理科数学试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A x N | y log2 (4 x), B y | y | x 1|, x A，则 A B
A．0,1 B．0,1,2 C．1,2,3 D．1,2
2024
2 a i
2．若复数 z a 1 a 1ia R 为纯虚数，则 的值为
1 ai
A．1 i B．1 i C． 2 2i D． 2 2i
3．如图，向量 e1 ， e2 ， a 的起点与终点均在单位正方形
网格的格点上，若 a e1 e2 ，则
A． 1 B．3 C．1 D． 3
4．已知各项不相等的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S5 S3 4 ， a5a6a7 8，则
a1
1 1
A. B. C. 64 D. 64
16 16
5．相距 1400m 的 A，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3s，已知声速是
340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
x2 y2 x2 y2
A． 1 x 510 B． 1 x 510
260100 229900 260100 229900
x2 y2
C． y 0(x 700 或 x 700) D． 1
260100 229900
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6．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若
输入的 a，b 分别为 63，49，则输出的 a
A．9 B．7 C．5 D．3
7．图 1 是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起
构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面
上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图 2 是一个菱形十二面
体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上
一个正四棱锥（如图 3），且平面 ABCD 与平面 ATBS 的夹角为 45 ，则 cosASB
2 3 1 2 2
A． B． C． D．
2 2 3 3
2
8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a4和a5是方程x 20x + 99 = 0的两个
根.若对任意n N 都有Sn Sk成立，则k的值为
A. 11 B. 10 C. 9 D.8
8
9．已知体积为 的正四棱锥 S ABCD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 表面积的最
3
小值为
9
A．12 B．9 C． 6 D．
2
10．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很
第 2 页 共 6 页
简单的猜想：当整数 n 2 时，找不到满足 xn yn zn 的正整数解.该定理史称费马最后
定理，也被称为费马大定理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明
妙法，只是书页的空白处不够无法写下.费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，
历经数代数学家们的努力，这个难题直到 1993 年才由我国的数学家毛桂成完美解决，
最终证明了费马大定理的正确性.现任取 x, y, z,n1,2,3,4,5，则等式 xn yn zn 成立
的概率为
1 12 14 7
A． B． C． D．
12 625 625 625
x2 y2
11．椭圆C : 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F1 的直线l 交椭圆 C
a2 b2
4
于 A，B 两点，已知 (AF F F ) AF 0 ， AF1 F1B ，则椭圆 C 的离心率为
2 1 2 1 3
5 2 5 1
A． B． C． D．
7 2 3 3
1
12．定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f 1 x f 1 x ，且当 x 0,1 时， f x sin x ，
2 2
1
则函数 g x f x 在2,10 上所有零点的和为
x 4
A．16 B．32 C．36 D．48
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 某校需要大量志愿者协助开展工作.学校现有 3 名男教师、3 名女教师申请成为志愿
者，若安排这 6 名志愿者到 3 个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各 1 名，则
不同的安排方式种数是________．(用数字作答)
14．在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为 x2 y 2 8x 15 0 ，若直线 y kx 2 上
至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是
________．
15. 函数 f (x) sin(x+) ( 0, ) 在一个周期内的部分取值如下表：
2
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5 7
x
12 12 4 12 12
f (x) a 1 a a 1
则 f (x) 的最小正周期为 ； a ．
2
16. 已知函数f(x) = ax 2x + lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1) + f(x2) t恒
成立，则实数t的最小值为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤.）
（一）必考题（60 分）
17. （本小题满分 12 分）
记A ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 B ,4bcosC 2c 2a .
4
（1）求 tanC ；
3
（2）若A ABC 的面积为 ，求 BC 边上的中线长.
