数学（文科）试题
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A {x | 2 x 4} ， B {x | x2 3x 10 0}，则 A B （ ）
A．[2,5) B．[2,4) C． (2,4) D． (2,4]
z
2．设 z 在复平面内对应的点为 (1,2) ，则 在复平面内对应的点为（ ）
z i
1 3 1 3 1 3 1 3
A． , B． , C． , D． ,
4 4 4 4 2 2 2 2
3. 采购经理指数（PMI）是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而
成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业
领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预
警作用．制造业 PMI 高于50% 时，反映制造业较上月扩张；低于50% ，则反映制
造业较上月收缩．下图为我国 2021 年 1 月—2022 年 6 月制造业采购经理指数
（PMI）统计图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）
A．2021 年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B．2021 年第四季度各月制造业在逐月扩张
C．2022 年 1 月至 4 月制造业逐月收缩
D．2022 年 6 月 PMI 重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
4. 已知某运动员每次投篮投中的概率是 0.4.现采用随机数法估计该运动员三次投篮
中恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生 09 中的整数，指定 1，2，3，4
表示投中，5，6，7，8，9，0 表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次
投篮的结果．现产生了如下 10 组随机数：907 966 191 925 271 431 932
458 569 683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为()
3 3 1 9
A． B． C． D．
10 5 5 10
5．已知函数 f x 是定义域为 R 的偶函数，在区间0, 上单调递增，且对任意 x1, x2
，均有 f x1x2 f x1 f x2 成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． y ln x B． y x3 C． y 2 x D． y x
6. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A（ 1，2），B（3，4），C（4， 2），点
（x，y）在平行四边形 ABCD 的内部，则 z=2x 5y 的取值范围是（ ）
A（ 14，16） B（ 14，20） C（ 12，18） D（ 12，20）
7．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 B1D1 的中点，则直线 DP 与 B1C 所成角的正切值为
3 3
A． 3 B． C． D．1
3 3
8. 已知函数 f (x) sin(2x ) （其中 ）图象的一个对称中心为 ,0 ，为了得到
2 3
g(x) sin 2x 的图象，只需将 f (x) 的图象（ ）
6
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 4
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 4
1
9．如图，在 AABC 中， BAC , AD 2DB ， P 为CD 上一点，且 AP mAC AB ，
3 2
若| AC | 3,| AB | 4 ，则 AP CD 的值为（ ）
13 7 13 7
A． B． C． D．
12 6 12 6
n
10．已知数列an 满足 a1 1,a2 2,an2 an 1 (1) ，设其前 n 项和为 Sn ，则
S100
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
1 1
．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
11 a 4e 2 b 9e3 c 6 a b c
A． a b c B． a c b C． c b a D． c a b
2 2
x y y
12．已知 F1, F2 分别是椭圆 E : 1(a b 0) 的左、右焦点， M 在 E 上， N 在 轴
a2 b2
20
上， 2F N 3MF ，以 MN 为直径的圆过 F ，且MF F 的面积为 ，则椭圆 E 的
2 2 1 1 2 3
标准方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
25 10 25 20 20 5 15 10
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．在各项均为正数的等比数列an 中， a5a6 8 ，则 log2a4 log2a7 .
2 2
x y
14. 已知双曲线 1的左焦点为 F1 ，过 F1 作一倾斜角为30 的直线交双曲线右支
a2 b2
于 P 点，且POF1 （O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线的离心率 e
为 ．
15. 已知正四棱锥的底面边长为 2，高为 4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个
球的表面积是 _____
16．下列命题中：
若集合 A x kx2 2x 1 0中只有一个元素，则 k 1；
已知命题 p： x R ， ax2 2x 1 0，如果命题 p 是假命题，则实数 a 的取值
范围是,1 ；
1
已知函数 y f 2 x 的定义域为1,1，则函数 y f x 的定义域为 ,2 ；
2
x 1
函数 y 在,0 上单调递增；
x 1
x
方程3 log3 x 3 2 的实根的个数是 2.
所有正确命题的序号是 .
三、解答题.(共 70 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作
答.
（一）必考题（60 分）
17. 足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球．为了解本地区足球特
色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份 x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校 y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
(1)根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱．
（已知： 0.75 | r | 1，则认为 y 与 x 线性相关性很强； 0.3 | r | 0.75，则认为 y 与
x 线性相关性一般；| r | 0.25，则认为 y 与 x 线性相关性较弱）：
(2)求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该地区 2025 年足球特色学校的个数（精确
到个）．
参考公式和数据
n n
xi x yi y xi x yi y
r i1 ,b i1 ,a y bx
n n n
2 2 x x 2
xi x yi y i
i1 i1 i1
n n
2 2
xi x 10 ， yi y 1.3 ， 13 3.6056 ．
i1 i1
2 2
18．已知函数 f (x) cos x sin x, g(x) f (x) f x
3
(1) 求 g(x) 的单调递增区间；
(2) 三角形 ABC 的三边 a，b，c 满足 (a b)2 c2 ab ，求 g(A) 的取值范围．
19．如图，在圆锥 PO 中， AB 是圆O 的直径，且 PAB 是边长为 4 的等边三角形，
C, D 为圆弧 AB 的两个三等分点， E 是 PB 的中点.
