数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第卷 选择题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知 2i 是关于 x 的方程 2x2 q 0 的一个根，则实数 q 的值为（ ）
A.8 B. 8 C.4 D. 4
2.设 a 表示“向东走 10km”， b 表示“向南走 5km”，则 b a b 所表示的意义为（ ）
A.向东南走10 2km B.向西南走10 2km
C.向东南走 5 6km D.向西南走 5 6km
3.已知全集U A B x N 0 x 8， A U B 1,3,5 ，则集合 B 为（ ）
A.2,4,6,7 B.0,2,4,6,8 C.0,2,4,6,7,8 D.0,1,2,3,4,5,6,7,8
4.已知直线 l : 2x ay 1 0 和 l : a 1 x y a 0 平行，则实数 a （ ）
1 2
A.2 或 1 B.1 C. 1 D.2
1
5.已知 0, ， sin cos ，则 tan （ ）
2 4 4 6
2 3
A. B. C. 2 D. 3
2 3
x2 y2 y2 x2
6.关于椭圆 1与双曲线 1的关系，下列结论正确的是（ ）
25 k 9 k 9 7
A.焦点相同 B.顶点相同 C.焦距相等 D.离心率相等
e x 2
7.已知函数 f x ln （ e 为自然对数底），则下列函数是奇函数的是（ ）
x
A. f x 1 1 B. f x 1 1 C. f x 1 1 D. f x 1 1
8.已知数列an 的前 n 项和、前 2n 项和、前 3n 项和分别为 P 、 Q 、 R ，则“an 为等比数列”的一个必
要条件为（ ）
A. P Q R Q2 B. P2 Q2 PQ R C. P Q R D. Q2 PR
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.某科技攻关团队共有 10 人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示：
年龄 45 40 36 32 29 28
人数 1 2 1 3 2 1
则关于这 10 人年龄的说法中，正确的是（ ）
A.中位数是 34 B.众数是 32
C.第 25 百分位数是 29 D.平均数是 34.3
10.已知定义在 0, 上的函数 f x 满足： x 、 y 0, ， f x f y f xy ，且当 0 x 1
时， f x 0 ，若 f 2 1 ，则（ ）
A. f 1 0 B. f x 在 0, 上单调递减
1 2 20
C. f x f D. f 2 f 2 f 2 55
x
11.某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储存温度 x （单位：）之间满足函数关系 y ekxb （
e 2.71828， k 、 b 为常数）.若该食品在 0的保鲜时间是 120 小时，在 20的保鲜时间是 30 小时，则
（ ）
A. k 0 且 b 0
B.在 10的保鲜时间是 60 小时
C.要使得保鲜时间不少于 15 小时，则储存温度不低于 30
D.在零下 2的保鲜时间将超过 150 小时
2
12.在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， PA AB BC AC 2 ， E 是底面 ABC 上（含边界）
2
的一个动点， F 是三棱锥 P ABC 的外接球 O 表面上的一个动点，则（ ）
A.当 E 在线段 AB 上时， PE BC
B. EF 的最大值为 4
C.当 FA平面 PBC 时，点 F 的轨迹长度为 2
6
D.存在点 F ，使得平面 PAC 与平面 PFB 夹角的余弦值为
3
第卷 非选择题
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
n
13. 1 x n N* 的展开式中 x2 项的系数为 15，则 n __________.
14.若正四棱台的上、下底边长分别为 2、4，侧面积为12 3 ，则该棱台体积为__________.
2
15.已知函数 f x 2sin x 0 在区间0, 上恰有三个零点，则 的取值范围是__________.
3
16.椭圆与双曲线具有如下光学性质：
（1）由椭圆的一焦点射出的光线经椭圆反射后过椭圆的另一个焦点；
（2）由双曲线的一焦点射出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.
如图，一个光学装置由有公共焦点 F1 、 F2 的椭圆 C 与双曲线 S 构成，现一光线从左焦点 F1 射出，依次经
S 与 C 反射，又回到了点 F1 ，历时 t1 秒；若将装置中的 S 去掉，如图，此光线从点 F1 射出，经 C 两次反
射后又回到了点 F ，历时 t 秒.若 C 与 S 的离心率之比为 2: 3，则 t : t __________.
1 2 2 1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， a 6 ，
B C
bsin asin B
2
（1）求角 A 的大小；
（2）点 M 为ABC 的重心， AM 的延长线交 BC 于点 D ，且 AM 2 3 ，求ABC 的面积 S .
18.（本小题满分 12 分）记等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，首项为 a1 ，已知 S4 4S2 ，且 a2n 2an 1，
*
n N .
（1）求数列an 的通项公式；
n
（2）求数列 1 a 的前 n 项和.
n
19.（本小题满分 12 分）如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中， E 、 F 分别为边 AB 、 AC 的中点将
AEF 沿 EF 翻折至A1EF ，得四棱锥 A1 EFCB ，设 P 为 A1C 的中点.
（1）证明： FP平面 A BE ；
1
（2）若平面 A1EF 平面 EFCB ，求平面 BPF 与平面 BCF 夹角的余弦值.
20.（本小题满分 12 分）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生
综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全
校学生中随机抽取 200 名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：
男生所占比例为 60%；
不喜欢体育锻炼的学生所占比例为 45%；
喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多 50 人.
（1）完成 2 2 列联表，依据小概率值 0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？
体育锻炼
性别 合计
喜欢 不喜欢
男
女
合计
（2）（）从这 200 名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取 20 人，再从这 20 人中随机抽取 3 人.
记事件 A “至少有 2 名男生”、 B “至少有 2 名喜欢体育锻炼的男生”、 C “至多有 1 名喜欢体育锻炼
的女生”.请计算 PB A 和 P ABC 的值.
（）对于随机事件 A 、 B 、 C ， P A 0 ， P AB 0 ，试分析 P ABC 与 P A PB A PC AB
的大小关系，并给予证明
nad bc2
参考公式及数据： 2 ， n a b c d .
a bc d a cb d
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21.（本小题满分 12 分）已知圆心在 y 轴上移动的圆经过点 A0,4 ，且与 x 轴、 y 轴分别交于 B x,0 、
C 0, y 两个动点，过点 B 垂直于 x 轴的直线与过点 C 垂直于 y 轴的直线交于点 M .
（1）求点 M 的轨迹T 的方程；
（2）点 P 、 Q 在曲线T 上，以 PQ 为直径的圆经过原点 O ，作 OH PQ ，垂足为 H .试探究是否存在定点
R ，使得 RH 为定值，若存在，求出该定点 R 的坐标；若不存在，说明理由.
22.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x ln x a x 1 ， a R .
（1）若 f x 0 ，求实数 a 的值；
1 1 1 1
（2）当 n N* 时，证明： sin sin sin sin ln 2 .
n 1 n 2 n 3 2n