数学
命题：___________ 主审：___________
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡
上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，
在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第I 卷（选择题共 60分）
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
U 1,2,4,6,8 M xx2 3x 2 0 , N xx 4a,a M M N
已知集合 ，集合 ，则 U
1.
（ ）
A. 6 B. 4,6,8 C. 1,2,4,8 D. 1,2,4,6,8
1 z
2. 设复数 z 满足 i ，则 z （ ）
1 z
2
A. i B. C. 1 D. 2
2
3. 曲线 y = x2 在点 1,1 处的切线方程为（ ）
A. y x B. y 2x 1
y 2x 1 y 3x 2
C. D.
已知单位向量 满足 a a 2b ，则 a,b （ ）
4. a,b
2
A. B. C. D.
3 3 4 6
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5. 已知有 100 个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为 1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大
圆截得的弦长都为 2，则这 100 个圆中最大圆的半径是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 100
6. 如图，小明从街道的 E 处出发，到 F 处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向 3 次，则小明到老
年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
7. 已知 sin cos 1，则 cos 2 （ ）
2 3 3
1 1 3 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
8. 已知 m 2e 4 ,n e 3 , p 3e 6 ，则（ ）
A. n m p B. m p n
C. p n m D. m n p
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下图是离散型随机变量 X 的概率分布直观图，其中 3a 5b,2b 3c ，则（ ）
A. a 0.5 B. E X 2.3
C. D X 0.61 D. D2X 1.22
p
10. 已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1 2 2,0, F2 2 2,0 ，且满足条件 ，可以解得双曲线 C 的方
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程为 x2 y2 4 ，则条件 p 可以是（ ）
A. 实轴长 为 4 B. 双曲线 C 为等轴双曲线
2
C. 离心率为 D. 渐近线方程为 y x
2
3
11. 如图，点 A, B,C 是函数 f x sin x ( 0) 的图象与直线 y 相邻的三个交点，且
2
BC AB , f 0 ，则（ ）
3 12
A. = 4
9 1
B. f
8 2
C. 函数 f x 在 , 上单调递减
3 2
D. 若将函数 f x 的图象沿 x 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
24
12. 正方体的 8 个顶点分别在 4 个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的
距离为 1，则该正方体的棱长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
第 II 卷（非选择题共 90 分）
三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
6
1
13. 2 x 的展开式中常数项的二项式系数为__________.
x
14. 已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，若点 Q 是抛物线 C 上到点 4,0 距离最近的点，则 QF
__________.
15. sinx 1的一个充分不必要条件是__________.
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uuur uuur
16. 已知 A, B,C 是半径为 1 的球面上不同的三点，则 AB AC 的最小值为__________.
四解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
的 2
17. 已知等比数列an 各项均为正数，且 a1 2a2 1,a3 2a2 a5 .
（1）求数列an 的通项公式；
2n
（2）设 b log 2 ，求证：1 b .
n an n 2n 1
2 2
18. 在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 b ac a .
（1）求证： B 2A ；
3c 7a
（2）当 取最小值时，求 cosB 的值.
3b
19. 如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ABC 平面 BCD ，且 BC BD BA ，
CBA CBD 120 ，点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 CD 上.
（1）求证： AD BC ；
BP
（2）若 AC 平面 BPQ ，求 的值；
BQ
（3）在（2）的条件下，求平面 ABD 与平面 PBQ 所成角的余弦值.
20. 某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地
网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘
车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
用户选择甲公司的频率为 0.32 ，选择乙公司的频率为 0.68 ：
选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为 0.62 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为 0.78 ；
选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为 0.68 ，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为
0.61；
选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为 0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为 0.32 .
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将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个
因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
2
21. 已知如图，点 B1, B2 为椭圆 C 的短轴的两个端点，且 B2 的坐标为 0,1 ，椭圆 C 的离心率为 .
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线l 不经过椭圆 C 的中心，且分别交椭圆 C 与直线 y 1于不同的三点 D, E, P （点 E 在线段
DP 上），直线 PO 分别交直线 DB2 , EB2 于点 M , N .求证：四边形 B1MB2 N 为平行四边形.
22. 已知函数 f x x ex ，其中 为实数.
ex
（1）若函数 y f x 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；
（2）若 x 与 x 为方程 f x 0 的两个不等实根， f x f x ln31恒成立，求实数 的取值范
1 2 1 2
围.
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2024 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学
命题：___________ 主审：___________
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡
上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，
在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第I 卷（选择题共 60分）
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
U 1,2,4,6,8 M xx2 3x 2 0 , N xx 4a,a M M N
1. 已知集合 ，集合 ，则 U
（ ）
A. 6 B. 4,6,8 C. 1,2,4,8 D. 1,2,4,6,8
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知 M 1,2, N 4,8,U M N 6 ，
故选：A.
