高三数学试题
（分数：150 分，时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 1
a 2
1. “ 2 ”是“ a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知复数 z 满足： z 1，则 z 1 i 的最大值为（ ）
A. 2 B. 2 1
C. 2 1 D. 3
3. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记 p 为实际声压，通常我们用声压级 L p （单位：分贝）来
p
定义声音的强弱，声压级 L p 与声压 p 存在近似函数关系： L p alg ，其中 a 为常数,且常数
p0
p0 p0 0 为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压 p1 为穿软底鞋走路的声压 p2
的100 倍，且穿硬底鞋走路的声压级为 L p1 60 分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级 L p2 的 3 倍.若住
宅区夜间声压级超过 50 分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为 p ，则（ ）
1
A. a 20 ， p 10 10 p B. a 20 ， p p
2 10 1
1
C. a 10 ， p 10 10 p D. a 10 ， p p
2 10 1
2
4. 函数 f x sin 2x 2 2 sin x 的最小正周期为（ ）
4
A. B. C. D. 2
2 4
第1页/共6页
2
5. 过直线 2x y 1 0 上一点 P 作圆 x 2 y2 4 的两条切线 PA，PB，若 PA PB ，则点 P 的横
坐标为（ ）
13 15 13 15
A. B. C. D.
3 3 5 5
6. 已知函数 f (x) 满足： x ， y Z ， f (x y) f (x) f ( y) 2xy 1成立，且 f (2) 1，则
f 2nn N* （ ）
A. 4n 6 B. 8n 1 C. 4n2 2n 1 D. 8n2 2n 5
x2 y2
7. 已知双曲线 1 ( a 0,b 0 )的左右焦点分别为 F1, F2 , P 为双曲线上的一点， I 为PF1F2 的
a2 b2
内心，且 IF1 2IF2 2PI ，则 C 的离心率为（ ）
5
A. 3 B. C. 3 D. 2
2
x2 y2
8. 已知点 A x , y 是双曲线 C : 1(a 0,b 0) 上位于第一象限内的一点， F , F 分别为 C 的左
0 0 a2 b2 1 2
1
y
右焦点， C 的离心率和实轴长都为 2，过点 A 的直线l 交 x 轴于点 M ,0 ，交 轴于点 N ，过 F1 作直
x0
线 AM 的垂线，垂足为 H ，则下列说法错误的是（ ）
y2
A. C 的方程为 x2 1
3
1
B. 点 N 的坐标为 0,
y0
C. OH 的长度为 1，其中 O 为坐标原点
D. 四边形 AF1NF2 面积的最小值为 4 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分.
9. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点 0 出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰
子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出 n 次骰子
后，下列结论正确的是（ ）
1
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点 0的概率为
2
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3
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是
2
1
C. 第一次扔完骰子小球位于 1且第五次位于 1 的概率
4
D. 第五次扔完骰子，小球位于 1 的概率大于小球位于 3 概率
2 x
10. 已知函数 f x log1 ，则下列说法正确的是（ ）
3 2 x
A. 函数 f x 值域 为 R
B. 函数 f x 是增函数
1 2
C. 不等式 f 3x 1 f 3x 0 的解集为 ,
6 3
1 1 1 1 1
D. f f f f 1 f 0 f 1 f f 0
2023 2022 2 2 2023
1
11. 将函数 y sin2x 的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移
3 18
个单位长度，得到 y f x 的图象，则（ ）
A. f x 的图象关于直线 x 对称 B. f x 的图象关于点 ,0 对称
6 18
C. f x 的图象关于直线 x 对称 D. f x 的图象关于点 ,0 对称
36 6
12. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 BC 的中点， F 为底面 ABCD 内的一动点
（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 过点 A1 ， E ，C1 的平面截正方体所得的截面周长为 3 2 2 5
B. 存在点 F ，使得 DF 平面 A1EC1
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C. 若 D1F / / 平面 A1EC1 ，则动点 F 的轨迹长度为 2
D. 当三棱锥 F A1EC1 的体积最大时，三棱锥 F A1EC1 外接球的表面积为11
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 设非空集合 A 1,2,,9 满足 a A ，10 a A ，则这样的 A 的个数为________．
3
14. 已知函数 f x cos( x) 0 在区间 , 上单调递增,那么实数 的取值范围是____.
