数学试题
考生注意：
本试题卷共 4 页，19 题．全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟．
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、班级、考场等．考生要认
真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用 0.5mm 黑色签字笔将答案
写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
11 2
1．已知集合 A= x , B = x x 3 x 4 0，则 AB= （ ）
x 12
A．xx34 B．x1 x 1或 3 x 4
C．xx41 D．
38
2． AC6+= 10 （ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
5i
3．若复数 z = ，则 i2z =z （ ）
3 4i
29
A． 3 B．2 C． D． 5
5
1
4．已知 cos +=，则sin + sin 2 = （ ）
66 36
10 4 2 6
A． B． C． D．
9 9 3 5
5．一个圆台的上、下底面的半径分别为 1 和 4，体积为 28 ，则它的表面积为（ ）
29 3
A． 41 B． 42 C． D． 18+ 7 3
3 ( )
6．在 ABC 中，D 是边 BC 上一点，且 BD= 2, DC E 是 AC 的中点，记 AC== m, AD n ，则 BE =（ ）
5 7 7 5
A． nm 3 B． nm 3 C． mn 3 D． mn 3
3 2 2 2
7．已知函数 f( x), g( x) 的定义域均为 R,fx( 2+ 1) 是奇函数，且 f( x) + g(3 x) = 4, y = g( x) 的图象关
于 x = 1 对称， f (42) = ，则 fg(22) +=( 24) （ ）
A．4 B．8 C． 4 D． 6
．将数列 与 n 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 （ ）
8 31n 2 an a20 =
A． 237 B． 238 C． 239 D． 240
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．已知函数 f( x) =+ Asin ( x ) 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． fx( ) 的图象关于 ,0 中心对称
12
7
B． fx( ) 在区间 3, 上单调递增
2
13 17
C． fx( ) 在0,a 上有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 ,
12 12
D．将 g( x) = 2cos3 x 的图象向右平移 个单位长度，可以得到函数 fx( ) 的图象
4
10．点 P 在抛物线 yx2 = 4 上， F 为其焦点，Q 是圆C: ( x 3)22 + y = 1上一点， M (3,2) ，则下列说法正
确的是（ ）
A． PQ 的最小值为 22
B．PFM 周长的最小值为 4+ 2 2
C．当 FMQ 最大时，直线 MQ 的方程为 xy+ 50 =
D．过 P 作圆C 的切线，切点分别为 AB, ，则当四边形 PACB 的面积最小时， P 的横坐标是 1
11．如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD A1 B 1 C 1 D 1 中，EF, 分别是棱 A1 B 1, DD 1 的中点，G 为底面 ABCD 上
的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 G 为 AD 的中点时， EF CG
B．若 G 在线段 BD 上运动，三棱锥 A GEF 的体积为定值
C．存在点 G ，使得平面 EFG 截正方体所得的截面面积为12 3
236
D．当 G 为 AD 的中点时，三棱锥 A EFG 的外接球表面积为
1 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．曲线 y=( x2 x)ex 在 (1,0) 处的切线方程为_______．
xy22 3
13．点 FF, 分别为双曲线C: = 1( a 0, b 0) 的左、右焦点，过 F 作斜率为 的直线与双曲线
12 ab22 2 3
C 的左、右两支分别交于 AB, 两点，若F1 AB 为以 AB 为底的等腰三角形，则C 的离心率为_______．
14．如图，某城市有一条公路从正西方向 AO 通过路口O 后转向西北方向OB ，围绕道路OA, OB 打造了一个
半径为 2km 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道 MN ，则 MN 的最小值为_______ km ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（ 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD, AB CD , BAD = 45 , PA = CD = 4, AB = 2 AD = 2 ．
