高三数学
本试卷共6 页，共 150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答
无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.
第一部分（选择题共 40分）
一、选择题共 10 小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
A = -2,0,1,2 B= x1 - x >0
1. 已知集合 ， ，则 ABI = （ ）
A. 2 B. 1,2 C. -2,0 D. {- 2,0,1,2}
2. 在复平面内，若复数 z 对应的点为 -1,1 ，则 -1 - i z = （ ）
A. 2 B. 2i C. -2i D. -2
r r r r
3. 已知向量 a = 2,0 ， b= m,1 ，且 a 与 b 的夹角为 ，则 m 的值为（ ）
3
3 3
A. - B. C. - 3 D. 3
3 3
4
3 2
4. x + 的展开式中的常数项是（ ）
x
A. -32 B. 32 C. -23 D. 23
5. 已知 a ， b 为非零实数，且 a>b ，则下列结论正确的 是（ ）
1 1 b a 1 1
A. a2>b 2 B. >C. >D. >
a b a b ab2 a 2 b
2 2
6. 已知直线 l: y= 2 x + b 与圆 C: x- 1 + y + 2 = 5 相切，则实数 b = （ ）
A. 1或 9 B. -1或 9 C. -1或 -9 D. 1或 -9
7. 已知函数 f() x 满足 f(- x ) - f ( x ) = 0 ，且在[0,+ ) 上单调递减，对于实数 a，b，则“ a2< b 2 ”是
“ f()() a>f b ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和
后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 P （单位：毫米/
-kt
升）与过滤时间 t （单位：小时）之间的函数关系为 P= P0 e ( t 0) ，其中 k 为常数， k >0 ， P0 为原
污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80% ，那么再继续过滤
1
小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据： 1 3 ）（ ）
3 0.585
5
A. 12% B. 10% C. 9% D. 6%
x2 y 2
9. 已知双曲线 C： - =1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为 F ， F ， P 为双曲线 C 左支上一动点， Q
a2 b 2 1 2
为双曲线 C 的渐近线上一动点，且 PQ+ PF2 最小时， PF1 与双曲线 C 的另一条渐近线平行，则双曲线
C 的方程可能是（ ）
y2 x2
A x2 - =1 B. -y2 =1
. 3 3
x2 y 2 x2
C. - =1 D. -y2 =1
2 2 4
22 355
10. 数学家祖冲之曾给出圆周率p 的两个近似值：“约率” 与“密率” .它们可用“调日法”得
7 113
3 4
到：称小于 3.1415926 的近似值为弱率，大于 3.1415927 的近似值为强率.由于 1 1 3+ 4 7 3+ 7 10 为强率，计算得 a = = ，故 a 为强率，与上一次的弱率 3 计算得 a = = ，故 a 为强率， 1 1+ 1 2 1 2 1+ 2 3 2 继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似 25 值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知 a = ，则 m = （ ） m 8 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 2 11. 函数 y=ln(1 - 2 x ) + 的定义域是______. x 12. 记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，已知 a1 = -7 ， S3 = -15 ，则 an = ______. 2 13. 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b- c = acos C ，则 A = ______. V 2 14. 已知平面直角坐标系中，动点 M 到 F(0,- 2) 的距离比 M 到 x 轴的距离大 2，则 M 的轨迹方程是 ______. 15. 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是线段 BC1 上的动点.给出下列结论： AP^ BD1 ； AP // 平面 ACD1 1 ； 直线 AP 与直线 AD1 1 所成角的范围是 , ； 4 3 3 点 P 到平面 ACD1 1 的距离是 a . 3 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，VPAD 为等腰三角形， PD^ AD ， PA = 2 2 ，底面 ABCD 是正方 形， M ， N 分别为棱 PD ， BC 的中点. （1）求证： MN // 平面 PAB ； （2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值. 条件： CD^ PA ； 条件： PB = 2 3 . 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数 f x =2 sin 2 x +j j< 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数图象关 2 8 于原点对称. （1）求j 的值； 1 （2）设 g x = f x -2cos2 x + ，若 g x 在区间 0,m 上有且只有一个零点，求 m 的取值范围. 