成都石室中学2023-2024年度下期高 2024届二诊模拟考试
数学试题（理）（A卷）
（总分：150 分，时间：120分钟 ）
第卷（共 60分）
一、选择题（本题共 12 道小题，每小题5 分，共 60分）
1
1.已知复数 z （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部是
1 i
1 1 1 1
A. B. i C. D. i
2 2 2 2
1
2.若集合 A 1,2, B y | y x 2 ，则 a A是 a B 的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.如图是根据某校高三8 位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右
分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则
下列结论正确的是 11 8 7 7
A.这8 位同学数学月考成绩的极差是 14 12 5 1 3
B.这8 位同学数学月考成绩的中位数是 122 13 1 2
C.这8 位同学数学月考成绩的众数是 118
D.这8 位同学数学月考成绩的平均数是 124
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩
形组成，则这个几何体的体积是
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 3 3 2
5.已知数列{}an 为等差数列，且 a2 a 3 a 6 a 9 a 10 10 ，则 a4 a 8 的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
1 1
6.若 a,b 是正实数，且 1 ，则 a b 的最小值为
3a b 2a 4b
4 2
A． B． C．1 D． 2
5 3
7.当 0 x 时，关于 x 的不等式 (2asin x cos2x 3)(sin x x) 0 有解，则 a 的最小值是
2
A． 2 B． 3 C． 4 D． 4 2
8.在 2023 年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到 A, B,C 三个场馆
执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到 A 场馆，则不同分配方案的种数是
A．48 B．36 C．24 D．12
1
9. 已知抛物线 y 2 4x ，弦 AB 过其焦点，分别过弦的端点 A, B 的两条切线交于点 C ，点 C 到直线 AB 距
离的最小值是
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
10.如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 A1B1 的中点， F 为四边形 DCC1D1 对角线的交点，下列说
法：
EF //平面 BCC1B1 ；
若 EF //平面 ADD1A1 ，则 BC // AD ；
若四边形 ABCD 矩形，且 EF D1C1 ，则四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为直
四棱柱.
其中正确说法的个数是
A. 0 B.1 C.2 D.3
1 1
11.已知函数 f( x ) 2x 2 x cos x x2 ，若 a f ( 2) , b f (e e ) , c f ( ) ，则
A. c b a B. a c b C. c a b D. b c a
x2 y 2
12.若双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过右焦点 F2 的直线l与双曲线 C 交于
a2 b2
b 0
A, B 两点，已知 l 的斜率为 k ， k , ，且 AF2 2 F2 B ， F1AB 60 ，则直线 AB 的斜率是
a
3
A. 2 3 B. 3 C. D. 2
3
第卷（共 90分）
二、填空题（本题共4 道小题，每小题5 分，共 20分）
13.已知向量 a (1,2) ， b (2, x) ，若 a b ，则实数 x .
y 0
14.已知实数 x, y 满足约束条件 4x 3 y 4 ，则 z 3x 2y 的最大值是 .
x y 0
n
1
15.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn x 27 ，则 a1a2 an 取最大值时， n 的值
3
为 ．
x2 1
16.若 x 1，恒有 ln e x x2 mx 1，则 m 的取值范围是 .
e x mx
2
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 12 分）
为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱， A 箱内有1 个红球、1 个黑球、8 个白球， B 箱
内有4 个红球、4 个黑球、2 个白球，每次摸奖后放回．消费额满 300 元有一次 A 箱内摸奖机会，消费额
满 600 元有一次 B 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1 个球，中奖规则如下：红球奖 50 元代金券、
黑球奖 30 元代金券、白球奖 10 元代金券．
（）某三位顾客各有一次 B 箱内摸奖机会，求中奖 10 元代金券人数 的分布列；
（）某顾客消费额为 600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？
18. （本小题满分 12 分）
sinx m ,
已知 ()m R ，设 f (x) l .
cosx 3l 3 m
（）求函数 f (x) 的对称中心；
2 3 3
（）若 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ， f (A) ，且 ABC 外接圆的半径为 ， D
3 3
是 BC 边的中点，求线段 AD 长度的最大值.
19. （本小题满分 12 分）
如图，棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E 是棱 CC1 上靠近 C1 的三等分点.
