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数学
本卷共 6 页，22 小题，满分 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
2
1．设集合 A x | x 4x 3 0, B x | 2 x 4 ，则 A B （ ）
A．x | 2 x 3 B．x | x 1或x 2 C．x | 3 x 4 D．x |1 x 4
2．复数 z 满足 z z 2i ，则 z （ ）
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
3．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ）
A．10 种 B．20 种 C．25 种 D．32 种
4．已知向量 a 2,1,b 1,1 ，则 a 在 b 上的投影向量为（ ）
1 1 1 1
A． ， B． ， C． 1,1 D． 1,1
2 2 2 2
5．已知数列an 为等差数列， Sn 为其前 n 项和， 2 a5 a6 a3 ，则 S7 （ ）
A．28 B．14 C．7 D．2
ex
6．已知 f x 为奇函数，则 a （ ）
eax 1
A． 1 B．1 C． 2 D．2
x2 y2
7．已知双曲线 C : 1a 1 的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 与 C 交于 A，B 两点若满足 AB 3
a2 a2 1
的直线 l 有且仅有 1 条，则双曲线 C 的离心率为（ ）
14 7 7
A． B． C．2 D． 或 2
3 2 2
8．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长为 2， AB BC, AB BC 2 ，过 AB， BB1 的中点 E，F 作平面
与平面 AA1C1C 垂直，则平面 截该三棱柱所得截面的周长为（ ）
A． 2 2 6 B． 2 2 6 C． 3 2 6 D． 3 2 2 6
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
x
9．下列图象中，函数 f x 的图象可能是（ ）
x a
A． B．
C． D．
10．为了解居民对社区环保工作的满意度，居委会从社区全体居民中随机抽取若干居民进行评分调查（满分为
100 分）．根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在80,100 内的居民有 180 人．则（ ）
A． a 0.025
B．调查的总人数为 4000
C．从频率分布直方图中，可以估计本次评分的中位数大于平均数
D．根据以上抽样调查数据，可以认为该社区居民对社区环保工作的满意度符合“评分低于 65 分的居民不超
过全体居民的 20%”的规定
11．已知直线 l : 2kx 2y kp 0 与抛物线 C : y2 2 px( p 0) 相交于 A，B 两点，点 M 1,1 是抛物线 C
的准线与以 AB 为直径的圆的公共点，则（ ）
A． p 2 B． k 2 C．MAB 的面积为 5 5 D． AB 5
x
12．已知函数 f x ，则（ ）
ln x
A． f 3 f 2
3
B．当 x 1时， f x x 4
99
．存在 x 1，当 x x 时， 100
C 0 0 f x x
1 2 1
D．若直线 y kx k e 与 y f x 的图象有三个公共点，则 0 k
2 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
4
13．若角 的终边在第四象限，且 cos ，则 tan _________．
5 4
2
14．某圆锥的侧面展开图是面积为 3 ，圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为_________．
3
8
2
15．知数列an 的前 8 项为 1，1，2，3，5，8，13，21，令 f x x ai ，则 f x 取最小值时， x
i1
__________．
4 3x y
16．已知 P x, y 为函数 y x2 图象上一动点，则 的最大值为_________．
3 x2 y2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
5 7
已知锐角ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 b 5,c 4,sin B ．
16
（1）求 cos A ；
（2）若 BD 2DC ，求 AD 的长．
18．（12 分）
已知数列an 和bn 满足： a1 1,an bn an1,an bn （ 为常数，且 1）．
（1）证明：数列bn 为等比数列；
（2）若 n 3 和 n 4 时，数列an 的前 n 项和 Sn 取得最大值，求 Sn ．
19．（12 分）
有两个盒子，其中 1 号盒子中有 3 个红球，2 个白球；2 号盒子中有 6 个红球，4 个白球．现按照如下规则摸
球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出 2 个球，摸球的结果是一红一白．
（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；
（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了 5 次同样的判断，记判断正确的次数为 X，求 X 的
数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．
20．（12 分）
如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的体积为 6，截面 ACC1 A1 的面积为 6．
（1）求点 B 到平面 ACC1 A1 的距离；
（2）若 AB AD 2,BAD 60 ， AA1 6 ，求直线 BD1 与平面 CC1D1D 所成角的正弦值．
21．（12 分）
1
已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 1．
2
（1）求椭圆 C 的标准方程，
（2）若动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，试问，在 x 轴上是否存在两定点，使其到直线 l 的距离之积
为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12 分）
梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数
xs1
f x （ x 0, x 1，s 为常数）密切相关，请解决下列问题．
ex 1
（1）当1 s 2 时，讨论 f x 的单调性；
（2）当 s 2 时；
证明 f x 有唯一极值点；
记 f x 的一极值点为 g s ，讨论 g s 的单调性，并证明你的结论．