2 18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其 APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙 3 位该公 司用户 2023 年 12 月 1 日至 7 日获得的 流量（单位：MB）数据，如图所示. （1）从 2023 年 12 月 1 日至 7 日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的 概率； （2）从 2023 年 12 月 1 日至 7 日中任选两天，设 X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数， 求 X 的分布列及数学期望 EX ； 2 2 2 （3）将甲、乙、丙 3 位该公司用户在 2023 年 12 月 1 日至 7 日获得流量的方差分别记为 s1 ， s2 ， s3 ，试 2 2 2 比较 s1 ， s2 ， s3 的大小（只需写出结论）. x2 y 2 19. 设椭圆 C ： + =1(a >b >0) 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，右焦点为 F ，已知 AF1 = 3 ，离心 a2 b 2 1 率为 . 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； y （2）已知点 P 是椭圆 C 上的 一个动点（不与顶点重合），直线 AP2 交 轴于点 Q ，若A1 PQ 的面积是 A2 FP 面积的 4 倍，求直线 AP2 的方程. 1 x 20. 已知函数 f x = + a e . x （1）当 a = 0 时，求曲线 y= f x 在点 1,f 1 处的切线方程； （2）当 a =1时，求函数 f x 的单调递增区间； （3）若函数 f x 在区间 0,1 上只有一个极值点，求 a 的取值范围. a * * n+ m = q q 21. 若无穷数列an 满足： $m N ，对于 n n0 n 0 N ，都有 （其中 为常数），则称 an an 具有性质“ Q m,, n0 q ”. （1）若an 具有性质“ Q(4,2,3) ”，且a3 =1， a5 = 2 ， a6+ a 9 + a 11 = 20 ，求 a2 ； （2）若无穷数列bn 是等差数列，无穷数列cn 是公比为 2 的等比数列， b2= c 3 = 4 ， b1+ c 1 = c 2 ， an = bn + cn ，判断an 是否具有性质“ Q(2,1,3) ”，并说明理由； * （3）设an 既具有性质“ Q i,1, q1 ”，又具有性质“Q j,1, q2 ”，其中i ， j N ， i< j ，求证： j- i a 具有性质“ Q j- i, i + 1, q j ”. n 2 房山区 2023-2024 学年度第一学期期末检测试卷 高三数学 本试卷共6 页，共 150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题共 40分） 一、选择题共 10 小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项. A = -2,0,1,2 B= x1 - x >0 1. 已知集合 ， ，则 ABI = （ ） A. 2 B. 1,2 C. -2,0 D. {- 2,0,1,2} 【答案】C 【解析】 【分析】计算出集合 B 后由交集定义运算可得. 【详解】 B= x1 - x >0 = x x< 1 ，故 AB = -2,0 . 故选：C. 2. 在复平面内，若复数 z 对应的点为 -1,1 ，则 -1 - i z = （ ） A. 2 B. 2i C. -2i D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出复数 z ，再利用复数的乘法可求得 --1 i z 的值. 【详解】在复平面内，若复数 z 对应的点为 -1,1 ，由复数的几何意义可得 z = -1 + i ， 因此， -1 - i z = - 1 - i - 1 + i = 2 . 故选：A. r r r r 3. 已知向量 a = 2,0 ， b= m,1 ，且 a 与 b 的夹角为 ，则 m 的值为（ ） 3 3 3 A. - B. C. - 3 D. 3 3 3 【答案】B 【解析】 r r r r r r r r 【分析】先表示出 a b,, a b ，然后根据 a b = a b cos 求解出 m 的值. 3 r r r r 2 【详解】因为 a b = 2 m ， a=2, b = m + 1 ， r r r r 2 1 所以 a b = a b cos ，所以 2m= 2 m + 1 ， 3 2 3 3 解得 m = 或 m = - （舍去）， 3 3 故选：B. 4 3 2 4. x + 的展开式中的常数项是（ ） x A. -32 B. 32 C. -23 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式展开式通项，令 x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 4 k 2 4-k 2 【详解】 3 的展开式通项为 k3 k k 12- 4 k ， x + Tk +1=C 4 x = C 4 2 x k = 0,1,2,3,4 x x 令12- 4k = 0 ，可得 k = 3， 3 3 因此，展开式中的常数项为T3=C 4 2 = 4 8 = 32 . 故选：B. 5. 已知 a ， b 为非零实数，且 a>b ，则下列结论正确的是（ ） 1 1 b a 1 1 A. a2>b 2 B. >C. >D. > a b a b ab2 a 2 b 【答案】D 【解析】 【分析】对 A、B、C 举反例即可得，对 D 作差计算即可得. 【详解】对 A：若 0 >a >b ，则 a2< b 2 ，故错误； 1 1 对 B：若a>b >0，则< ，故错误； a b a b 对 C：若a>b >0，则 a2>b 2 ， ab >0 ，左右同除 ab ，有 >，故错误； b a 1 1 a- b 1 1 对 D：由 a>b 且 a ， b 为非零实数，则 - = >0 ，即 >，故正确. ab2 a 2 b a 2 b 2 ab2 a 2 b 故选：D. 2 2 6. 已知直线 l: y= 2 x + b 与圆 C: x- 1 + y + 2 = 5 相切，则实数 b = （ ） A. 1或 9 B. -1或 9 C. -1或 -9 D. 1或 -9 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数 b 的值. 