数学
本试题卷共4 页，共 22题.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形
码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（ ）
A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形
C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是锐角三角形
2.若复数 z 满足 z i+ 1 = 1 ，则 z z = （ ）
1 1
A. i B. -i C. D. -
2 2
3.已知正数 a ， b 满足 a+2 b =1 ，则（ ）
1 1 1 1
A. ab B. ab >C. 0< ab D. 0 8 8 8 8 x,0 x 1 5 4.已知 f x = ，则 f = （ ） 2f x- 1 , x >1, 4 5 3 A.2 B. C. D.1 2 2 5.已知集合 A= y y =ln x , x B ，若 AU B= 0, e ，则集合 B 可以为（ ） A. 0,e B. 0,1 C. 1,e D.1,e 6.为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为 x y = ， 0 p tan x 2 A. y 有最大值B. y 有最小值 C. y 随 x 的增大而增大D. y 随 x 的增大而减小 3p 7.已知函数 f x =sin x +j ， 0 4 的取值范围是（ ） p p p p3 p p3 p A. 0, B. , C. , D. , 2 8 2 2 4 8 4 8..已知 O 是坐标原点，过抛物线 C: y2 = 4 x 上异于 O 的点 M a, b 作抛物线的切线 l 交 x 轴于点 N b,0 ， 则OMN 的外接圆方程为（ ） 2 2 2 2 A. x+2 + y + 6 = 40 B. x+2 + y - 6 = 40 2 2 2 2 C. x+2 + y + 6 = 20 D. x+2 + y - 6 = 20 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分. 9.对于随机变量 X ，下列说法正确的有（ ） A.若 EX =1，则 EX2- 1 = 1 B.若 DX =1，则 DX2- 1 = 4 C.若 XN: 2,4 ，则 EX = 4 D.若 XB: 10,0.5 ，则 EX = 5 10.已知不重合的直线 m ， n ， l 和平面a ， b ，则（ ） A.若 m l ， n l ，则 m n B.若 m^ l ， n^ l ，则 m^ n C.若 m a ， n a ， mb ， nb ，则a b D.若 m ^ a ， m b ，则a^ b 1 1 1 1 1 1 1 已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， 11. an a1 =1 =1 + + +L + bn bn =1 + + +L + an- a n+1 a 1 a 2 a n a1 a 2 an 则（ ） A. a1 b 1= a 2 b 2 = a 3 b 3 B. an b n= a n+1 b n + 1 * C.存在 k N ，使得 ak a k +1 D.数列 单调递增，且对任意 * ，都有 n+1 bn n N b1+ b 2 +L + bn< 2 已知 ， 是曲线 2 2 2 上不同的两点， 为坐标 12. P xPP, y Q xQQ, y C: 6 x- 6 x + 7 y - 21 + y + 6 x - 3 = 0 O 原点，则（ ） 2 2 A. xQQ+ y 的最小值为1 22 2 2 B. 4 xPPPP- 1 + y + x + 1 + y 6 3 3 C.若直线 y= k x - 3 与曲线 C 有公共点，则 k -, 3 3 D.对任意位于 y 轴左侧且不在 x 轴上的点 P ，都存在唯一点 Q ，使得曲线 C 在 P ， Q 两点处的切线垂直 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共 20分. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 13.设 P 为ABC 所在平面内一点，满足 AP BC = BP AC = 0 ，则 CP AB = __________. 2 14.若点 A0,1 在圆 C: x- 1 + y2 = r 2 r >0 上，则过 A 的圆的切线方程为__________. 15.楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条 平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书. 楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机 选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5 处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不 超过3 处，则不同的写法共有__________种.（用数字作答） 16.棱长为 10cm 的密闭正四面体容器内装有体积为18 2cm3 的水，翻转容器，使得水面至少与2 条棱平行， 且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为__________ cm2 . 四、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知 a ， b ， c 分别为ABC 的内角 A ， B ， C 的对边，且 c acos B- b sin A = a2 - b 2 . （1）求 A ； （2）若 a = 2 ，ABC 的面积为2，求 b+ c . 18.（12 分）如图，在三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中， CC1 ^ 平面 ABC ， AC= CB = 2 ， AA1 = 3 ， ACB =90 ， P 为 BC 的中点，点 Q ， R 分别在棱 AA1 ， BB1 上， AQ1 = 2 AQ ， BR= 2 RB1 . （1）求证； AC^ PR ； （2）求平面 PQR 与平面 ABC1 1 1 所成二面角的余弦值. 19.（12 分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、 计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度 之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表： 项目 速度快 速度慢 合计 准确率高 10 22 32 准确率低 11 17 28 合计 21 39 60 （1）依据a = 0.010 的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？ （2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的 10 名同学分成人数分别为3，3，4 的三个小组进 行小组才艺展示，若甲、乙两人在这 10 人中，求甲在3 人一组的前提下乙在4 人一组的概率. 附： a 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n ad- bc2 c 2 = 其中 n= a + b + c + d . a+ b c + d a + c b + d 1 2 2 20.（12 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 = m m 0 ， = - . Sn a n a n+1 （1）求证：数列an 是等差数列； （2）若x 表示不超过 x 的最大整数，S10 =10 ，求实数 m 的取值范围. x2 y 2 21.（12 分）已知双曲线 C :- = 1 （ a >0 ， b >0 ），点 F 4,0 是 C 的右焦点， C 的一条渐近线方程 a2 b 2 为 y= 3 x . （1）求 C 的标准方程； （2）过点 F 的直线与 C 的右支交于 A ， B 两点，以 AB 为直径的圆记为 M ，是否存在定圆与圆 M 内切？ 若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由. x 22.（12 分）已知函数 f x = +ln - x + m ， m R . ex （1）当 m = 1时，求曲线 y= f x 在 0,f 0 处的切线方程；