2
18．（本小题满分 12 分）石嘴山市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共
进行 3 轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规
定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各 2 道，若有不少于 3 道得到评委认可，
将获得一张通关卡，3 轮比赛中，至少获得 2 张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决
赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取
了中式面点和中式热菜各 4 道，其中有 3 道中式面点和 2 道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的 8 道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各 2 道，由此
来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的 8 道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品
被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不
1
变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了 ，以获得通关卡次数的期望作为判断依
6
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据，试预测小李能否进入决赛？
19．（本小题满分 12 分）如图所示，直角梯形 PABC 中， ABPC ， B 90 ，D 为 PC
上一点，且 AB PA PD 2DC 2 ，将 PAD 沿 AD 折起到 SAD 位置．
(1)若 SD CD ，M 为 SD 的中点，求证：平面 AMB平面 SAD；
(2)若 SB 6 ，求平面 SAD 与平面 SBC 夹角的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）已知动点 P x, y 到直线l : y 2 的距离比到点 F 0,1 的距离大1
，点 P 的轨迹为曲线C1 ，曲线C2 是中心在原点，以 F 0,1 为焦点的椭圆，且长轴长为 4
．
(1)求曲线C1 、C2 的方程；
(2)经过点 F 的直线l1 与曲线C1 相交于 A 、 B 两点，与曲线C2 相交于 M 、 N 两点，若
AB 3 MN ，求直线l1 的方程．
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f x ex cosx ．
(1)求 f x 在, f 处的切线方程；
1
(2)若 f x ax ax2 对任意 x R 恒成立，求正实数 a 的取值集合．
2
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（二）选考题（10 分）
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的
第一个题目计分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 3 4cos
在直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 （其中 为参数）.以坐标原点
y 4sin
O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin 2 cos 4
.
(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
(2)已知点 P2,0 ，直线l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求 | PM | | PN | 的值.
23.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲
设函数 f x x 5 2 x 2 的最小值为 t
(1)求 t 的值；
1 1 1 2 a 2b c 1
(2)若 a，b，c 为正实数，且 ，求证： .
ta 2tb 3tc 3 9 9 3 2
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2024年3月 13日
石嘴山三中 2024 届高三年级第一次模拟考试 又i1 i ， i2 1，i3 i ，i4 1，
故选：A．
理科数学试卷
3．如图，向量 e ， e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 a e e ，则
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 1 2 1 2
注意事项： （ ）
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第 I 卷（选择题） A． 1 B．3 C．1 D． 3
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
【答案】D
合题目要求的）
【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案.
1．已知集合 A x N | y log2 (4 x), B y | y | x 1|, x A，则 A B （ ）
【详解】根据图象，
A．0,1 B．0,1,2
． 1,2,3 ． 1,2
C D
【答案】B
【分析】由函数有意义求得集合 A，进而求出集合 B，再利用交集的定义求解即得.
根据平面向量基本定理，可知： a 2e1 e2 ，
【详解】由 4 x 0 ，得 x 4 ，又 x N ，因此 A 0,1,2,3, B 0,1,2，
所以 2 ， 1，
所以 A B 0,1,2． 2 1 3 ，
故选：B 故选：D.
2024 4. 已知各项不相等的等比数列 a 的前 n 项和为 S ，若 S S 4 ， a a a 8，则 a （ ）
2 a i n n 5 3 5 6 7 1
2．若复数 z a 1 a 1ia R 为纯虚数，则 的值为
1 ai
1 1
A. B. C. 64 D. 64
A．1 i B．1 i C． 2 2i D． 2 2i 16 16
【答案】A
【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得 a1 .
【分析】根据复数的类型求出 a ，再根据复数代数形式的乘方与除法运算法则计算可得；
【详解】设等比数列an 的公比为 q ， q 0 ，
【详解】因为复数 z a2 1 a 1ia R 为纯虚数，
S S a a 4 a a 4 a q3 a q4 4
所以 2 且 a 1 0 ，解得 a 1， 依题意， 5 3 4 5 4 5 1 1 ，
a 1 0 3 , , 5
a5a6a7 a6 8 a6 2 a1q 2
理科数学（一模） 第 1 页 共 10 页 越努力，你会越幸运！
q3 q4 1 q 不满足 a b ，输出 a 7.
两式相除得 2 ，
5 2 2,2q q 1 2q 1q 1 0
q q 故选： B.