1 z
2. 设复数 z 满足 i ，则 z （ ）
1 z
2
A. i B. C. 1 D. 2
2
【答案】C
【解析】
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【分析】利用复数的除法解出 z ，由模长公式计算 z .
1 z 1 i 1 i1 i
【详解】由 i 解得 z i ，所以 z 1.
1 z 1 i 1 i1 i
故选：C.
3. 曲线 y = x2 在点 1,1 处的切线方程为（ ）
A. y x B. y 2x 1
C. y 2x 1 D. y 3x 2
【答案】B
【解析】
【分析】先求在 x 1处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】由题知， y 2x, y 2,切线方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1，
x1
故选：B.
4. 已知单位向量 a,b 满足 a a 2b ，则 a,b （ ）
2
A. B. C. D.
3 3 4 6
【答案】B
【解析】
1
【分析】由向量垂直得到方程，求出 a b ，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
2
2
【详解】由 a a 2b 得 a a 2b | a | 2a b 0 ，
又 a,b 为单位向量，
1
a b ，
2
a b 1
cosa,b ，
a b 2
a,b .
3
故选：B.
5. 已知有 100 个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为 1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大
圆截得的弦长都为 2，则这 100 个圆中最大圆的半径是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 100
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【答案】C
【解析】
【分析】设这 个圆的半径从小到大依次为 ，由题意得 2 且 2 2 ，可求
100 r1,r2 ,,r100 r1 1 rn1 rn 1 r100 .
【详解】设这 个圆的半径从小到大依次为 ，则由题知， 2
100 r1,r2 ,,r100 r1 1
每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为 2，
2 2 2
有 rn1 rn 1n 1,2,,99 ，则rn 是首项为 1 公差为 1 的等差数列， n 1,2,,100 ，
2
所以 r100 100 ，得 r100 10 .
故选：C.
6. 如图，小明从街道的 E 处出发，到 F 处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向 3 次，则小明到老
年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步分类计数原理即可求解.
【详解】中途共三次转向可以分为两类:
第一类，先向北走再往东走的情况，即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有 3 4 12 种
方法，
第二类，先向东走再往北走的情况上右上，此时共有 43 12 种方法.
故总的方法有 24 种，
故选：D.
7. 已知 sin cos 1，则 cos 2 （ ）
2 3 3
1 1 3 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
第3页/共 22页
【答案】B
【解析】
3 3
【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得 cos sin 1，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.
2 2
1 3
【详解】由 sin cos 1得 cos cos + sin 1，进而可得
2 3 2 2
3 3
cos sin 1，
2 2
结合辅助角公式得 3cos 1，
6
3 2 1
则 cos ,cos 2 2cos 1 ，
6 3 3 6 3
故选：B.
8. 已知 m 2e 4 ,n e 3 , p 3e 6 ，则（ ）
A. n m p B. m p n
C. p n m D. m n p
【答案】D
【解析】
【分析】观察选项，构造函数 f x excosx ，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.
x x x
【详解】令 f x e cosx ，则 f x e cosx sinx 2e cos x ，
4
5
当 x , 时， f ( x) >0 ；当 x , 时， f x 0 ；
2 4 4 4
5
所以 f x 在 , 上单调递增；在 , 上单调递减，
2 4 4 4
所以 f f 且 f f ，
4 3 4 6
2 4 1 3 2 4 3 6
所以 e e 且 e e ，即 4 3 且 4 6 ，
2 2 2 2 2e e 2e 3e
所以 m n,m p ，
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0 n p
又 n e 3 e, p 3e 6 3e 3 e ，所以 ，
综上所述， m n p ，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下图是离散型随机变量 X 的概率分布直观图，其中 3a 5b,2b 3c ，则（ ）
A. a 0.5 B. E X 2.3
C. D X 0.61 D. D2X 1.22
【答案】ABC
【解析】
【分析】由所有取值频率之和为 1，结合已知条件，解出 a,b,c ，利用期望和方差公式计算数据，验证选项
即可.
a b c 1,
【详解】由题知 3a 5b, 解得 a 0.5,b 0.3,c 0.2 ，A 选项正确；
2b 3c,
所以 E X 10.2 20.3 30.5 2.3 ，B 选项正确；
D X (1 2.3)2 0.2 (2 2.3)2 0.3 (3 2.3)2 0.5 0.61，C 选项正确；
D2X 22 D x 2.44 ，D 选项错误.
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