【详解】圆 C 的圆心为 C 1,-2 ，半径为 5 ， 2+ 2 + b 因为直线 l: 2 x- y + b = 0 与圆 C 相切，则 = 5 ，即 b +4 = 5 ，解得 b =1或 -9 . 22 + - 12 故选：D. 7. 已知函数 f() x 满足 f(- x ) - f ( x ) = 0 ，且在[0,+ ) 上单调递减，对于实数 a，b，则“ a2< b 2 ”是 “ f()() a>f b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数 f() x 是 R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性 质及单调性判断即得. 【详解】由函数 f() x 满足 f(- x ) - f ( x ) = 0 ，得函数 f() x 是 R 上的偶函数，而 f() x 在[0,+ ) 上单调递 减， 因此 fafb()>() fa (||) >fb (||) |||| abab< 2< 2 ， 所以“ a2< b 2 ”是“ f()() a>f b ”的充要条件. 故选：C 8. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和 后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 P （单位：毫米/ -kt 升）与过滤时间 t （单位：小时）之间的函数关系为 P= P0 e ( t 0) ，其中 k 为常数， k >0 ， P0 为原 污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80% ，那么再继续过滤 1 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据： 1 3 ）（ ） 3 0.585 5 A. 12% B. 10% C. 9% D. 6% 【答案】A 【解析】 1 1 3 【分析】根据题意可得 PPe-9k = ，解得 -3k 1 ，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系 0 0 e = 5 5 式，再将 t =12 代入即可求得答案. 1 1 【详解】因为前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80% ，所以 PPe-9k = ，即 e-9k = , 所以 05 0 5 1 3 -3k 1 ． e = 5 再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为 4 4 3 --12k 3 k 1 1 ． PPPPP0e = 0 e = 0 0.585 0 12% 0 5 5 故选：A. x2 y 2 9. 已知双曲线 C： - =1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为 F ， F ， P 为双曲线 C 左支上一动点， Q a2 b 2 1 2 为双曲线 C 的渐近线上一动点，且 PQ+ PF2 最小时， PF1 与双曲线 C 的另一条渐近线平行，则双曲线 C 的方程可能是（ ） y2 x2 A. x2 - =1 B. -y2 =1 3 3 x2 y 2 x2 C. - =1 D. -y2 =1 2 2 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定 PQ+ PF2 最小时，点 Q 的位置，进而求出 a, b 的关系即得. x2 y 2 【详解】双曲线 C： - =1(a >0, b >0) 的渐近线为 bx ay = 0 ，由对称性不妨令点 P 在第二象限， a2 b 2 由双曲线定义得 PQ+ PF2 =| PQ | + | PF 1 | + 2 a | FQ 1 | + 2 a ，当且仅当 P 为线段 FQ1 与双曲线的交点时 取等号， 因此 PQ+ PF2 的最小值为|FQ1 | 的最小值与 2a 的和，显然当 FQ1 与渐近线 bx+ ay = 0 垂直时， b |FQ | 取得最小值，而 PF 平行于渐近线 bx- ay = 0 ，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即 =1， 1 1 a x2 y 2 则双曲线 - =1 的渐近线方程为 x y = 0 ，显然选项 ABD 不满足，C 满足， a2 b 2 x2 y 2 所以双曲线 C 的方程可能是 - =1. 2 2 故选：C 22 355 10. 数学家祖冲之曾给出圆周率p 的两个近似值：“约率” 与“密率” .它们可用“调日法”得 7 113 3 4 到：称小于 3.1415926 的近似值为弱率，大于 3.1415927 的近似值为强率.由于 1 1 3+ 4 7 3+ 7 10 为强率，计算得 a = = ，故 a 为强率，与上一次的弱率 3 计算得 a = = ，故 a 为强率， 1 1+ 1 2 1 2 1+ 2 3 2 继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似 25 值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知 a = ，则 m = （ ） m 8 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意不断计算即可解出． 3 10 3+ 10 13 【详解】因为 a 为强率，由<< 可得， a = = >3.14159 27 ，即 a 为强率； 2 1 3 3 1+ 3 4 3 3 13 3+ 13 16 由<< 可得， a = = >3.14159 27 ，即 a 为强率； 1 4 4 1+ 4 5 4 3 16 3+ 16 19 由<< 可得， a = = >3.14159 27 ，即 a 为强率； 1 5 5 1+ 5 6 5 3 19 3+ 19 22 由<< 可得， a = = >3.14159 27 ，即 a 为 强率； 1 6 6 1+ 6 7 6 3 22 3+ 22 25 由<< 可得， a = = =3.125< 3.1 415926 ，即 a 为弱率，所以 m = 7 ， 1 7 7 1+ 7 8 7 故选：B. 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.