(1)证明： DE A 平面 PAC .
(2)求点 E 到平面 PAC 的距离.
： 2 2 2 l
20．已知抛物线 C1 x 2 py( p 0) 和圆C2： x 1 y 2 ，倾斜角为 45的直线 1 过
C1 的焦点且与C2 相切．
(1)求 p 的值：
(2)点 M 在C1 的准线上，动点 A 在C1 上，C1 在 A 点处的切线l2 交 y 轴于点 B，设
MN MA MB ，求证：点 N 在定直线上，并求该定直线的方程．
a ln x
21．已知函数 f (x) 2x a ．
x2
(1)当 a 1时，求曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程．
(2)若 f (x) 有两个零点，求实数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所
选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计
分.
x 3 4cos
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （其中 为参数）.以
y 4sin
坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin 2 cos 4.
(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
(2)已知点 P2,0 ，直线l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求 | PM | | PN | 的值.
23．设函数 f x x 5 2 x 2 的最小值为 t
(1)求 t 的值；
1 1 1 2 a 2b c 1
(2)若 a，b，c 为正实数，且 ，求证： .
ta 2tb 3tc 3 9 9 3 2
石嘴山三中 2024 届高三一模考试数学（文科）试题答案
一．单选题 ACDADB CDABDB
81
二．填空题 3， 3 1 ，
4 ，
三．答案详解
1．已知集合 A {x | 2 x 4} ， B {x | x2 3x 10 0}，则 A B （ ）
A．[2,5) B．[2,4) C． (2,4) D． (2,4]
【答案】A
【分析】根据题意求解 B ，再求解 A B ，确定选项.
【详解】因为 B {x | x2 3x 10 0} {x | 2 x 5}， A {x | 2 x 4},
所以 A B {x | 2 x 5} 2,5.
z
2．设 z 在复平面内对应的点为 (1,2) ，则 在复平面内对应的点为（ ）
z i
1 3 1 3 1 3 1 3
A． , B． , C． , D． ,
4 4 4 4 2 2 2 2
【答案】C
z
【分析】利用复数运算法则化简 即可求解.
z i
【详解】依题意得 z 1 2i ，
z 1 2i (1 2i)(1 i) 1 3i 1 3
所以 i ，
z i 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
z 1 3
则 在复平面内对应的点为 , ．
z i 2 2
故选：C
3.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而
成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领
域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作
用．制造业 PMI 高于50% 时，反映制造业较上月扩张；低于50% ，则反映制造业较
上月收缩．下图为我国 2021 年 1 月—2022 年 6 月制造业采购经理指数（PMI）统计
图．
根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）
A．2021 年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩
B．2021 年第四季度各月制造业在逐月扩张
C．2022 年 1 月至 4 月制造业逐月收缩
D．2022 年 6 月 PMI 重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张
【答案】D
【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与50% 比较，即可得到答案.
【详解】对于 A 项，由统计图可以得到，只有 9 月份的制造业指数低于50% ，故 A
项错误；
对于 B 项，由统计图可以得到，10 月份的制造业指数低于50% ，故 B 项错误；
对于 C 项，由统计图可以得到，1、2 月份的制造业指数高于50% ，故 C 项错误；
对于 D 项，由统计图可以得到，从 4 月份的制造业指数呈现上升趋势，且在 2022
年 6 月 PMI 超过50% ，故 D 项正确.
故选：D.
4.已知某运动员每次投篮投中的概率是 0.4.现采用随机数法估计该运动员三次投篮
中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生 09 中的整数，指定 1，2，3，4
表示投中，5，6，7，8，9，0 表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投
篮的结果．现产生了如下 10 组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估
计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为( A)
3 3 1 9
A． B． C． D．
10 5 5 10
5．已知函数 f x 是定义域为 R 的偶函数，在区间0, 上单调递增，且对任意 x1, x2
，均有 f x1x2 f x1 f x2 成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． y ln x B． y x3 C． y 2 x D． y x
【答案】D
【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即
可求解.
【详解】对于 A， f x1x2 ln x1x2 ln x1 ln x2 f x1 f x2 ，故 A 错误；
对于 B， f 1 1 f 1 ，故 y x3 不是偶函数，故 B 错误；
x1 x2 x1 x2
对于 C， f x1 f x2 2 2 2 f x1 x2 ，故 C 错误；
对于 D， f x1x2 x1x2 x1 x2 f x1 f x2 ，
又 y f x x 定义域为全体实数，它关于原点对称，且 f x x x f x ，
即函数 f x 是定义域为 R 的偶函数，
当 x 0 时， f x x 单调递增，满足题意.
故选：D.
6 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，
y）在平行四边形 ABCD 的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是（ B）
A（-14，16） B（-14，20） C（-12，18） D（-12，20）
7．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 B1D1 的中点，则直线 DP 与 B1C 所成角的正切值为
（ ）
3 3
A． 3 B． C． D．1
3 3
【答案】C