题数学
全卷满分 150 分，时间 120 分钟 2024. 1
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写
在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的
答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写
在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题满分5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，选对得5 分，选错得0分。
1. 已知集合 A={xN|x2-x-6<0},B={0,1,2,3},则AB=（）
A. {0,1} B. {0,1,2} C. {1} D. {1,2}
2. 设复数z 满足|z-2i|= 3,z 在复平面内对应的点为(x,y),则（ ）
A. (x-2)2+y2= 3 B. x2+(y-2)2= 3
C. x2+(y-2)2=3 D. x2+(y+2)2=3
3. 对于数列{an},“an=kn+b”是“数列{an}为等差数列”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 既非充分又非必要条件 D. 充要条件
4. 将4个1和2个0 随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 4
3 5 3 3
5. 将最小正周期为的函数() = 2sin （2 ） + 1（0）的图象向左平移 个单位
6 4
长度，得到函数 g(x)的图象，则下列关于函数 g(x)的说法正确的是（ ）
A. 对称轴为 x= ， B. 在
6+ 2 k Z 0，2内单调递增
C. 对称中心为（ ，1），kZ D. 在
6+ 2 0，2内最小值为-1
2 2
6. 设F ,F 是双曲线C： 的左、右焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，
1 2 2 - 2 =1 1
垂足为 M. 若|MF2|= 3b,则双曲线C 的离心率为（ ）
A. 3 B. 3 C. 3 D. 5
3
7. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可
见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五
面
体称为刍甍，今有一刍甍，底面 ABCD 为平行四边形，EF//面
ABCD,记该刍甍的体积为V 1,三棱锥 E-ABD 的体积为V 2
2
AB=a,EF=b,若 2= ，则（ ）
1 5
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
2 3 3
8. 设定义在R 上的函数 f(x)与 g(x)的导函数分别为f‘ (x)和g‘ (x),若
f(x+2)-g(1-x)=2,f‘(x)=g‘(x+1),且 g(x+1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是（
）
A. f(x)是奇函数
B. 函数g‘(x)的图象关于点(1,0)对称
C. 点(2k,2)(其中kZ)是函数 f(x)的对称中心
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D. k=1 g（k）=0
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 a>b,c>d,则 a+c>b+d B. 若 a>b,c<0,则a 2c C. 若 a 10. 德国数学家狄利克雷(Dirichlet,1805-1859),是解析数论的创始人之一. 他提出了著 是有理数 名的狄利克雷函数： 1, ，以下对 D(x)的说法正确的是（ ） () = 0, 是无理数 A. D(D(x))=1 B. D(x)的值域为{0,1} C. 存在x 是无理数，使得 D(x+1)=D(x)+1 D. xR,总有 D(x+1)=D(-x-1) 11. 在ABC 中，cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的有（ ） A. |sinA=|cosB| B. A+B= 2 C. sinAsinB 的最大值为1 D. tanAtanB=1 2 12. 在四面体 ABCD 中，AB=CD=1,AC=AD=BC=BD=2,E,F,G 分别是棱 BC,AC,AD 上的动点，且满 足 AB,CD 均与面 EFG 平行，则（ ） A. 直线AB 与平面 ACD 所成的角的余弦值为 16 16 B. 四面体 ABCD 被平面 EFG 所截得的截面周长为定值1 C. 三角形 EFG 的面积的最大值为1 8 D. 四面体 ABCD 的内切球的表面积为7 30 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。 13. 某电池厂有 A,B 两条生产线，现从A 生产线中取出产品8 件，测得它们的可充电次 数的平均值为 210,方差为 4;从B 生产线中取出产品 12 件，测得它们的可充电次数的平 匀值为 200,方差为 4. 则 20 件产品组成的总样本的方差为 (参考公式：已知总体分为2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和 2 2 2 样本方差分别为：m，，1；n，，2、记总的样本平均数为,样本方差为s ； 1 ；为s 2 2 2 2 2 = + = {m 1+（ - ） +n 2+（ - ） } 14. 若 f(x)=2sin(x+)-sinx 为偶函数，则= . (填写符合要求的一个值) 15. 如图在三棱锥 P-ABC 中，已知PA平面 ABC， ABC=120,PA=AB=BC=6,则向量在向量上 的投影向量为 . (用向量BC 来表示). 16. 已知N 为抛物线x 2=4y 上的任意一点，M 为圆x 2+(y-5)2=4 上的一点，A(0,1) 则 2|MN|+|MA|的最小值为 . 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10分) 如 图 ， 在 四 棱 锥 S-ABCD 中，底面 ABCD满足AB AD,BC AB,SA底面 ABCD,且 SA=AB=BC=2,AD=1. (1)求证：CB平面 SAB; (2)求平面 SCD 与平面 SAB 的夹角的余弦值. 18. (本小题满分 12分) 在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 =2cosC (1)求角C; (2)若CD 是ACB 的角平分线，且 CD= 4 3,c= 3，求ABC 的面积 3 19. (本小题满分 12分) 魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察力、 反应力. 基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有 100 名学生报名参加，在一次训练测试 中，老师统计了学生还原魔方所用的时间(单位：秒),得到相关数据如下： 年级 人数 50,80) 80,110) 110,140) 140,170) 170,200) 时间 低年级 2 8 12 14 4 高年级 10 22 16 10 2 (1)估计这 100 名学生这次训练测试所用时间的第 78 百分位数； (2)在这次测试中，从所用时间在80,110)和110,140)内的学生中各随机抽取1 人，记 抽到低年级学生的人数为X,求X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12分) * 已知数列{}满足：+1+=2n+7(nN ),且1=4. (1) 求数列{}的通项公式； ， 1 = 1 * (2) (2)已知数列{}满足：= ，定义使123…(kN ) log（+2） ， 2， 为整数的k 叫做“幸福数”,求区间[1,2024]内所有“幸福数”的和. 21. (本小题满分 12分) 2 如图，已知半圆C ：x2+y2=b2(y0)与x 轴交于 A,B 两点，与y 轴交于E 点，半椭圆上C ： 1 2 2 2 + （ ， ）焦点为F,并且ABF 是面积为 的等边三角形，将满足 2=1 y 0 a b 0 3 2 2 + = 1，y 0 2 2 的曲线记为“”. 2 + 2 = b2，y0 (1)求实数 a,b 的值； (2)直线 l:y= 2x 与曲线T交于M、N 两点，在曲线上再取两点S、T(S、T 分别在直线l 两侧),使得这四个点形成的四边形 MSNT 的面积最大，求此最大面积； (3)设点 K(0,t)(tR),P 是曲线上任意一点，求|PK|的最小值. 22. (本小题满分 12分) 已知函数 f(x)=(ax2+x+a)e-x(aR). (1)若a0,函数 f(x)的极大值为 3，求实数a 的值； (2)若对任意的a0,f(x)bln(x+1)在x(0,+ )上恒成立，求实数b 的取值范围. {#{QQABCYaEggAgABAAABhCQQVqCAOQkAGCAIoOgFAAsAAAgQNABCA=}#} {#{QQABCYaEggAgABAAABhCQQVqCAOQkAGCAIoOgFAAsAAAgQNABCA=}#} {#{QQABCYaEggAgABAAABhCQQVqCAOQkAGCAIoOgFAAsAAAgQNABCA=}#} {#{QQABCYaEggAgABAAABhCQQVqCAOQkAGCAIoOgFAAsAAAgQNABCA=}#} {#{QQABCYaEggAgABAAABhCQQVqCAOQkAGCAIoOgFAAsAAAgQNABCA=}#}