（）求证： A1C 与平面 BDE 不垂直；
（）在线段 BE 上是否存在一点 F 使得平面 B1D1F 平面 BDE ？若存在，请
BF
计算 的值；若不存在，请说明理由.
BE
3
20. （本小题满分 12 分）
x2 y 2
已知点 F 是椭圆 E : 1(a b 0) 的右焦点，过原点的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, ABF 面积的最
a2 b2
大值为 3 ， OF 1.
（）求椭圆 E 的标准方程；
（）已知过点 P(4, y0 ) 的直线 l 与椭圆E 交于 M , N 两点，是否存在定点 P ，使得直线 FM , FN 的斜率
之和为定值？若存在，求出定点 P 的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x2 ax , x 0.
（）是否存在实数 a 使得 f( x ) 0 在区间[a,2a 1] 上恒成立，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，
请说明理由；
（）求函数 h(x) f (x) a2 ln x 在区间 (1, ea ) 上的零点个数( e 为自然对数的底数).
选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. （本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线l 过定点 1,0 ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 4cos ，直线l 与曲线 C 相交于不同的两点 AB, .
（）若 ，求线段 AB 中点 M 的直角坐标；
3
（）若 P(1,0) ，求 PA PB 的最小值.
[选修 4-5：不等式选讲]（10分）
23. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) x 1 .
（）求不等式 f (x) f (2x 1) x 7 的解集；
4
1 1 1
（）若对于正实数 a ， b ， c ，满足 1,证明: f (x a) f (x b c) 9 .
a b c
5
成都石室中学 2024-2025 年度下期高 2024 届二诊模拟考试
数学试题（理）（A 卷）参考答案
一、选择题：
1
1.已知复数 z （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部是
1 i
1 1 1 1
A. B. i C. D. i
2 2 2 2
1 1 i 1
1.A z ,所以 z 的虚部是 .
1 i 2 2
1
2.若集合 A 1,2, B y | y x 2 ，则 a A是 a B 的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.A B 0,，则A是B 的真子集，则 a A是 a B 的充分不必要条件.
3.如图是根据某校高三8 位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右
分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则
下列结论正确的是 11 8 7 7
A.这8 位同学数学月考成绩的极差是 14 12 5 1 3
B.这8 位同学数学月考成绩的中位数是 122 13 1 2
C.这8 位同学数学月考成绩的众数是 118
D.这8 位同学数学月考成绩的平均数是 124
3.B 对于选项A,极差是 132 117 15 ，故A 错误;
121123
对于选项B，中位数是 122 ，故B 正确;
2
对于选项C，众数是 117，故C 错误;
对于选项D，平均数是 123 ，故D 错误，故选B.
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半
圆和矩形组成，则这个几何体的体积是
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 3 3 2
4.A 还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，故这个几
4 3 3
何体的体积V 12 1 1 3 .
3 8 2
5.已知数列{}an 为等差数列，且 a2 a 3 a 6 a 9 a 10 10 ，则 a4 a 8 的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
1
5.B 因为 a2 a3 a6 a9 a10 10 ，由等差数列的性质，得 5a6 10 ， a6 2 ，所以 a4 a8 4 .
1 1
6.若 a,b 是正实数，且 1 ，则 a b 的最小值为
3a b 2a 4b
4 2
A． B． C．1 D． 2
5 3
1 1 1 1
6.A 因为 a b 3a b 2a 4b1 3a b 2a 4b
5 5 3a b 2a 4b
1 2a 4b 3a b 4 3 1 4
2 ，当且仅当 a ,b 时取等号，所以 a b 的最小值为 .
5 3a b 2a 4b 5 5 5 5
7.当 0 x 时，关于 x 的不等式 (2asin x cos2x 3)(sin x x) 0 有解，则 a 的最小值是
2
A． 2 B． 3 C． 4 D． 4 2
7.A 当 0 x 时， sin x x ，所以 2asin x cos2x 3 0 在 0 x 上有解，
2 2
1 1
所以 2asin x 3 cos2x 2 2sin 2 x ，所以 a sin x .由 sin x 2 ，当且仅当 x 时取
sin x min sin x 2
等号，所以 a 的最小值是 2.
