数学
（时量：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知 i 为虚数单位，若 1+ i z = 2 ，则 z = （ ）
A．1+ i B．1- i C． -1 + i D． --1 i
1
2．已知 a>0, f x = ax2 - bx ，则 x 是方程 ax= b 的解的充要条件是（ ）
2 0
A． $x R, f x f x0 B． $x R, f x f x0
C． x R, f x f x0 D． x R, f x f x0
1+ 5
3．顶角为 36的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知cos36 = ，则“最美三角形”的底边长与
4
腰长的比为（ ）
1+ 5 -1 + 5 1+ 5 -1 + 5
A． B． C． D．
2 2 4 4
．已知数列 满足 n * 且 ，则 （ ）
4 an an a n+1 =2 n N a1 = 1 a9 =
A．128 B．64 C．32 D．16
x2 y 2 x2 y 2 4 1
5．已知双曲线 - =1(m >0, n >0) 与椭圆 + = 1 有相同的焦点，则 + 的最小值为（ ）
m n 4 3 m n
A．6 B．7 C．8 D．9
6．2023 年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y 哥直播间，邀请某“网红”来现场带
货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，
出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1 瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，
并且每个人都等可能地出生在一年（365 天）中任何一天（2023年共 365 天），在 n 远小于 365 时，近似地
n--1 n 1
k - k n
， ，其中 ．如果要保证直播间至少两个人
ln 1- ln2 0.693 ai= a1 a 2 L a n
k=0365 k = 0 365
1
的生日在同一天的概率不小于 ，那么来到直播间的人数最少应该为（ ）
2
A．21 B．22 C．23 D．24
7．如图所示，4 个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4 个球之间
依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4 个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种
金属原子并和原来的4 个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为 rA ，另一
种金属晶体的原子半径为 rB ，则 rA 和 rB 的关系是（ ）
． ． ． ．
A 2rBA= 3 r B 2rBA= 6 r C 2rBA= 3 - 1 r D 2rBA= 6 - 2 r
8．已知 f x 的定义域为 0,+ , f x 是 f x 的导函数，且 x2 f x +2 xf x = ln x ， 2ef e = 1 ，则
1 1 1
f , f sin , f tan 的大小关系是（ ）
3 4 2
1 1 1 1 1 1
A． f< f sin< f tan B． fsin< f< f tan
3 4 2 4 3 2
1 1 1 1 1 1
C． ftan< f< f sin D． fsin< f tan< f
2 3 4 4 2 3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
1,当x >0时 ,
x
A．函数 v x = 与 u x =0,当 x = 0时 , 表示同一函数
x
-1,当x< 0时
B．函数 v x = x2 -2 x + 2 与 u t = t2 -2 t + 2 是同一函数
C．函数 y= f x 的图象与直线 x = 2024 的图象至多有一个交点
1
D．函数 f x = x -1 - x ，则 f f = 0
2
10．如图1 所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆 OP 与横
杆 PQ 组成， PQ, 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆 PQ 始终保持水平．如图2 所示，以点 O
为原点，水平方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点O 距水平地面的高度为1 米，转动杆 OP 的长度为
1.6 米，横杆 PQ 的 长 度 为2米， OP 绕 点 O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角
q 30 ,90 （ ）
图 1 图2
2 2 64 4 3 4 8
A．则点 P 运动的轨迹方程为 x+( y + 1) = （其中 x0, , y , ）
25 5 5 5
2 2 64 10+ 4 3 4 8
B．则点Q 运动的轨迹方程为 (x- 2) + y = （其中 x2, , y , ）
25 5 5 5
13
C．若OP 绕点O 从与水平方向成 30 角匀速转动到与水平方向成 90 角，则横杆 PQ 距水平地面的高度为
5
米
13
D．若OP 绕点O 从与水平方向成 30 角匀速转动到与水平方向成 90 角，则点Q 运动轨迹的长度为 米
5
11．在ABC 中，角 ABC,, 所对的边依次为 a,, b c ，已知 sinABC : sin : sin= 2 : 3: 4 ，则下列结论中正确
的是（ ）
A． a+ b : b + c : c + a = 5: 6 ：
B．ABC 为钝角三角形
