数学试卷
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4 页．时间 120 分钟．满分 150
分．
第卷选择题
单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．
z 1+ i = 1 + 3i
1. 若复数 z 满足 ，则 z = （ ）
A. 1- i B. 1+ i C. 2 - 2i D. 2 + 2i
2 a
2. 已知集合 A= x| x - 5 x 6 ，集合 B= x| x a，若 B R A ，则 的取值范围为（ ）
A. 6,+ B. 6,+ C. -, - 1 D. -,1
3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A. 2015 年至 2022 年，知识付费用户数量先增加后减少
B. 2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2022 年最多
C. 2015 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D. 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍
4. 设 a 、 b 是两条不同的直线，a 、 b 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
r r
若 ， ，则 若 ， ， b ^ b ，则a^ b
A. a// b a //a b //a B. a^ b a ^ a
C. 若a^ b ， a ^ b ，则 a //a D. 若a^ b ， a //a ，则 a ^ b
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5. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从 800 名职工中抽取了一个容量为 80 的样
本．其中，男性平均体重为 64 千克，方差为 151；女性平均体重为 56 千克，方差为 159，男女人数之比
为 5:3，则单位职工体重的方差为（ ）
A. 166 B. 167 C. 168 D. 169
cosq+ cos 2 q
2 2
6. 已知q 0, ， tanq+ = - tan q ， =（ ）
2 4 3
2 sin q +
4
1 3 3
A - B. - C. 3 D.
. 2 5 5
x2 y 2
7. 已知椭圆 E ： + =1a >b >0 的左焦点为 F ，如图，过点 F 作倾斜角为 60 的直线与椭圆 E 交
a2 b 2
于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，若 5 FM= OF （ O 为坐标原点），则椭圆 E 的离心率为（ ）
3 6 2 2 2 7
A. B. C. D.
3 3 3 7
在满足 ， yi x i 的实数对 中，使得 成
8. 2 xi< y i xi= y i xi, y i i= 1,2,3, , n y1+ y 2 +L + yn- 1 20 y n
立的正整数 n 的最大值为（ ）
A. 22 B. 23 C. 30 D. 31
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目的要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 如图所示，已知角a, b 0< a< b< 的始边为 x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 AB, ，
2
M 为线段 AB 的中点，射线 OM 与单位圆交于点 C ，则（ ）
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A. AOB =b - a
b- a
B. OM = cos
2
a+ b a + b
C. 点 C 的坐标为 cos ,sin
2 2
a+ b b - a a + b b - a
D. 点 M 的坐标为 cos cos ,sin sin
2 2 2 2
10. VABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，S 为 VABC 的面积，且 a = 2 ，
uuur uuur
AB AC = 2 3 S ，下列选项正确的是（ ）
A. A =
6
B. 若 b = 2 ，则 VABC 只有一解
C. 若 ABC 为锐角三角形，则 b 取值范围是 2 3,4
V
D. 若 D 为 BC 边上的中点，则 AD 的最大值为 2+ 3
11. 直四棱柱 ABCD- A B C D 的所有棱长都为 4， BAD = ，点 P 在四边形 BDD B 及其内部运动，
1 1 1 1 3 1 1
且满足 PA+ PC = 8 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 点 P 的轨迹的长度为 .
B. 直线 AP 与平面 BDD1 B 1 所成的角为定值．
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2 21
C. 点 P 到平面 AD1 B 1 的距离的最小值为 .
7
uuur uuuur
D. PA1 PC 1 的最小值为-2．
第卷非选择题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
6
2x- y y
12. 的展开式中 的系数为______．
x2 y 4 x
13. 已知抛物线 x2 =16 y 的焦点为 F ， P 是 C 上的动点，过点 F 作直线 y= k x -4 + 4 的垂线，垂足为
Q ，则 PQ+ PF 的最小值为______．
14. 已知函数 f x ， g x 的定义域为 R ， g x 为 g x 的导函数，且 f x + g x -8 = 0 ，
2023
f x - 2 - g6 - x -8 = 0 ，若 g x 为偶函数，求 f n =______．
n=1
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
S 1 1
15. 设 S 为数列 a 的前 n 项和，已知 n 是首项为 、公差为 的等差数列．
n n 2
n n +1 3
（1）求an 的通项公式;
2n- 1 an n-1
（2）令 bn = ，Tn 为数列bn 的前 n 项积，证明：Tn 6 ．
Sn
uuur uuur uuur uuur
16. 如图 1，已知正三角形 ABC 边长为 6，其中 AD= 2 DB ， AE= 2 EC ，现沿着 DE 翻折，将点 A 翻
折到点 A 处，使得平面 A BC ^ 平面 DBC ， M 为 AC 中点，如图 2．
（1）求异面直线 AD 与 EM 所成角的 余弦值；
（2）求平面 A BC 与平面 DEM 夹角的余弦值．
17. 2024 年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.
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魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行
改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红
色、黑色、白色小球的个数分别为 2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，小明用左右手
分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左
右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 X ，求 X 的分布列．
18. 已知在平面直角坐标系 xOy 中， l1 ： y= 2 x ， l2 ： y = -2x ，平面内有一动点 P ，过 P 作 DP// l2 交
l1 于 D ， EP// l1 交 l2 于 E ，平行四边形ODPE 面积恒为 1.
（1）求点 P 的轨迹方程并说明它是什么图形；
3
（2）记 P 的轨迹为曲线 C ， G ,0 ，当 P 在 y 轴右侧且不在 x 轴上时，在 y 轴右侧的 C 上一点 Q 满足
4
x 轴平分 PGQ ，且 PQ 不与 x 轴垂直或 PG 是 C 的一条切线，求 PQ 与 l1 ， l2 围成的三角形的面积最小
值.
