数学
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合 AAB=0,1 ,U = 0,1,2,3，则下列关系一定正确的是（ ）
A．1 B B．0,1 B C．2,3 B D．1,2,3 B
2．已知数列an 是公差为 d 的等差数列，对正整数 m,, n p ，若 m+ n = 2 p ，则 am+ a n = a2 p ，是 a1 = d 的
（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
3
3．已知复数 z 满足 z 3+ 4i = 5（其中 i 为虚数单位），且 z 的虚部为 ，则 z = （ ）
2
1 1 3 1 3 1 3
A． B． + i C． + i D． - i
2 2 2 2 2 2 2
4．如图，高速服务区停车场某片区有 A 至 H 共8 个停车位（每个车位只停一辆车），有2 辆黑色车和2辆白
色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ）
A B C D
E F G H
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 2 10
5．如图，已知二面角 a--l b 的平面角为 60 ，棱 l 上有不同两点 AB, ， AC a ， BD b ， AC^ l ，
BD^ l ．若 AC= AB = BD = 2 ，则过 ABCD,,, 四点的球的表面积为（ ）
7p 28p 28 21p
A． B． C． D． 21p
3 3 27
3p p p p
6．已知a -, - ,5sin 2 a + = tan a + ，则 cosa = （ ）
4 4 2 4
5 5 2 5 2 5
A． - B． C． - D．
5 5 5 5
7．已知 FF1, 2 为椭圆 C1 与双曲线 C2 公共的焦点，且 CC1, 2 在第一象限内的交点为P，若 CC1, 2 的离心率 e1, e 2
1 3
满足 ，则 （ ）
2+ 2 = 4 F1 PF 2 =
e1 e 2
p p p p
A． B． C． D．
6 4 3 2
8．已知定义在 0, + 上的函数 f x ，对任意正数x，y满足 f xy +1 = f x + f y ，且当 x >1时，
f x >1 ，若 fln x< f ax2 ，则实数a 的取值范围是（ ）
1 1 1
． ． ． ．
A 1, + B , + C 2 , + D , +
e e 2e
二、多项选择题（本大题共3 小题，每小题6 分，共计 18 分．在每小题给出的四个选项中，至
少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
r r
9．已知单位向量 a, b 的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
r r r r r r r r r
A． a+ b ^ a - b B． a 在 b 方向上的投影向量为 a b b
r r r r r r r r r r
C．若 a+ b =1 ，则q =60 D．若 a+ b a = a - b a 则 a b
10．已知随机变量 X 服 从 正 态 分 布 N 0,1 ， 定 义 函 数 f x 为 X 取 值 不 小 于 x 的 概 率 ， 即
f x = P X x ，则（ ）
A． f x + f - x = 1 B． f x >f2 x
C． f x 为减函数D． f x 为偶函数
11．已知点 P 在曲线 x2 = 2 y 上运动，过 M 0,3 作以 P 为圆心，1 为半径的圆的两条切线 MA, MB ，则
MA MB
的值可能是（ ）
MP
4 4 5
A． B． C．4 D．5
5 5
三、填空题（本大题共3 小题，每小题5 分，共计 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
n
1
12．已知 1+x 2 x + 展开式中常数项为 280，则 n = ______．
x
3p
13．已知函数 f x =sinw x + j (0< j< p ) 的部分图象如图中实线所示，圆 C 与 f x 图象交于
6
MN, 两点，且 M 在 y 轴上，则圆 C 的半径为______．
a
14．已知 f x =ex - x4 有两个极值点，则实数 a 的取值范围为______．
4
四、解答题（本大题共5 小题，共计 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题 13 分）
2
已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 4Sn= a n + 1 ．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若 b= a a n ，求数列 b 的前 n 项和T ．
n n 2 n n
16．（本小题 15 分）
如图，在三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中， A1 在底面 ABC 上的射影为线段 BC 的中点， M 为线段 BC1 1 的中点，且
AA1 =2 AB = 2 AC = 4, BAC = 90 ．
（1）求三棱锥 M- A1 BC 的体积；
（2）求 MC 与平面 MA1 B 所成角的正弦值．
17．（本小题 15 分）
1
某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为 ，第二
5
4 2
天选择餐厅乙就餐的概率为 ；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为 ，第二天选择餐
5 5
3 1 1
厅甲就餐的概率为 ．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第 n
5 2 2
天选择餐厅甲就餐的概率为 Pn ．
（1）记某班3 位同学第二天选择餐厅甲的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列及期望 EX ；
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调 21 人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出Pn 的通项
公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
18．（本小题 17 分）
x2 y 2 3
已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且 垂直于 轴．
C:2+ 2 = 1( a >b >0) F P 1, C PF x
a b 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 交椭圆 C 于 AB, 两点， ABF,, 三点不共线，且直线 AF 和直线 BF 关于 PF 对称．
（）证明：直线 l 过定点；
（）求ABF 面积的最大值．
19．（本小题 17 分）
已知函数 f x =ex + x2 - x ln x + a - 1 ，其中 a R ， e 为自然对数的底数．
f x
（1）函数 g x = ，求 g x 的最小值j a ；
x
a2 --2 a 1
（2）若 x, x x< x 为函数 f x 的两个零点，证明： x- x< ．
1 2 1 2 2 1 a - 2