C．若 a+ b + c = 18 ．则ABC 的面积是 6 15
D．若ABC 的外接圆半径是 R ，内切圆半径为 r ，则 5R= 16 r
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分．
12．在平面直角坐标系中，已知点 FF1-1,0 , 2 1,0 ，若 P 为平面上的一个动点且 PF1= 2 PF 2 ，则点 P
运动所形成的曲线的方程为______．
．已知 99 99 2 99 ， 且 ， 则 满 足
13 (1+ 62x ) + (62 - x ) = a0 + a 1 x + a 2 x +L + a 59 x a0,,,, a 1 a 2L a 99 R
ak<0( k N 且 0k 99) 的 k 的最大值为______．
14．已知函数 f x 的 定 义 域 为 -, + ． 对 任 意 的 x, y R 恒 有
fxyfxy + - = fx + fy fx - fy ， 且 f1 = 2, f 2 = 0 ． 则
f2023 + f 2024 = ______．
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
lnx 1
已知 a, b 为正实数，构造函数 f x = ．若曲线 y= f x 在点 1,f 1 处的切线方程为 y= ax - b ．
ax+ b 2
（1）求 a+ b 的值；
2 1
（2）求证： f x - ．
x+1 x
16．（本小题满分 15 分）
新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如
果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价 50 元、售价 100 元销售该种水
果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与
特别处理等费用 30 元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录
了在连续 50 天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示：
日销售量x（单位：箱） 22 23 24 25 26
天数y（单位：天） 10 10 15 9 6
（1）为能减少打折销售份额，决定 70%地满足顾客需求（即在 100 天中，大约有 70 天可以满足顾客需
求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量t 的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）
（2）以这 50 天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求 t 的 值 满 足
* ，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是 箱划算还是
t n0, n 0 + 1 n 0 N n0
n0 +1箱划算？
17．（本小题满分 15 分）
如图所示，四边形 ABCD 为梯形， AB CDAB,= 2, AD = DC = CB = 1 ，以 AC 为一条边作矩形 ACFE ，
且 CF = 1，平面 ACFE ^ 平面 ABCD ．
（1）求证： BC^ AF ；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为a0< a< 90 ，其中一个平面
内的图形 G 在另一个平面上的正投影为 G ，它们的面积分别记为 SG 和 SG ，则 SSGG = cosa ．乙同学利用
6
甲的这个结论，发现在线段 EF 上存在点 M ，使得 S = ．请你对乙同学发现的结论进行证明．
MAB 2
18．（本小题满分 17 分）
x2 y 2
已知直线 y= ax( a >0) 与椭圆 C :+ = 1 相交于点 PQ, ，点 P 在第一象限内， FF, 分别为椭圆的左、
4 3 1 2
右焦点．
d1
（1）设点Q 到直线 PF1, PF 2 的距离分别为 d1, d 2 ，求 的取值范围；
d2
（2）已知椭圆 C 在点 P x0, y 0 处的切线为 l ．
x x y y
（1）求证：切线 l 的方程为 0+ 0 = 1；
4 3
（2）设射线QF1 交 l 于点 R ，求证：F1 RP 为等腰三角形．
19．（本小题满分 17 分）
我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 a1, a 2 表示；三维空间向盘可用三元有序数组 a1,, a 2 a 3
表示．一般地， 维空间向量用 元有序数组 表示，其中 称为空间向量的第
n n a1,,, a 2 L an ak k= 1,2,L , n k
个 分 量 ， 为这个分量的下标．对于 维 空 间 向 量 ， 定 义 集 合
k n n 3 a1,,, a 2 L an
．记 的元素的个数为 （约定空集的元素个数为 ）．
A m = k ak = m, k = 1,2,L , n A m A m 0
（1）若空间向量 a1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 = 6,3,2,5,3,7,5,5 ，求 A5 及 A5 ；
1 1 1
（2）对于空间向量 a,,, a a ．若 + + + = n ，求证： i, j 1,2, , n ，若
1 2 L n L L
A a1 A a 2 A an
i j ，则 ai a j ；
（ ）若空间向量 的 坐 标 满 足 ， 当 时 ， 求 证 ：
3 a1,,,, a 2 a 3 L an A ak--2+ a k 1 = k, a 1 = a 2 = 1 n 3
2 2 2 ．
a1+ a 2 +L + an >2 a n- 1 a n