赤峰市高三年级 1.30 模拟考试试题
文科数学2024.01
本试卷共 23 小题，共 150 分，共 8 页，考试时间用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并
交回。注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内。
2. 选择题答案必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，
笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸，试卷上
答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1
1. 已知复数 z 满足 z i ， z 为 z 的共轭复数， z z 等于
2
A.2i B. 2i C.1 D. i
2
2. 若全集U R ，集合 A x z x 25, B x x 2 0，则 A (Cu B)
A.2,3,4 B.3,4 C.x 2 x 5 D.x 2 x 5
3. 下列函数中，是偶函数的是
1
A.y sin 2x B.y 2x 1 C.y D.y ln x
x3
1
3
4. 已知实数 a 5 ,b log5 3,c log 1 3，则 a,b,c 这三个数的大小关系是
5
A.c a b
B.b c a
C.c b a
D.a c b
5. 已知直线l : y x b,A O : x2 y2 4 ，则“ b 2 是直线l 与 A O 相交”的
A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件
C .充分而不必要条件 D.即不充分也不必要条件
6. 已知抛物线C : y2 4x 的焦点为 F ，点 A 的坐标是 (4,3），P 为C 上一点，则 PA PF 的
最小值为
A.2 3 B.6 C.4 2 D.5
7. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进
行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇
标高 20 米，攀登者们在 A 处测得，到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 45,75 ，则
A，B 的高度差约为
A.7.32 米 B.7.07 米 C.27.32 米 D.30 米
8. 已知递增的等比数列an的前 n 项和为 S n ，若 a3 12,a2 1是 a1 与 a3 1的等差中项，则
S3
A.21 B.21或57 C.21或 75 D.57
9. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角
形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成，如图是一个用七巧板拼成的正方形，
若向此正方形丢一粒种子，则种子落入黑色部分的概率为
23 5 9 3
A. B. C. D.
32 8 32 8
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，
“三角垛”最上层有1个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有10个球， ，
设从上往下各层的球数构成数列an，则 a19 a20
A.380 B.399 C.400 D.400
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F,G 分别是棱 AD, BC, BB1 的
中点，则异面直线C1E, FG 所成角的余弦值为
2 1 1 2
A。 B. C. D.
6 3 6 3
x2 y2
12.过双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的右顶点 A 作斜率为1的直线 l ，与 C 的两条渐近线分
a2 b2
1
别交于点 P.Q ，若 PA PQ ，则双曲线C 的离心率为
4
2 3 5 6 4 2
A. B. C. D.
3 2 2 3
第卷非选择题（共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 1
13.若 x,y 满足约束条件 x 3y 3 ，则 z 3x y 的最小值为
x y 1
14. 已知单位向量 a、b 满足 a b 1，则 2a b 。
15 .《孙子算经》中提到“物不知数”问题。如：被 3 除余 2 的正整数按照从小到大的顺序
2S 27
排成一列，即 2,5,8,11, ，构成数列a ，记数列a 的前 n 项和为 S ，则 n 的最小
n n n n
值为 。
16.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f '(x) 4 f (x) 0 ，且 f (0）1，则下列说法正确的是
f (x) 是奇函数 x (0,), f (x) 0
1 1
f (1) x 0 时， f (x)
e4 e4x
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 ~ 21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰
市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有 500 名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成
绩 均 在 区 间 50,100内，组委会将初赛成绩分成 5 组 ：
50,60,60,70,70,80,80,90,90,100 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
（1）试估计这 500 名学生初赛成绩的平均数 x 及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值
作为代表）；（中位数精确到 0.01）
（2）组委会在成绩为60,80 的学生中用分层抽样的方法随机抽取5 人，然后再从抽取的5 人
中任选取 2 人进行调查，求选取的 2 人中恰有1人成绩在60,70 内的概率。
频率
组距
0.03
0.02
0.01
O 50 60 70 80 90 100 分数
2c a
18.（12 分）在 cos A ， bcosC 2a ccos B 中任选一个作为已知条件，补充在
2b
下列问题中，并作答。
问题：在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，已知 。
（1）求 B ；
3
（2）若 ABC 的外接圆半径为 2，且 cos AcosC ，求 ABC 的面积。
8
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分。
19（12 分）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， DAB 60 ，
AB 2CD 4 ， M 是线段 AB 的中点。
（1）求证：C1M / /平面A1 ADD1 ；
平面
（2）若CD1 ABCD ，且CD1 2 3 ，求点 B1 与平面C1D1M 的距离
D1
C1
A1 B1
D C
A
M B
ln x a x
20.（12 分）已知函数 f (x) , g(x) (a R)
x x2
求 f (x) 的单调区间及最值
令 h(x) f (x) g(x) ，若 h(x) 在区间 (1,e2 ) 上存在极值点，求实数 a 的取值范围。
x2 y2
21.（12 分）已知椭圆 E : 1a b 0的左、右焦点分别为 F1 1,0、 F2 1,0 ，左、
a2 b2
右顶点分别为 A、B ， P x, y 为椭圆 E 上一点，且 x 12 y2 x 12 y2 4 。
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过 F1 的直线与椭圆 E 交于C、D 两点（其中点C 位于 x 轴上方），记直线 AC、BD 的斜率
1
分别为 k1、k2 ，求 k1 的最小值。
k2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本题满分 10 分）
t 2 1
x
t 2 1
在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 （t 为参数）。
2t
y
t 2 1
（1）写出曲线C 的普通方程；
（2）设 P 为曲线 C 上的一点，将 OP 绕原点 O 顺时针旋转 得到 OQ 。当 P 运动时，设点 Q
4
的轨迹是 E ，求曲线 E 的直角坐标方程。
23.【选修 4-5：不等式选讲】（本题满分 10 分）
已知函数 f x x 2 2x 1 。
（1）求不等式 f x 6 的解集；
（2）已知对任意的 x R ，都有 f x t ，若 a、b、c 均为正实数， a 2b 2c 2t 2 ，在空
间直角坐标系中，点a,b,c 在以点0,1,1 为球心的球上，求该球表面积的最小值。
A.(x , y , z ), B(x , y , z ) 2 2 2
附：空间中 1 1 1 2 2 2 两点间距公式为： AB (x1 x2 ) (y1 y2 ) (z1 z2 )