2 4 3
15. 若关于 x 的不等式 0 ax2 bx c 2a 0 的解集为x 1 x 3 ，则 3a b 2c 的取值范围是
__________．
2 2
x y 1
16. 已知椭圆 C ： 1a b 0 的离心率为 ，左顶点是 A，左、右焦点分别是 F1 ， F2 ， M 是
a2 b2 2
27
C 在第一象限上的一点，直线 MF 与 C 的另一个交点为 N ．若 MF //AN ，且ANF 的周长为 a ，
1 2 2 8
则直线 MN 的斜率为________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某区域市场中 5G 智能终端产品的制造全部由甲乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测， 5G 商
用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周
期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15% 转而采用甲
公司技术，采用甲公司技术的产品中有10% 转而采用乙公司技术．设第 n 次技术更新后，该区域市场中采
用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为 an 和 bn ，不考虑其他因素的影响．
（1）用 an 表示 an1 ，并求使数列an 是等比数列的实数 ．
（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到 60% 以上？若
能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
2 2 2
18. 在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 3 a b c 2bcsin A .
（1）求角 C；
（2）求 sin2 A cos2 B 的取值范围.
19. 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品
尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这 n 瓶酒，并重新按
品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为 1，2，3，…，n 的 n 种酒，在第二次排
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n
序时的序号为 a1,a2 ,a3 ,… ,an ，并令 X i ai ，称 X 是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两
i1
次排序的偏离度的高低为其评分.
（1）当 n 3 时，若 a1,a2 ,a3 等可能地为 1，2，3 的各种排列，求 X 的分布列；
（2）当 n 4 时，
若 a1,a2 ,a3 ,a4 等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，计算 X 2 的概率；
假设某品酒师在连续三轮测试中，都有 X 2 （各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如
何，请说明理由.
20. 设 m 为实数，直线 y mx 1和圆 C : x2 x y2 0 相交于 P ， Q 两点.
2
（1）若 PQ ，求 m 的值；
2
（2）若点 O 在以 PQ 为直径的圆外（其中 O 为坐标原点），求实数 m 的取值范围.
21. 正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚
集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五种多面体.令 a b c d e
（ a,b,c,d,e 均为正整数），我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以和另一个正多面体的一些顶点重
合，例如正 a 面体的所有顶点可以与正 b 面体的某些顶点重合，正 b 面体的所有顶点可以与正d 面体的所
有顶点重合，等等.
（1）当正 a 面体的所有顶点可以与正 b 面体的某些顶点重合时，求正 a 面体的棱与正 b 面体的面所成线面
角的最大值；
（2）当正 c 面体在棱长为1的正 b 面体内，且正 c 面体的所有顶点均为正 b 面体各面的中心时，求正 c 面
体某一面所在平面截正 b 面体所得截面面积；
（3）已知正d 面体的每个面均为正五边形，正 e 面体的每个面均为正三角形.考生可在以下 2 问中选做 1
问.
（第一问答对得 2 分，第二问满分 8 分，两题均作答，以第一问结果给分）
第一问：求棱长为1的正 e 面体的表面积；
第二问：求棱长为1的正d 面体的体积.
22. 一类项目若投资 1 元，投资成功的概率为 p(0 p 1) ．如果投资成功，会获得 b 元的回报 (b 0) ；
如果投资失败，则会亏掉 1 元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的
x(0 x 1) ，1956 年约翰拉里凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为
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f (x) (1 bx) p (1 x)1 p ，并提出了凯利公式．
pb (1 p)
（1）证明：当 p(b 1) 1时，使得平均回报率 f (x) 最高的投资比例 x 满足凯利公式 x ；
b
1
1 x
（2）若 b 1， p ，求函数 2 在 (0, ) 上的零点个数．
2 g(x) e x f (cos x)
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2023-2024 学年高考第一次联合调研抽测
高三数学试题
（分数：150 分，时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 1
a 2
1. “ 2 ”是“ a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.
1 1 1 1 1 1
【详解】因为 a 2a 1 2 ，而 2 推不出 a ，例如 a 1满足 2 ，但 a 不成
2 a a 2 a 2
立，
1 1
所以“ a ”是“ 2 ”的充分不必要条件，
2 a
故选：A
2. 已知复数 z 满足： z 1，则 z 1 i 的最大值为（ ）
A. 2 B. 2 1
C. 2 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点 1,1 的距离，计算即可.
【详解】设 z a bi ，其中 a,b R ，则 z 1 i a 1 b 1i ，
z 1，
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a2 b2 1 ，即点 a,b 的轨迹是以 0,0 为圆心，1为半径的圆，
z 1 i a 12 b 12 即为圆上动点到定点 1,1 的距离，
z 1 i 的最大值为 0 12 0 12 1 2 1.
故选：B.
3. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记 p 为实际声压，通常我们用声压级 L p （单位：分贝）来
p
定义声音的强弱，声压级 L p 与声压 p 存在近似函数关系： L p alg ，其中 a 为常数,且常数
p0
p0 p0 0 为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压 p1 为穿软底鞋走路的声压 p2
的100 倍，且穿硬底鞋走路的声压级为 L p1 60 分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级 L p2 的 3 倍.若住
宅区夜间声压级超过 50 分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为 p ，则（ ）
1
A. a 20 ， p 10 10 p B. a 20 ， p p
2 10 1
1
C. a 10 ， p 10 10 p D. a 10 ， p p
2 10 1
【答案】A
【解析】
【分析】由 L p1 L p2 40 结合对数运算可求得 a 的值，由于 L p1 60 ， L p2 20 可得出
L p L p2 30 、 L p1 L p 10 ，结合对数函数的单调性可出结论.
p1
【详解】由题意 L p1 L p2 alg alg100 2a 60 20 40 ，得 a 20 ，
p2
p p
则 L p 20lg ，因此 L p 20lg 50 ，
p0 p0
p
L p L p 20lg 50 20 30
2 ，则 p 10 10 p2 ，
p2
p1 10
L p1 L p 20lg 60 50 10 ，则 p p .
p 10 1
故选：A.
2
4. 函数 f x sin 2x 2 2 sin x 的最小正周期为（ ）
4
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A. B. C. D. 2
2 4
【答案】B
【解析】
2
【分析】把函数化成 y Asin x 的形式，利用公式T 求函数的最小正周期.
2 2 2
【详解】因为 f x sin 2x 2 2 sin x sin 2x cos 2x 2 1 cos 2x
4 2 2
2 2
sin 2x cos 2x 2 sin 2x 2 .
2 2 4
2
所以，函数的最小正周期为：T .
2
故选：B
2
5. 过直线 2x y 1 0 上一点 P 作圆 x 2 y2 4 的两条切线 PA，PB，若 PA PB ，则点 P 的横
坐标为（ ）
13 15 13 15
A B. C. D.
. 3 3 5 5
【答案】D
【解析】
【分析】令已知圆的圆心 C(2,0) ，由题设易知四边形 PACB 为正方形且边长为 r 2 ，进而求得直线 PC
6
与直线 2x y 1 0 夹角余弦值为 cos ，根据直线所过点 D(0,1) 并设 P(x,2x 1) ，应用向量夹角
4
坐标表示列方程求 P 的横坐标.
【详解】由题设，已知圆的圆心 C(2,0) ，四边形 PACB 为正方形且边长为 r 2 ，
所以| PC | 2 2 ，而 C 到直线 2x y 1 0 的距离 d 5 ，如下图，
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8 5 6
令直线 PC 与直线 2x y 1 0 夹角为 ，则 cos ，
2 2 4
又直线 2x y 1 0 过 D(0,1) ，令 P(x,2x 1) ，则 PD (x,2x), PC (2 x,2x 1) ，
2 2
PC PD 5x x 6
所以 cos | || || | ，
| PC || PD | 5x (x 2)2 (2x 1)2 x x2 1 4
x2 3 15
则 5x2 3 x .
x2 1 8 5
故选：D
6. 已知函数 f (x) 满足： x ， y Z ， f (x y) f (x) f ( y) 2xy 1成立，且 f (2) 1，则
f 2nn N* （ ）
A. 4n 6 B. 8n 1 C. 4n2 2n 1 D. 8n2 2n 5
【答案】C
【解析】
【分析】令 x y 0 ，求出 f 0 ，令 x y 1，求出 f 1 ，令 x 1, y 1 ，求出 f 1 ，再令
x n, y 1,n N* ，可求出 f n 1, f n 的关系，再利用累加法结合等差数列前 n 项和公式即可得解.
【详解】令 x y 0 ，则 f 0 f 0 f 0 1，所以 f 0 1，
令 x y 1，则 f 2 f 1 f 1 2 1 2 f 1 3 1，
所以 f 1 1，
令 x 1, y 1 ，则 f 0 f 1 f 1 2 1 f 1 2 1，所以 f 1 1，
令 x n, y 1,n N* ，则 f n 1 f n f 1 2n 1 f n 2n 2 ，
所以 f n 1 f n 2n 2 ，
则当 n 2 时， f n f n 1 2n ，
则 f n f n f n 1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 f 1
2n 4n 1
2n 2n 2 4 1 1 n2 n 1，
2
当 n 1时，上式也成立，
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