1 2 7．图 1 是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看
解得 q 或 q 1（舍去），所以 a1 5 64 .故选：C
2 q 出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的
5．相距 1400m 的 A，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3s，已知声速是 340m/s，炮弹爆炸点 菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图 2 是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的
一定在曲线（ ）的方程上. 几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图 3），且平面 ABCD 与平面
2 2 2 2
x y x y
A． 1 x 510 B． 1 x 510 ATBS 的夹角为 45 ，则 cosASB （ ）
260100 229900 260100 229900
x2 y2
C． y 0(x 700 或 x 700) D． 1
260100 229900
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义进行求解即可.
【详解】设炮弹爆炸点为 P ，
由题意可知： PA PB 3340 1020 1400，
显然点 P 的轨迹是以 A，B 的焦点的双曲线，因此有 2a 1020,2c 1400 ，
2 3 1 2 2
A． B． C． D．
可得： a 510,c 700 ，于是有b c2 a2 490000 260100 229900 ， 2 2 3 3
【答案】C
根据四个选项可知，只有选项 D 符合，
【分析】连接 AC、BD 相交于点O ，取 AB 的中点 E ，可得 SEO 即为平面 ABCD 与平面 ATBS 的夹
故选： D
角，设 AE a ，在SAB 中由余弦定理可得答案.
6．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序
【详解】连接 AC、BD 相交于点O ，连接 SO ， SO 平面 ABCD ，
框图，若输入的 a，b 分别为 63，49，则输出的 a （ ）
取 AB 的中点 E ，连接 SE、OE ，
因为 SA SB，OA OB ，所以 SE AB，OE AB ，
A．9 B．7 C．5 D．3
所以 SEO 即为平面 ABCD 与平面 ATBS 的夹角，即 SEO 45 ，
【答案】B
设 AE a ，则OE OS a ，所以 SE 2 OS 2 OE 2 2a2 ，
【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足 a b 是输出结 果.
SA2 SB2 SE 2 BE 2 3a2 ，
【详解】按照程序框图运行程序，输入 a 63,b 49,
SB2 SA2 AB2 3a2 3a2 4a2 1
在 ，由余弦定理得
满足 a b ，且 a b ， SAB cosASB 2 .
2SB SA 23a 3
所以 a 63 49 14 ，继续运行；满足 a b ，不满足 a b ，所以b 49 14 35 ，继续运行； 故选：C.
满足 a b ，不满足 a b ，所以b 35 14 21，继续运行；满足 a b ，不满足 a b ，
b 2114 7 ，继续运行；满足 a b ，且 a b ，所以 a 14 7 7 ，继续运行；
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2024年3月 13日
2
设数列{ }为等差数列，其前项和为 ，已知 和 是方程 220 + 99 = 0的两个根.若对任意 h a h 2 h h 2 h h 2 3
8. 4 5 则 R 33 ，
2 h 2 h2 4 4 h2 4 4 h2 2
都有 成立，则的值为 h 2
当且仅当 2 ，即 h 2 时，等号成立，
( ) 4 h
9
所以球O 的表面积的最小值为 S 4R2 4 9 .
A. 8 B. 10 C. 9 D. 11 4
【答案】C 故选：B.