（）求证： BD 平面 PAD ；
（）求平面 PBC 与平面 ABCD 的夹角的余弦值．
16．（ 15 分）
n( n+1)( 4 n 1)
已知数列a 满足， a+2 a + + na = ．
n 12 n 6
（）求数列an 的通项公式；
a a a
（）若对任意 nmN*, 12 + + + n ，求 m 的最小整数值．
312 3 3n
17．（ 15 分）
已知函数 f( x) = ax2 ln x x ．
（）讨论 fx( ) 的单调性；
（）若不等式 fx( ) 0 恒成立，求 a 的取值范围；
（）当 a = 0 时，试判断函数 F( x) =2sin x f( x) 2 x 的零点个数，并给出证明．
18．（ 17 分）
xy22 3 3
已知椭圆 的右焦点为 是 上的点，直线 的斜率为 ．
C:22+ = 1( a b 0) FT, 1, C TF
ab 2 4
（）求 C 的方程；
（）过点 F 作两条相互垂直的直线分别交C 于 MN, 两点和 PQ, 两点，MN, PQ 的中点分别记为 AB, ，且
TH AB, H 为垂足．试判断是否存在点 K ，使得 KH 为定值？若存在，请求出点 K 的坐标；若不存在，请
说明理由．
19．（ 17 分）
“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳
环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，
1 2
其中，甲每天选择“共享单车”的概率为 ，乙每天选择“共享单车”的概率为 ，丙在每月第一天选择“共
2 3
3 1
享单车”的概率为 ，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为 ，
4 4
1
若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为 ，如此往复．
3
（）若 3 月 1 日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
（）记甲、乙、丙三人中 3 月 1 日选择“共享单车”出行的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望；
（）求丙在 3 月份第 nn( =1,2, ,31) 天选择“共享单车”的概率 Pn ，并帮丙确定在 3 月份中选择“共享
单车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
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数学答案详解
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C C A B D D C AD BD ACD
1．B 【命题意图】本题考查分式不等式的解法、一元二次不等式、集合的交集运算，考查运算求解能力，落
实数学运算核心素养．
【解题思路】由题意得，集合 A= x x 13或 x ， B= x 14 x ，则
A B= x 1 x 1或 3 x 4，故选 B．
2．C 【命题意图】本题考查排列数和组合数的计算，考查运算求解能力，落实数学运算核心素养．
10 9
【解题思路】 A3+ C 8 = A 3 + C 2 = 6 5 4 + = 165 ，故选 C．
6 10 6 10 21
3．C 【命题意图】本题将查复数的运算、共轭复数、复数的模，考查运算求解能力，落实数学运算核心素养．
5i5i( 3+ 4i) 4 3 43
【 解 题 思 路 】 复 数 z = = = + i ，则 z = i ，所以
34i( 34i34i )( + ) 55 55
4 3 8 6 2 2 29
izz 2 = i + + i = 1 + i ，所以 iz 2z = 1 + i = ，故选 C．
5 5 5 5 5 55
4．A 【命题意图】本题考查诱导公式、二倍角公式，考查运算求解能力，落实数学运算核心素养．
1
【解题思路】令 +=t ，则 =tt ,cos = ，所以 sin + sin 2 = sin t + +
6 66 3 6 3 6
2 1 1 10
sin 2t= cos t cos2 t = cos t + 1 2cos t =+= 1 ，故选 A．
3 6 6 18 9
5．B 【命题意图】本题考查圆台的表面积、体积，考查空间想象能力、运算求解能力，落实直观想象、数学
运算核心素养．
1
【解题思路】设圆台的高为 h ，则 h(122+ 4 + 1 4) = 28 ，解得 h = 4 ，所以圆台的母 线 长 为
3
(4 1)22 + 4 = 5 ，则圆台的表面积为(122+ 4 + 1 5 + 4 5) = 42 ，故选 B．
6．D 【命题意图】本题考查平面向量的线性运算，考查应用意识，落实数学运算核心素养．
1
【解题思路】 BE= AE AB = AC () AC + CB =
2
1 1 5 5
AC 3 CD = AC 3 AD AC = AC 3 AD = m 3 n ，故选 D．