8.在 2023 年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到 A, B,C 三个场馆
执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到 A 场馆，则不同分配方案的种数是
A．48 B．36 C．24 D．12
1 2 2
8. C 分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有 C2C3 A2 12 种；第二种情况，甲和另
1 1 2
一个人一起执勤一个场馆，共有 C3C2 A2 12 种，则共有 24种.
9. 已知抛物线 y 2 4x ，弦 AB 过其焦点，分别过弦的端点 A, B 的两条切线交于点 C ，点 C 到直线 AB 距
离的最小值是
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
2
9.D 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，设过 A 处的直线是 y y1 kx x1 ，联立 y y1 kx x1 ， y 4x 得
2
4 4 16 16 4 2
2 ， ，即 2 ，则在 处的切线方程为
y y y1 4x1 0 0 2 y1 4y1 0, 2y1 0,k A
k k k k k y1
y1 y 2x1 2x ，同理， B 处的切线方程为 y2 y 2x2 2x ，设交点 C 的坐标为 (x0 , y0 ) ，点 C(x0 , y0 ) 在两
条切线上，所以 y1 y0 2x1 2x0 ， y2 y0 2x2 2x0 ，则直线 AB 的方程是 yy0 2x 2x0 .又 AB 过其焦点
2
(1,0) ，易知交点 C 的轨迹是 x 1，所以C (1, y0 ) ， AB ： yy0 2x 2 ，所以交点 C 到直线 AB 的距
| 2 y2 2 |
离是 d 0 4 y2 ，所以当 y 0 时d 的最小值为 2.
2 0 0
4 y0
10.如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 A1B1 的中点， F 为四边形 DCC1D1 对角线的交点，下列说
法：
EF //平面 BCC1B1 ；
若 EF //平面 ADD1A1 ，则 BC // AD ；
若四边形 ABCD 矩形，且 EF D1C1 ，则四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为直
四棱柱.
其中正确说法的个数是
A. 0 B.1 C.2 D.3
10.C 对于，若 EF //平面 BCC1B1 ，过 F 作 CC1 的平行线交 C1D1 于其中点 H ，为连接 EH ，由于 FH //
平面 BCC1B1 ，且 EF //平面 BCC1B1 ，所以平面 EFH //平面 BCC1B1 ，所以 EH //平面 BCC1B1 ，所以
EH // C1B1 .当 A1D1 与 C1B1 不平行时， EH // C1B1 不成立.是假命题.
对于，同， EH // C1B1 ，则 BC // AD .是真命题.
对于，四边形 ABCD 矩形，所以 AD / /BC .又 DD1 / /CC1 ，所以平面 AA1D1D //平面 BCC1B1 ，所以四
棱柱 ABCD A1B1C1D1 可看作 AA1D1D 为上底面， BCC1B1 为下底面的四棱柱，过 F 作 CC1 的平行线交
C1D1 于点 H ，则 H 为 C1D1 的中点，连接 EH ，由条件有 EH D1C1 ，又 EF D1C1 ，则 D1C1 平面
EFH ，则 FH D1C1 ， FH // DD1 ，所以 D1D D1C1 ，又 D1A1 D1C1 ，所以 D1C1 平面 ADD1 A 1 ，则
四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为直四棱柱.是真命题.
1 1
11.已知函数 f( x ) 2x 2 x cos x x2 ，若 a f ( 2) , b f (e e ) , c f ( ) ，则
A. c b a B. a c b C. c a b D. b c a
11.B f( x ) 2x 2 x cos x x2 是偶函数， f() x (2x 2 x )ln2 (2 x sin) x >0 ，则 f (x) 在
ln x 1 ln x
0, 上是增函数.构造函数 g(x) ，则 g'() x ，令 g'( x )>0 ，得 0x e ，令 g'( x ) 0 ，得
x x2
ln 2 ln 4
x >e ，所以 g(x) 在区间 0,e上单调递增，在区间 e, 上单调递减.又 ，所以 g(4) g ( ) g (e) ，
2 4
3
ln 2 ln 4 ln ln e 1 1 1 1 1 1
所以 ，所以 22 ee ，所以 f(2) f ( ) f (e)e f (e) e ，所以 a c b .
