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中学生标准学术能力诊断性测试 2024 年 3 月测试 6． 已知圆 Mxyaxa:20>+= 0 () 的圆心到直线 22xy+=距离是 5 ， 则圆 M 与圆
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Nxy:211()()++= 的位置关系是
数学试卷
A．外离 B．相交 C．内含 D．内切
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 n
2 1 6
7． 已知3x + 的展开式的各项系数和为 4096，则展开式中 x 的系数为
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 x
A．15 B．1215 C．2430 D．81
符合题目要求的．
2 3i+
2 8． 设 aR ，若复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 yx= 上，则 a =
1． 已知集合 AaaBaa==+2,4,10,10,24,25 ，且 AB= 10 ，则 a 2i
2
A． A = 8 , 2 , 1 0 B． B = 1 0 , 7 8 ,2 5 A． 2 B． 10 C． D． 2
5
C． a = 2 或 20 D． AB=800,16,10,82,25 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
2
xxx3,3 2 题目要求．全部选对得 5 分，部分选对但不全得 2 分，有错选的得 0 分.
2． 已知函数 fx() = ，若 x0 R ，使得 fxmm() 0 +104 成立，则实数 m 的
log,>3xx 3
9． 下列说法正确的是
取值范围为
1
A．不等式 451>xx2 + 0 的解集是 xxx><1或
91 5 4
A． , B． ,0 3
44 2 B．不等式 260xx2 的解集是 xxx 或 2
2
91 5
C． +,, D． +,0, ) 2
44 2 C．若不等式 axax++821< 0 恒成立，则 a 的取值范围是
21 31 2 1
3． 已知 sin+= ，那么 tan= D．若关于 x 的不等式 23xpx<+ 0 的解集是( )q,1 ，则 pq+ 的值为
75 14 2
1 26 10．已知 mn、 为两条不重合的直线，、 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是
A． B． 26 C． D． 26
5 5
A．若 mn, 且，则 mn B．若 mnmn,,，则
2 1 11
4． 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Snnn =+3 ，若首项为 的数列bn 满足 =an ，
2 bbnn+1
C．若 mn n,, ，则 m D．若 m n,,, n m ，则
则数列 的前2024项和为
xy22
11．设椭圆C :1+=的左、右焦点分别为 FFP、 , 是C 上的动点，则下列结论正确的是
1012 2025 2023 2024 12
A． B． C． D． 25 16
2023 2024 2024 2025
A． PF12+= PF 5
7
5． 已知点 ABCD()()()2,6, 2,3, 0,1, ,6 ，则与向量 ABCD+ 2 同方向的单位向量为 3
2 B．离心率 e =
5
3 10 10 10 3 10 2 5 5 43
C． PF F 面积的最大值为 12
A． , B．, C．, D． , 12
10 10 10 10 55 55
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D．以线段 FF12为直径的圆与圆 ()()xy4 + 3 = 4 相切
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kxkx,1
12．已知函数 fx( ) = ，下列关于函数 y= f( f( x) ) 2的零点个数的判断，其中正 10,20) , 20,30) , 30,40) , 40,50) , 50,60) , 60,70) , 70,80) 分组的频率分布直方图如图所
log,>13 xx
示，年薪在 50,60 的毕业生人数比年薪在 10,20 的毕业生人数多 22 人．
确的是 ) )
A．当 k >0时，有 2 个零点 B．当 k<0时，至少有 2 个零点
C．当 时，有 1 个零点 D．当 时，可能有 4 个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2 1xy 0+
13．若变量 xy, 满足约束条件 xy +2 4 0 ，则 xy 的最大值是 ．
y +20
14．在平面直角坐标系中，已知点 ABEF(1,22,4,)、 () 、 是直线 yx=+3上的两个动点，且
10 20 30 40 50 60 70 80 毕业生年薪情况（单位：万元）
EF = 32，则 A E B F 的最小值为 ． （第 20 题图）
S7 13 S15 （1）求直方图中 x，y 的值；
15．设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 = ，则 = ．
S6 11 S11 （2）用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少
16．若 ab, 是两个夹角为120 的单位向量，则向量 53ab 在向量 ab+ 方向上的投影向量
77% 的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办
为 ．
学高校毕业生平均年薪最高为多少；
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取 4 人，其中年薪高于 50 万的人数为
3
17．（10 分）在锐角 ABC 中，角 A,, B C 所对的边分别为 abc,,，已知 tan 2C = ．
4 ，求 的分布列及数学期望 E ( ) ．
（ ）求 ； 2xaxa2 +
1 c o sC 21．（12 分）已知函数 fx( ) = ，其中 aR ．
ex
（2）若 c = 4 ，求 ABC 面积的最大值．
（1）当 a =1时，求曲线 yfx= ( ) 在(0,0f ( )) 处的切线方程；
18．（12 分）设数列an满足： aaan11==+2,244nn+ ．
（2）求证： fx( ) 的极大值恒为正数．
（1）求数列 的通项公式； 2
x 2
22．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 Ey:1+=的左、右焦点分别为 FF12、 ，点 A
（ ）求数列 n 的前 项和 ．
2 na+ 3 n n Sn 4
22 在椭圆 E 上且在第一象限内， AFAF12 ，点 A 关于 y 轴的对称点为点 B．
19．（12 分）已知过点(1,0) 的动直线l 与圆C1 : x+ y 4 x = 0 相交于不同的两点 AB, ．
（1）求 A 点坐标；
（1）求圆 C1 的圆心坐标；
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程． （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与直线 y = 3 相交于点 Q，求OP OQ 的最大值；
20．（12 分）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问 （3）设点 M 在椭圆 E 上，记 OAB 与 MAB 的面积分别为 SS12, ，若 SS12= 2 ，求点 M 的坐
标．
卷统计了其薪资情况，共有 200 名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元）， 以
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