奖励3 千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在
1 7
一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为 ，获得一份纪念品的概率为 ，现有甲、乙两个客户参与抽奖活
5 10
动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X （千元）的分布列及数学期望．
n
7 xi-- x y i y
参考数据及公式： i=1 ．
xi- x y i - y =146, b =n , a = y - bx
i=1 2
xi - x
i=1
16．（本小题满分 15 分）
在ABC 中，角 ABC,, 的对边分别为 a,, b c ，若 sinABABCBC+ sin sin - sin = sin sin + sin ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 D 为 BC 上一点，且 AD 为 A 的角平分线， 4b+ c = 27 ，求 AD 的最大值．
17．（本小题满分 15 分）
如图，在直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中， AB= BB1 =2, BC ^ AB ．
（1）求证： BC^ BA1 ；
（2）若 E 为 AB1 的中点，三棱锥 A- CEA1 的体积为1，线段 CE 上是否存在点 P ，使得二面角 P-- AB E
EP
的大小为 45 ，若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
EC
18．（本小题满分 17 分）
已知 sina+ cos a = k ．
1
（1）若a0, p ,k = ，求 tana ；
3
k 2 -1
（2）设 S=sinna + cos n a , n N* ，证明： S= kS - S n 3
n n n--12 n 2
1
（3）在（2）的条件下，若 k = ，
5
4 3
（）证明：数列 SSn- n-1 和数列 SSn+ n-1 均为等比数列；
5 5
（）求 Sn 的通项公式．
19．（本小题满分 17 分）
如图，已知圆锥 PO 的轴 PO 与母线所成的角为a ，过 A1 的平面与圆锥的轴所成的角为 b ，该平面截这个圆
锥所得的截面为椭圆 C ，椭圆 C 的长轴为 AA1 2 ，短轴为 BB1 2 ，长半轴长为 3,C 的中心为 N ，再以 BB1 2 为弦
且垂直于 PO 的圆截面，记该圆与直线 PA1 交于 C1 ，与直线 PA2 交于 C2 ，设 cosa= 3cos b ．
（1）求椭圆 C 的焦距；
uuur uuuur
（2）椭圆 C 左右焦点分别为 FFC1,, 2 上不同两点 AB, ，满足 FAFB1=l 2 ( l >0) ，设直线 FBFA1, 2 交于点
QS,QAB = 1 ，求四边形 ABF2 F 1 的面积．