2 2( ) 2 2
7．D 【命题意图】本题考查抽象函数的性质，考查推理论证能力，落实逻辑推理核心素养．
【解题思路】因为 y= g( x) 的图象关于 x = 1 对称，所以 g(31 x) = g( x ) ．因为 f( x) + g(34 x) =
，所以 f(4 x) + g( 3 ( 4 x)) = 4 ，即 f(4 x) + g( x 1) = 4 ，-得， f( x) = f(4 x) ，所
以 y= f( x) 的 图 像 关 于 x = 2 对 称 ． 令 h( x) =+ f(21 x ) ，则 hx( ) 是 奇 函 数 ， 所 以
xx
h + h = f( x +1) + f( x + 1) = 0 ，即 f( x+11) = f( x + ) ，所以 fx( ) 的图象关于点 (1,0) 中
22
心对称，所以 f(42 x) = f( x ) ，所以 f( x) = f( x 24) = f( x ) ，所以 fx( ) 是以 4 为周期的周期
函数．因为 f( x) + g( x 14) = ，所以 g( x) = 41 f( x + ) ．因为 fx( ) 是以 4 为周期的周期函数，所以
gx( ) 也是以4为周期的周期函数，取 x = 0 ，ff(11) = ( ) ，所以 f (10) = ．因为 f (42) = ，所以 f (02) = ，
所以 f(2) = f( 0) = 2, f( 3) = f ( 1) = 0 ．取 x = 3 ，所以 fg(3) +( 0) = 4 ，所以 g (04) = ，所以
f(22) + g( 24) = f( 2) + g ( 0) = 2 4 = 6 ，故选 D．
8．C 【命题意图】本题考查数列的综合，考查化归与转化的思想，落实数学运算核心素养．
m
Ci 3 m i (+ 1) i 1
21(31)1m+ m + m 3(1)1k + m +
【解题思路】令 3t = 1 2m ，得 tk= = =i=0 =, N* ，当
3 3 3 3
21n 2 20 1 39
m 是正奇数，即 mn=21时， t 是正整数，符合题意，所以 an = 2 ，所以 a20 ==22，故选 C．
9．AD 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，落实造辑推理、数学运算核心素
养．
3 2 5
【解题思路】不妨设 A 0, 0 ，则 A =2, = + = ，解得 = 3．又 f = 2 ，所以
4 12 12 2 12
3 + = +2,kk Z ，解得= + 2k ，k Z ，取符合条件的 的一个值，不妨令 = ，
12 2 4 4
则 f( x) =2sin 3 x ．对于 A 选项，因为 f =2sin 3 = 0 ．所以 fx( ) 的图像关于
4 12 12 4
,0 中 心 对 称 ，故 A 选项正 确 ； 对于 B 选 项，令 +2k 3 x + 2 k , k Z ，解得
12 2 4 2
22kk
xk +, Z ，所以 f( x) =2sin 3 x 的 単 调 递 增 区 间 为
3 12 4 3 4
22kk 13 43
,, +k Z ，取 k = 5 ，得 fx( ) 的 一 个 单 调 递 增 区 间 为 , ．因为
3 12 4 3 4 12
13 7 43 7
3 ，所以 fx( ) 在 3, 上不具有单调性，故 B 选项错误；对于 C 选项，因为 xa0, ，
4 2 12 2
13 17
所以 33xa ，所以 3 3a 4 ，解得 a ，故 C 选项错误；对于 D 选项，
444 4 12 12
将 g( x) = 2cos3 x 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到
4
3
g x= 2cos3 x = 2cos 3 x = 2cos = 3 x 2sin 3 x = f( x) 的图象，故
4 4 4 2 4 4
D 选项正确，故选 AD．
10．BD 【命题意图】本题将查抛物线与圆的综合应用，考查运算求解能力、化归与转化的思想，落实逻辑
推理、数学运算核心素养．
22
2 22
y 22yy
【解题思路】对于 A 选项，设 Py, ，则 PQ PC 1,| PC | = 3 + y = 1 + 8 8 ，
4 44
当且仅当 y 2 = 4 时取等号，此时 P (1, 2) ，所以 PC 22，所以 PQ PC 1 2 2 1，故 A 选项错
误 ；对 于 B 选项，抛物线的准线方程为 x =1 ， 如图 1 ，过 P 作 准 线的垂 线， 垂足 记为 H ，则
PM+ PF = PM + PH ，当且仅当 MPH,, 三点共线时， PM+ PF 取 得 最 小 值 ， 即
PM+ PH MH =3 + 1 = 4 ，此时 P (1,2) ，又 MF =(3 1)22 + (2 0) = 2 2 ，所以PFM 周长的
最小值为 4+ 2 2 ，故 B 选项正确；对于 C 选项，如图 2，当 MQ 与圆 C 相切时，且FMQ = FMC + CMQ
时， FMQ 取最大．连接 MC, CQ ，由于 MC CF, CQ MQ , MC = 2 = 2 CQ ，所以 =CMQ 30 ，