19. 设 A 是由 m n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该
行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表 A 如表 1 所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负
实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
1 2 3 -7
-2 1 0 1
表 1
（2）数表 A 如表 2 所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和
均为非负整数，求整数 a 的所有可能值：
a a2 -1 -a -a2
2 - a 1- a2 a - 2 a2
表 2
（3）对由 m n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每
行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
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鹰潭市 2024 届高三第一次模拟考试
数学试卷
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4 页．时间 120 分钟．满分 150
分．
第卷选择题
单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．
z 1+ i = 1 + 3i
1. 若复数 z 满足 ，则 z = （ ）
A. 1- i B. 1+ i C. 2 - 2i D. 2 + 2i
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.
2
【详解】因为 1+ 3i = 12 + 3 = 2 ，
2 2 1+ i
所以由 z(1- i) = 1 + 3i ，得 z = = =1 + i .
1- i 1 - i 1 + i
故选：B.
2. 已知集合 A= x| x2 - 5 x 6 ，集合 B= x| x a，若 B A ，则 a 的取值范围为（ ）
R
A. 6,+ B. 6,+ C. -, - 1 D. -,1
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合 A 及 R A，根据集合的包含关系求出结果.
【详解】因为 A= x| x2 -= 5 x 6 x | x 2 --=- 5 x 6 0 x | 1 x 6 ，
R A={ x x< - 1或 x >6}，
因为集合 B= x| x a， BA R ，所以 a >6 ，
故选：A.
3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
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人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A. 2015 年至 2022 年，知识付费用户数量先增加后减少
B. 2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2022 年最多
C. 2015 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D. 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍
【答案】D
【解析】
【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.
【详解】对于 A，由图可知，2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加，故 A 错误；
对于 BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：
2016 年， 0.96- 0.48 = 0.48 ；2017 年，1.88- 0.96 = 0.92 ；
2018 年， 2.95- 1.88 = 1.07 ；2019 年， 3.56- 2.95 = 0.61 ；
2020 年， 4.15- 3.56 = 0.59 ；2021 年， 4.77- 4.15 = 0.62 ；
2022 年， 5.27- 4.77 = 0.5 ；
则知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多，
知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故 BC 错误；
对于 D，由 5.27>10 0.48 ，
则 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍，故 D 正确.
故选：D.
4. 设 a 、 b 是两条不同的直线，a 、 b 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
r r
A. 若 a// b ， a //a ，则 b //a B. 若 a^ b ， a ^ a ， b ^ b ，则a^ b
C. 若a^ b ， a ^ b ，则 a //a D. 若a^ b ， a //a ，则 a ^ b
【答案】B
第2页/共 24页
【解析】
【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断 ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而
判断 B，由此得解.
【详解】对于 A，若 a// b ， a //a ，则有可能 b a ，故 A 错误；
r r
对于 B，若 a ^ a ， b ^ b ，则直线 a, b 的方向向量 a, b 分别为平面a, b 法向量，
r r r r
又 a^ b ，即 a^ b ，所以 a^ b ，故 B 正确；
对于 C，若a^ b ， a ^ b ，则有可能 a a ，故 C 错误；
对于 D，若a^ b ， a //a ，则有可能 a b ，故 D 错误.
故选：B.
5. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从 800 名职工中抽取了一个容量为 80 的样
本．其中，男性平均体重为 64 千克，方差为 151；女性平均体重为 56 千克，方差为 159，男女人数之比
为 5:3，则单位职工体重的方差为（ ）
A. 166 B. 167 C. 168 D. 169
【答案】D
【解析】
【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.
5 3
【详解】依题意，单位职工平均体重为 x = 64 + 56 = 61，
8 8
52 3 2
则单位职工体重的方差为 s2 =151 + 64 - 61 + 159 + 56 - 61 = 169 .
8 8
故选：D.
cosq+ cos 2 q
2 2
6. 已知q 0, ， tanq+ = - tan q ， =（ ）
2 4 3
2 sin q +
4
1 3 3
A. - B. - C. 3 D.
2 5 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用正切的和差公式化简求得 tanq = 3 ，再利用三角函数诱导公式与三角恒等变换，结合正余弦
的齐次式法即可得解.
第3页/共 24页
2 tanq + 1 2
【详解】因为 tanq+ = - tan q ，所以 = - tanq ，
4 3 1- tanq 3
又q 0, ，即 tanq >0 ，解得 tanq = 3 ，
2
cosq+ cos 2 q 2 2
2 --sinq cos q sin q
所以 = = -sinq cos q - sin q
sinq+ cos q
2 sin q +
4
-sinq cos q + sin2 q - tan q + tan 2 q - 3 + 3 2 3
= = = = .
sin2q+ cos 2 q tan 2 q + 1 3 2 + 1 5
故选：D.
x2 y 2
7. 已知椭圆 E ： + =1a >b >0 的左焦点为 F ，如图，过点 F 作倾斜角为 60 的直线与椭圆 E 交
a2 b 2
于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，若 5 FM= OF （ O 为坐标原点），则椭圆 E 的离心率为（ ）
3 6 2 2 2 7
A. B. C. D.
3 3 3 7
【答案】B
【解析】
b2
【分析】根据题意求出 M 点坐标，再利用点差法求得 ，进而可得椭圆离心率.
a2
1 1
【详解】依题意，椭圆的左焦点为 F- c,0 ， FM= OF = c ，
5 5
过 M 作 MM ^ x 轴，垂足为 M ，由 MFM =60 ，
第4页/共 24页