2 10、法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的
解： 4和5是方程 20 + 99 = 0的两个根，
猜想：当整数 n 2 时，找不到满足 xn yn zn 的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称
4 + 5 = 20，4 5 = 99．
为费马大定理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白
设数列{}的公差为，
处不够无法写下.费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个
对任意 都有 成立，即是前项和的最大值， 难题直到 1993 年才由我国的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取
< 0． x, y, z,n1,2,3,4,5，则等式 xn yn zn 成立的概率为（ ）
4 = 11，5 = 9， = 2，
1 12 14 7
A． B． C． D．
= 4 + (4) (2) = 192． 12 625 625 625
当 9时， >0，当 >9时，< 0， 答案： B
若对任意 都有 成立，则 = 9． x, y, z,n1,2,3,4,5 4
解： 任取 ，则基本事件总数为 5 625 ，分别列出 n 2 ， n 2 ， n 1
8
9. 已知体积为 的正四棱锥 S ABCD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为 n n n
3 时满足 x y z 的情况，然后，利用概率的公式，即可求解
（ ）
详解：任取 x, y, z,n1,2,3,4,5，则基本事件总数为 54 625 ，
9
A．12 B．9 C． 6 D．
2
当 n 2 时，由费马大定理知等式 xn yn zn 不成立，
【答案】B
【详解】设正四棱锥的底面边长为 2a ，高为 h ， 当 n 2 时， (x, y, z) 可取 (3,4,5) 或 (4,3,5) ，共 2 种情况，
1 1 2 8 2
则体积V Sh 2a h ，所以 a2 ， 当 n 1 时，等式即为 x y z ， (x, y, z) 可取 (1,1,2) ， (1,2,3) ， (2,1,3) ， (2,2,4) ， (1,3,4) ，
3 3 3 h
2
设球 的半径为 R ，则 OO2 O B2 OB2 ，即 2 2 ， (3,1,4) ， (1,4,5) ， (4,1,5) ， (2,3,5) ， (3,2,5) ，共 种情况，
O 1 1 (h R) 2a R 10
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12 【详解】依题意， f x 是定义在 R 上的奇函数，图象关于原点对称，
综上，使等式成立的基本事件个数为12 ，故等式成立的概率为 ，
625
由于 f 1 x f 1 x ，所以 f x 的图象关于 x 1对称，
故选：B
x2 y2 f x 4 f 1 x 3 f 1 x 3 f 2 x
11、椭圆 C : 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A，
a2 b2
f x 2 f 11 x f 1 1 x f x f x
4
B 两点，已知 AF F F AF 0 ， AF F B ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
2 1 2 1 1 3 1 ，
所以 f x 是周期为 4 的周期函数.
5 2 5 1
A． B． C． D．
7 2 3 3 1 1
令 g x f x 0 ，得 f x ，
x 4 x 4
答案： A
1
F F 2c 函数 y 的图象关于4,0 对称， y f x 的图象也关于点4,0 对称，
解： 设 1 2 ， x 4
1
2 2 画出函数 y f x 和 y 的图象如下图所示，
因为 AF2 F1F2 AF1 AF2 F1F2 AF2 F1F2 AF2 F1F2 0 ， x 4
由图可知，两个函数图象有 4 个交点，且交点关于4,0 对称，
所以 AF2 F1F2 2c ，所以 AF1 2a 2c ，
所以 g x 所有零点和为8 2 16 .
4 3 a 3c
因为 AF1 F1B ，所以 BF1 (a c) ，所以 BF2 ，
3 2 2 2 故选：A
第 II 卷（非选择题）
5
设 AF 中点为 H，则 F H AB ， AH a c ， BH (a c) ， 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1 2 2
13. 某校需要大量志愿者协助开展工作.学校现有 3 名男教师、3 名女教师申请成为志愿者，若安排
2 2 2 2 2 2
F2 A | AH | F2 B | BH | 代入数据并整理得： 7c 12ac 5a 0 ， 这 6 名志愿者到 3 个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各 1 名，则不同的安排方式种数是
5 ________．(用数字作答)
等式两边同除以 a2 得： 7e2 12e 5 0 ，解得： e 或 e 1 (舍).
7
解析】【分析】分步完成，先安排男老师，再安排女老师即可．
故选：A.
1 3
12．定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f 1 x f 1 x ，且当 x 0,1 时， f x sin x ，则函数 【详解】先安排男教师、再安排女教师，各有 A3 中安排方式，
2 2
1 3 3
g x f x 在2,10 上所有零点的和为（ ） 故不同的安排方式共有 A3 A3 36 种.故选：B．
x 4
A．16 B．32 C．36 D．48 14．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 ykx2 上
【答案】A 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是
．
【分析】先判断 f x 的对称性、周期性，然后由 g x 0 进行转化，结合图象以及对称性求得正确 ________
【解析】x2y28x150 化成标准形式为(x4)2y21，该圆的圆心为
答案.
M(4，0)，半径为 1.根据题意，只需要圆心 M(4，0)到直线 ykx2 的距离 d11 即
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