可得直线 MQ 的斜率为 3 ，所以直线 MQ 的方程为 yx= 3( 3) + 2 ，即 3xy+ 3 3 2 = 0 ，故 C
1
选项错误；对于 D 选项，如图 3，连接 PC ， S=2 S = 2 PA 1 = PA = | PC |2 1 ，由
四边形PACB PAC 2
A 选项知，|PC |2 8 ，且当 P (1, 2) 时，|PC |2 = 8 ，此时四边形 PACB 的面积最小， P 的横坐标是 1，所
以 D 选项正确，故选 BD．
11．ACD 【命题意图】本题考查正方体的结构特征、线线垂直的判定、三棱锥的体积、截面面积、几何体外
接球的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力、化归与转化的思想，落实直观想象、数学运算核心素养．
【解题思路】对于 A 选项，以 B 为坐标原点，建立如图 1 所示的空间直角坐标系，则 EF(2,0,4) ,( 4,4,2) ，
CG(0,4,0) ,( 4,2,0) ，所以 EF=(2,4, 2) , CG =( 4, 2,0) ．因为 EF CG =2 4 + 4 ( 2) + 0 = 0 ，所以
EF CG ，故 A 选 项 正 确 ； 对 于 B 选 项 ， 当 点 G 与点 B 重 合 时 ， 如 图 2 所 示 ，
1 1 32
VV= = 444 = ；当点 G 与点 D 垂合时，如图 3 所示，
A GEF F AGE 3 2 3
1 1 8
VV= = 422 = ，所以三棱锥 A GEF 的体积不是定值，故 B 选项错误；对于 C 选
A GEF E AGF 3 2 3
项，当 G 为 BC 中点时，平面 EFG 截正方体所得的截面为正六边形 EKFHGJ ，如图 4 所示，其中 HJK,,
3
为相应边的中点，则正六边形 EKFHGJ 的边长为 22，所以该截面的面积为 6 (2 2)2 = 12 3 ，故
4
存在点 G ，符合题意，故 C 选项正确；对于 D 选项，当 G 为 AD 的中点时，如图 5 所示，易知 EA1 平面
2 2 2
A11 F+ AG FG
A1 FG ．因为 A11 F= AG =2 5, FG = 2 2 ，所以由余弦定理的推论得cosFAG1 = =
2AFAG11
20+ 20 8 4 3 FG 2 2 10 2
= ，所以sin=FAG ．设 A FG 的外接圆半径为 r ，则 2r = = = ，
1 1 3
2 2 5 2 5 5 5 sinFAG1 3
5
52 AE 2 50 59
所以 ．设三棱锥 的外接球半径为 ，则 221 ，所以三棱锥
r = A1 EFG R Rr= + = +1 =
3 2 9 9
236
A EFG 的外接球的表面积为 4 R2 = ，故 D 选项正确，故选 ACD．
1 9
12． yx=e1( ) 【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，落实数学运算核心素养．
【解题思路】由题可得 2 x ，当 时， ，所以所求切线方程为 ．
y =( x + x 1e) x = 1 yx = e yx=e1( )
13． 2 【命题意图】本题考査双曲线的定义与几何性质，考查运算求解能力，落实数学运算核心素养．
【解题思路】由题可得 FAFB11= ，如图，取 AB 的中点 M ，连接 FM1 ，则 F1 M AB ．设 F11 A== F B t ，
则 F22 B= t 2 a , F A = t + 2 a ，所以 AB=( t +2 a) ( t 2 a) = 4 a ，所以 MB= 2 a ．因为直线 AB 的斜率
3
为 ，所以 =MF F ．又 F F= 2 c ，所以 MF==3, c MF c ，则 F B= MF MB =32 c a ，
3 21 6 12 2122
222 2 2 2
所以 F12 B=23 a + F B = c ．在 RtF1 BM 中， MF11+=|| MB F B ，即 c+=(2 a ) ( 3 c ) ，解得
c
= 2 ，即双曲线C 的离心率 e = 2 ．
a
14．4 2+ 4 【命题意图】本题考查解三角形的实际应用，考查运算求解能力，落实数学运算、逻辑推理核
心素养．
【解题思路】如图，设切点为 P ，连接OP ．由题意得 =MON 135 ，设 OM== akm, ON b km ，在 OMN
中， MN2= a 2 + b 2 2 ab cos135 = a 2 + b 2 + 2 ab ( 2 + 2 ) ab ，当且仅当 ab= 时取等号．由题可得
2
11 2 2
，解得 ，所以 2 ，所以
SNOM = absin135 = 2 MN MN= ab MN= ab (22 + ) ab
22 4 4
MN +4 2 4 ，所以 MN 的最小值为 (4 2+ 4) km ．
【一题多解】由题意得 MON =135 ，设OM= a ， ON= b ，在OMN 中，
MN2= a 2 + b 2 2 ab cos135 = a 2 + b 2 + 2 ab ( 2 + 2 ) ab ，当且仅当 ab= 时取等号．设 =OMN ，
22 4
则 ONM =45 ，所以 ab==, ，故 ab ==
sin sin( 45 ) sin sin( 45 )