2 4 e
x2 y 2
12.若双曲线 C : 1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过右焦点 F2 的直线l与双曲线 C 交于
a2 b2
b 0
A, B 两点，已知 l 的斜率为 k ， k , ，且 AF2 2 F2 B ， F1AB 60 ，则直线 AB 的斜率是
a
3
A. 2 3 B. 3 C. D. 2
3
12.A 设 F2 B x ，则 F2 A 2x ，由双曲线定义，得 F1A 2a 2x, F1B 2a x .
2 2 2 a
在 AF B 中，由余弦定理，得 F B F A AB 2 F A AB cos600 ，解得 x .
1 1 1 1 3
2 2 13
在 AF F 中，由余弦定理，得 4c2 F A F A 2 F A F A cos600 ,解得 e .
1 2 1 2 1 2 3
x2 y 2 2
法一：令 a 3tt >0，则 c 13t,b 2t ， C : 1 ，设 l ： x my 13t0 m ，联立
9t 2 4t 2 3
2 2 2
x y 2 2 2 8 13mt 16t
1， x my 13 t ，得 4m 9y 8 13mty 16t 0 ， y1 y2 , y1 y2 .由
9t 2 4t 2 4m2 9 4m2 9
1
AF2 2 F2 B ，得 y1 2y2 ，则 m ，所以 k AB 2 3 .
2 3
b2 b2
法二：设直线倾斜角 l 为 ，由双曲线第二定义得： AF a ， BF a ，又 AF 2 F B ，
2 1 ecos 2 1 ecos 2 2
2 2 1 b
则 e 1 k AB ，又 k , ，则 k AB 2 3 .
1 2 a
二、填空题：
13.已知向量 a (1,2) ， b (2, x) ，若 a b ，则实数 x .
13.1 因为 a b ，所以1 2 ( 2)x 0 ，解得 x 1.
y 0
14.已知实数 x, y 满足约束条件 4x 3 y 4 ，则 z 3x 2y 的最大值是 .
x y 0
3
14.3 作出 x, y 满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 y x 并平移，当直线过点 A(1,0) 时，
2
zmax 3 1 2 0 3 ，所以 z 3x 2y 的最大值是 3.
4
n
1
15.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn x 27 ，则 a1a2 an 取最大值时， n 的值
3
为 ．
a1 a1 n 1
15.3 等比数列a 的公比为 q ，由等比数列前 n 项和公式 Sn q ，得 x 27,q .又
n 1 q 1 q 3
n1
1 2
a1 18 ，则 an 18 ， a2 6,a3 2,a4 ，所以 a1a2 an 取最大值时， n 的值是 3.
3 3
x2 1
16.若 x 1，恒有 ln e x x2 mx 1，则 m 的取值范围是 .
e x mx
x2 1
16. (,e 2] 由 ln e x x2 mx 1，得 e x mx >0 在 x 1上恒成立，即 m e .
e x mx
2x x 2 2 2 x x
且 ln x 1 ln e mx e mx x 1 ，即 ln x 1 x 1 ln e mx e mx .因为
x 2
x 2 e x 1
在 上是增函数，所以 2 x ，所以 e x 1 令 ，则
y ln x x [1, ) x1 e mx m . f() x
x x
(x 1)( ex x 1)
f '( x ) 0 ，所以 f() x 在[1, ) 上单调递增， f( x ) f (1) e 2 ，所以 m e 2 .
x2 min
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（12 分）
为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱， A 箱内有1 个红球、1 个黑球、8 个白球， B 箱
内有4 个红球、4 个黑球、2 个白球，每次摸奖后放回．消费额满 300 元有一次 A 箱内摸奖机会，消费额
满 600 元有一次 B 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1 个球，中奖规则如下：红球奖 50 元代金券、
黑球奖 30 元代金券、白球奖 10 元代金券．
（）某三位顾客各有一次 B 箱内摸奖机会，求中奖 10 元代金券人数 的分布列；
（）某顾客消费额为 600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？
1
解：（）三位顾客每人一次 B 箱内摸奖中 10 元代金券的概率都为 ，
5
1
中奖 10 元代金券的人数 服从二项分布 B(3, ) ，
5
5